PROFILPELAJAR.COM

В статье суммируется информация о классах дискретных групп симметрии евклидовой плоскости. Группы симметрии, приведённые здесь, именуются по трём схемам именования: международная нотация, орбифолдная нотация^[англ.] и нотация Коксетера^[англ.]. Существует три вида групп симметрии на плоскости:

2 бесконечных семейства точечных групп
7 групп бордюра – 2D-рёберные группы^[англ.]
17 групп обоев – 2D-пространственные группы.

Точечные группы симметрии

На плоскости имеется точка, инвариантная относительно каждого преобразования. Существует два бесконечных семейства дискретных двумерных точечных групп. Группы определяются параметром n, равным порядку подгруппы вращений. Также параметр n равен показателю группы.

Семейство	Межд. (орбифолд^[англ.])	Шёнфлиса	Геом. ^[1] Коксетер^[англ.]	Порядок	Примеры
Циклические группы	n (n•)	C_n	n [n]⁺	n	C₁, [ ]⁺ (•)	C₂, [2]⁺ (2•)	C₃, [3]⁺ (3•)	C₄, [4]⁺ (4•)	C₅, [5]⁺ (5•)	C₆, [6]⁺ (6•)
Диэдральные группы	nm (*n•)	D_n	n [n]	2n	D₁, [ ] (*•)	D₂, [2] (*2•)	D₃, [3] (*3•)	D₄, [4] (*4•)	D₅, [5] (*5•)	D₆, [6] (*6•)

Группа бордюров

На плоскости имеется прямая, которая переходит в себя при каждом преобразовании. При этом отдельные точки этой прямой могут не оставаться неподвижными.

7 групп бордюров, двумерных рёберных групп^[англ.]. Символы Шёнфлиса даны как бесконечные пределы 7 диэдральных групп. Жёлтые области представляют бесконечные фундаментальные области для каждого бордюра.

[1,∞],
IUC (орбифолд^[англ.])	Геом.	Шёнфлис	Коксетер^[англ.]	Фундаментальная область	Пример
p1 (∞•)	p1	C_∞	[1,∞]⁺
p1m1 (*∞•)	p1	C_∞v	[1,∞]

[2,∞⁺],
IUC (Орбифолд)	Геом.	Шёнфлис	Коксетер	Фундаментальная область	Пример
p11g (∞×)	p._g1	S_2∞	[2⁺,∞⁺]
p11m (∞*)	p. 1	C_∞h	[2,∞⁺]

[2,∞],
IUC (Орбифолд)	Геом.	Шёнфлис	Коксетер
p2 (22∞)	p2	D_∞	[2,∞]⁺
p2mg (2*∞)	p2_g	D_∞d	[2⁺,∞]
p2mm (*22∞)	p2	D_∞h	[2,∞]

Группы обоев

17 групп обоев с конечными фундаментальными областями, упорядоченные по международной нотации, орбифолдной нотации^[англ.] и нотации Коксетера^[англ.] и классифицированы 5 решётками Браве на плоскости: квадратной, скошенной (параллелограммной), шестиугольной (ромбы с углами 60 градусов), прямоугольной и ромбической.

Группы p1 и p2 с зеркальной симметрией встречаются во всех классах. Связанная чистая группа Коксетера отражений дана для всех классов, за исключением косых.

Квадрат
[4,4],
IUC (Орб.^[англ.]) Геом.	Коксетер^[англ.]	Фундаментальная область
p1 (°) p1
p2 (2222) p2	[4,1⁺,4]⁺ [1⁺,4,4,1⁺]⁺
pgg (22×) p_g2_g	[4⁺,4⁺]
pmm (*2222) p2	[4,1⁺,4] [1⁺,4,4,1⁺]
cmm (2*22) c2	[(4,4,2⁺)]
p4 (442) p4	[4,4]⁺
p4g (4*2) p_g4	[4⁺,4]
p4m (*442) p4	[4,4]

