PROFILPELAJAR.COM

Точечная группа в трёхмерном пространстве
Группы многогранников, [n,3], (*n32)
Симметрии-инволюции C_s, (*) [ ] =	Циклическая симметрия C_nv, (*nn) [n] =	Диэдральная симметрия D_nh, (*n22) [n,2] =
Тетраэдральная симметрия T_d, (*332) [3,3] =	Октаэдральная симметрия O_h, (*432) [4,3] =	Икосаэдральная симметрия I_h, (*532) [5,3] =

Группы сферической симметрии также называются точечными группами в трёхмерном пространстве, однако эта статья рассматривает только конечные симметрии. Существует пять фундаментальных классов симметрии, которыми обладают треугольные фундаментальные области: диэдрическая, циклическая, тетраэдральная симметрия, октаэдральная симметрия^[англ.] и икосаэдральная симметрия.

Статья перечисляет группы согласно символам Шёнфлиса, записи Коксетера^[англ.] ^[1], орбифолдной записи^[англ.] ^[2] и порядка. Конвей использовал вариант записи Шёнфлиса, основанном на алгебраической структуре группы кватернионов, с обозначениями одной или двумя заглавными буквами и полным набором нижних числовых индексов. Порядок группы обозначается индексом, если только он не удваивается символом плюс-минус ("±"), который подразумевает центральную симметрию ^[3].

Символика Германа — Могена (интернациональная запись) приводится также. Группы кристаллографии, 32 в общем числе, являются подмножеством с элементами порядка 2, 3, 4 и 6 ^[4].

Симметрии-инволюции

Имеется четыре симметрии, которые являются обратными себе, т.е. инволюциями: тождественное преобразование (C₁), зеркальная симметрия (C_s), вращательная симметрия (C₂), и центральная симметрия (C_i).

Инт.	Геом. ^[5]	Орб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.	Фунд. область
1	1	11	C₁	C₁	][ [ ]⁺	1
2	2	22	D₁ = C₂	D₂ = C₂	[2]⁺	2

Инт.	Геом.	Ориб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.	Фунд. область
1	22	×	C_i = S₂	CC₂	[2⁺,2⁺]	2
2 = m	1	*	C_s = C_1v = C_1h	±C₁ = CD₂	[ ]	2

Циклическая симметрия

Существуют четыре бесконечных семейства циклической симметрии^[англ.] с n=2 и выше. (n может быть равен 1 как особый случай нет симметрии)

Инт.	Гео	Орб.	Шёнф.	Конвей.	Кокс.	Пор.
2	2	22	C₂ = D₁	C₂ = D₂	[2]⁺ [2,1]⁺	2
mm2	2	*22	C_2v = D_1h	CD₄ = DD₄	[2] [2,1]	4
4	42	2×	S₄	CC₄	[2⁺,4⁺]	4
2/m	22	2*	C_2h = D_1d	±C₂ = ±D₂	[2,2⁺] [2⁺,2]	4

Инт.	Геом.	Орб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.
3 4 5 6 n	3 4 5 6 n	33 44 55 66 nn	C₃ C₄ C₅ C₆ C_n	C₃ C₄ C₅ C₆ C_n	[3]⁺ [4]⁺ [5]⁺ [6]⁺ [n]⁺	3 4 5 6 n
3m 4mm 5m 6mm -	3 4 5 6 n	33 44 55 66 *nn	C_3v C_4v C_5v C_6v C_nv	CD₆ CD₈ CD₁₀ CD₁₂ CD_2n	[3] [4] [5] [6] [n]	6 8 10 12 2n
3 8 5 12 -	62 82 10.2 12.2 2n.2	3× 4× 5× 6× n×	S₆ S₈ S₁₀ S₁₂ S_2n	±C₃ CC₈ ±C₅ CC₁₂ CC_2n / ±C_n	[2⁺,6⁺] [2⁺,8⁺] [2⁺,10⁺] [2⁺,12⁺] [2⁺,2n⁺]	6 8 10 12 2n
3/m=6 4/m 5/m=10 6/m n/m	32 42 52 62 n2	3* 4* 5* 6* n*	C_3h C_4h C_5h C_6h C_nh	CC₆ ±C₄ CC₁₀ ±C₆ ±C_n / CC_2n	[2,3⁺] [2,4⁺] [2,5⁺] [2,6⁺] [2,n⁺]	6 8 10 12 2n

Диэдральная симметрия

Существует три бесконечных семейства с диэдральной симметрией^[англ.] с n равным 2 и выше. (n может быть равен 1 как специальный случай)

Инт.	Геом.	Орб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.
222	2.2	222	D₂	D₄	[2,2]⁺	4
42m	42	2*2	D_2d	DD₈	[2⁺,4]	8
mmm	22	*222	D_2h	±D₄	[2,2]	8

Инт.	Геом.	Орб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.
32 422 52 622	3.2 4.2 5.2 6.2 n.2	223 224 225 226 22n	D₃ D₄ D₅ D₆ D_n	D₆ D₈ D₁₀ D₁₂ D_2n	[2,3]⁺ [2,4]⁺ [2,5]⁺ [2,6]⁺ [2,n]⁺	6 8 10 12 2n
3m 82m 5m 12.2m	62 82 10.2 12.2 n2	23 24 25 26 2*n	D_3d D_4d D_5d D_6d D_nd	±D₆ DD₁₆ ±D₁₀ DD₂₄ DD_4n / ±D_2n	[2⁺,6] [2⁺,8] [2⁺,10] [2⁺,12] [2⁺,2n]	12 16 20 24 4n
6m2 4/mmm 10m2 6/mmm	32 42 52 62 n2	223 224 225 226 *22n	D_3h D_4h D_5h D_6h D_nh	DD₁₂ ±D₈ DD₂₀ ±D₁₂ ±D_2n / DD_4n	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	12 16 20 24 4n

Симметрии многогранников

Существует три типа симметрии многогранников^[англ.]: тетраэдральная симметрия, октаэдральная симметрия^[англ.] и икосаэдральная симметрия, названные по правильным многогранникам с треугольными гранями, которые обладают такими симметриями.

Тетраэдральная симметрия
Инт.	Геом.	Орб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.
23	3.3	332	T	T	[3,3]⁺ = [4,3⁺]⁺	12
m3	43	3*2	T_h	±T	[4,3⁺]	24
43m	33	*332	T_d	TO	[3,3] = [1⁺,4,3]	24

Октаэдральная симметрия^[англ.]
Инт.	Геом.	Орб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.	Фунд. область
432	4.3	432	O	O	[4,3]⁺ = [[3,3]]⁺	24
m3m	43	*432	O_h	±O	[4,3] = [[3,3]]	48

Икосаэдральная симметрия
Инт.	Геом.	Орб.	Шёнф.	Конвей	Кокс.	Пор.	Фунд. область
532	5.3	532	I	I	[5,3]⁺	60
532/m	53	*532	I_h	±I	[5,3]	120

См. также

Литература

Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Appendix I
Donald E. Sands. Crystal Systems and Geometry // Introduction to Crystallography. — Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1993. — С. 165. — ISBN 0-486-67839-3.

Джон Х. Конвей, Дерек А. Смит. О кватернионах и октавах = On Quaternions and Octonions. — Москва: МЦНМО, 2009. — ISBN 978-5-94057-517-7.
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — New-York: A K Peters/CRC Press,, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. — Wiley-Interscience Publication,, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
Norman Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.
D. Hestenes^[англ.], J. Holt. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra // Journal of Mathematical Physics. — 2007. — Вып. 48, 023514.