Случайная величина

Случайная величина — функция, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей.[1] Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией , значения которой численно выражают исходы случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из в [2].

Как функция, случайная величина не является вероятностью наступления события , а возвращает численное выражение исхода . Важными характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия[3].

Примером объектов, для представления состояния которых требуется применение случайных величин, являются микроскопические объекты, описываемые квантовой механикой. Случайными величинами описываются события передачи наследственных признаков от родительских организмов к их потомкам (см. Законы Менделя). К случайным относятся события радиоактивного распада ядер атомов.[1]

Существует ряд задач математического анализа и теории чисел, для которых участвующие в их формулировках функции целесообразно рассматривать как случайные величины, определённые на подходящих вероятностных пространствах[4].

История

Роль случайной величины, как одного из основных понятий теории вероятностей, впервые была чётко осознана П. Л. Чебышёвым, который обосновал общепринятую на сегодня точку зрения на это понятие (1867)[5]. Понимание случайной величины как частного случая общего понятия функции, пришло значительно позднее, в первой трети 20 века. Впервые полное формализованное представление основ теории вероятностей на базе теории меры было разработано А. Н. Колмогоровым (1933)[6], после которого стало ясным, что случайная величина представляет собой измеримую функцию, определённую на вероятностном пространстве. В учебной литературе эта точка зрения впервые последовательно проведена У. Феллером (см. предисловие к[7], где изложение строится на основе понятия пространства элементарных событий и подчёркивается, что лишь в этом случае представление случайной величины становится содержательным).

Определение

Формальное математическое определение следующее: пусть  — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция , измеримая относительно и борелевской σ-алгебры на . Вероятностное поведение отдельной (независимой от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом[8]. Функция называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел и множество таких событий , что , принадлежит .

Способы задания

Задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения равна вероятности того, что значение случайной величины меньше вещественного числа . Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна . Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения.

Другим способом задания случайной величины является функциональное преобразование случайной величины . Если  — борелевская функция, то также является случайной величиной. Например, если  — стандартная нормальная случайная величина, то случайная величина имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера, распределение Стьюдента являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.

Если случайная величина дискретная, то есть мощность множества не более чем счётно, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием функции вероятностей всех возможных значений этой случайной величины. В качестве примера рассмотрим биномиальный и пуассоновский законы распределения.

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью , «неудача» — с вероятностью . Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

.

Если при стремлении к бесконечности произведение остаётся равной константе , то биномиальный закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:

,

где

Числовые характеристики случайных величин

Математическим ожиданием или средним значением случайной величины в линейном нормированном пространстве X в вероятностном пространстве называется интеграл

(в предположении, что функция является интегрируемой).

Дисперсией случайной величины называется величина, равная:

В статистике для дисперсии часто употребляется обозначение или . Величина , равная

называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.

Ковариацией случайных величин и называется следующая величина:

=

(предполагается, что математические ожидания определены).

Если = 0, то случайные величины и называются не коррелированными. Независимые случайные величины всегда некоррелированы, однако обратное неверно[9].

Функция концентрации величины называется функция , заданная на неотрицательной полуоси следующим образом:

.

Функции от случайных величин

Если  — борелевская функция, а  — случайная величина, то ее функциональное преобразование также является случайной величиной. Например, если  — стандартная нормальная случайная величина, случайная величина имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера и распределение Стьюдента, являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.

Если и с совместным распределением , а  — некоторая борелевская функция, то для справедливо[10]:

Если , и независимы, то . Применяя теорему Фубини, получаем:

и аналогично:

Если и функции распределения, то функцию

называют свёрткой и и обозначают .
Характеристическая функция суммы независимых случайных величин и является преобразованием Фурье свёртки функций распределения и и равна произведения характеристических функций и :

Примеры

Дискретная случайная величина

Примерами дискретной случайной величины могут служить показания спидометра или измерения температуры в конкретные моменты времени[11].

Подбрасывание монеты

Все возможные исходы подбрасывания монеты могут быть описаны пространством элементарных событий орёл, решка или кратко . Пусть случайная величина равна выигрышу в результате подбрасывания монеты. Пусть выигрыш будет 10 рублей каждый раз, когда монета выпадает орлом, и −33 рубля при выпадении решки. Математически эту функцию выигрыша можно представить так:

Если монета идеальная, то выигрыш будет иметь вероятность, заданную как:

где  — вероятность получения рублей выигрыша при одном подбрасывании монеты.
Если пространство исходов равно множеству всех возможных комбинаций очков на двух костях, и случайная величина равна сумме этих очков, тогда S — дискретная случайная величина, чьё распределение описывается функцией вероятности, значение которой изображено как высота соответствующей колонки.