Прямоугольный
[∞_h,2,∞_v],
IUC (Orb.) Геом.	Коксетер	Фундаментальная область
p1 (°) p1	[∞⁺,2,∞⁺]
p2 (2222) p2	[∞,2,∞]⁺
pg(h) (××) p_g1	h: [∞⁺,(2,∞)⁺]
pg(v) (××) p_g1	v: [(∞,2)⁺,∞⁺]
pgm (22*) p_g2	h: [(∞,2)⁺,∞]
pmg (22*) p_g2	v: [∞,(2,∞)⁺]
pm(h) (**) p1	h: [∞⁺,2,∞]
pm(v) (**) p1	v: [∞,2,∞⁺]
pmm (*2222) p2	[∞,2,∞]

Ромбический
[∞_h,2⁺,∞_v],
IUC (Orb.) Геом.	Коксетер	Фундаментальная область
p1 (°) p1	[∞⁺,2⁺,∞⁺]
p2 (2222) p2	[∞,2⁺,∞]⁺
cm(h) (*×) c1	h: [∞⁺,2⁺,∞]
cm(v) (*×) c1	v: [∞,2⁺,∞⁺]
pgg (22×) p_g2_g	[((∞,2)⁺)^[2]]
cmm (2*22) c2	[∞,2⁺,∞]

Параллелограммный (косой)
p1 (°) p1
p2 (2222) p2

Шестиугольная/Треугольная
[6,3], / [3^[3]],
p1 (°) p1
p2 (2222) p2	[6,3]^Δ
cmm (2*22) c2	[6,3]^⅄
p3 (333) p3	[1⁺,6,3⁺] [3^[3]]⁺
p3m1 (*333) p3	[1⁺,6,3] [3^[3]]
p31m (3*3) h3	[6,3⁺]
p6 (632) p6	[6,3]⁺
p6m (*632) p6	[6,3]

Взаимосвязь подгрупп обоев

В приведенной ниже таблице на пересечении строки, соответствующей группе $G$ , и столбца, соответствующего группе $H$ , находится минимальный индекс подгруппы $G$ , изоморфной $H$ . На диагонали находится минимальный индекс собственной подгруппы, изоморфной объемлющей группе.

Взаимосвязь подгрупп 17-и групп обоев ^[2]
		o	2222	××	**	*×	22×	22*	*2222	2*22	442	4*2	*442	333	*333	3*3	632	*632
		p1	p2	pg	pm	cm	pgg	pmg	pmm	cmm	p4	p4g	p4m	p3	p3m1	p31m	p6	p6m
o	p1	2
2222	p	2	2	2
××	pg	2		2
**	pm	2		2	2	2
*×	cm	2		2	2	3
22×	pgg	4	2	2			3
22*	pmg	4	2	2	2	4	2	3
*2222	pmm	4	2	4	2	4	4	2	2	2
2*22	cmm	4	2	4	4	2	2	2	2	4
442	p4	4	2								2
4*2	p4g	8	4	4	8	4	2	4	4	2	2	9
*442	p4m	8	4	8	4	4	4	4	2	2	2	2	2
333	p3	3												3
*333	p3m1	6		6	6	3								2	4	3
3*3	p31m	6		6	6	3								2	3	4
632	p6	6	3											2			4
*632	p6m	12	6	12	12	6	6	6	6	3				4	2	2	2	3

См. также

Список групп сферической симметрии
Гиперболическая плоскость^[англ.] — Гиперболические группы симметрии

Примечания

↑ Hestenes, Holt, 2007.
↑ H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups. Berlin:Springer, 1972. § 4.6, Table 4

Литература

D. Hestenes^[англ.], J. Holt. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra // Journal of Mathematical Physics.. — 2007. — Т. 48, 023514.
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — A.K. Peters, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. (Orbifold notation for polyhedra, Euclidean and hyperbolic tilings)

John H. Conway, Derek A. Smith. On Quaternions and Octonions: Their geometry, arithmetic, and symmetry. — Natick, MA: A K Peters, Ltd., 2003. — ISBN 978-1-56881-134-5.
Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
Coxeter, H. S. M. and Moser, W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09212-9.
N.W. Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.

Ссылки

"Conway's manuscript" on Orbifold notation (Notation changed from this original, x is now used in place of open-dot, and o is used in place of the closed dot)
The 17 Wallpaper Groups