Бросание игральных костей

Случайная величина также может быть использована для описания процесса бросания игральных костей, а также для расчёта вероятности конкретного исхода таких бросков. В одном из классических примеров данного эксперимента используются две игральные кости и , каждая из которых может принимать значения из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} (количество очков на сторонах костей). Общее количество очков выпавших на костях и будет значением нашей случайной величины , которая задаётся функцией:

и (если кости идеальные) функция вероятности для задаётся через:

,
где  — сумма очков на выпавших костях.


Колода карт

Пусть экспериментатор тянет наугад одну из карт в колоде игральных карт. Тогда будет представлять одну из вытянутых карт; здесь не число, а карта — физический объект, название которого обозначается через символ . Тогда функция , принимая в качестве аргумента «название» объекта, вернёт число, с которым мы будем в дальнейшем ассоциировать карту . Пусть в нашем случае экспериментатор вытянул Короля Треф, то есть , тогда после подставления этого исхода в функцию , мы получим уже число, например, 13. Это число не является вероятностью вытягивания короля из колоды или любой другой карты. Это число является результатом перевода объекта из физического мира в объект математического мира, ведь с числом 13 уже можно проводить математические операции, в то время как с объектом эти операции проводить было нельзя.

Абсолютно непрерывная случайная величина

Другой класс случайных величин — такие, для которых существует неотрицательная функция , удовлетворяющая при любых равенству . Случайные величины, удовлетворяющие этому свойству называются абсолютно непрерывными, а функция называется плотностью распределения вероятностей.

Число возможных значений абсолютно непрерывной случайной величины бесконечно. Пример абсолютно непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.[11]

Рост случайного прохожего

Пусть в одном из экспериментов нужно случайным образом выбрать одного человека (обозначим его как ) из группы испытуемых, пусть тогда случайная величина выражает рост выбранного нами человека. В этом случае, с математической точки зрения, случайная величина интерпретируется как функция , которая трансформирует каждого испытуемого в число — его рост . Для того чтобы рассчитать вероятность того, что рост человека попадёт в промежуток между 180 см и 190 см, или вероятность того, что его рост будет выше 150 см, нужно знать распределение вероятности , которое в совокупности с и позволяет рассчитывать вероятности тех или иных исходов случайных экспериментов.

Простейшие обобщения

Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,

  • Измеримая функция называется -мерным случайным вектором (относительно борелевской -алгебры на ).
  • Измеримая функция называется -мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской -алгебры).
  • Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.

См. также

Примечания

  1. 1 2 Прохоров Ю. В. Случайная величина //Математическая энциклопедия/Под ред. Виноградова И. М.- М.: Советская энциклопедия, 1985.-Т.5.- Стр. 9.- 623 с.
  2. Чернова, 2007, с. 49—50.
  3. Случайная величина — статья из Большой советской энциклопедии
  4. Кац М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963.
  5. Чебышев П. Л., О средних величинах, в кн.: Полн. Собр. Соч., т. 2, М.- Л., 1947
  6. Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974
  7. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967
  8. Чернова Н. И. Глава 6. Случайные величины и их распределения § 1. Случайные величины // Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с. Архивировано 20 июня 2010 года.
  9. Joseph P. Romano, Andrew F. Siegel. Counterexamples in Probability and Statistics. — Belmont, California: Wadsworth, Inc., 1986. — 326 с. — ISBN 0534055680.
  10. Ширяев А. Н. Вероятность. — М:.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6.
  11. 1 2 Образовательный портал ТГУ. edu.tltsu.ru. Дата обращения: 26 июня 2020. Архивировано 29 июня 2020 года.

Литература

  • Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. — 8-е изд. доп. и испр. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. — ISBN 5-354-01091-8.
  • Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. — 2-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1998. — 847 с.
  • Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. — Учебное пособие для ВУЗов. — М.: Радио и связь, 1991. — 608 с. — ISBN 5-256-00789-0.
  • Чернова Н. И. Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Ссылки

Read other articles:

Pour les articles homonymes, voir CGT. Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Certaines informations figurant dans cet article ou cette section devraient être mieux reliées aux sources mentionnées dans les sections « Bibliographie », « Sources » ou « Liens externes » (avril 2023). Vous pouvez améliorer la vérifiabilité en associant ces informations à des références à l'aide d'appels de notes. Confédérat...

 

العلاقات الغينية الليسوتوية غينيا ليسوتو   غينيا   ليسوتو تعديل مصدري - تعديل   العلاقات الغينية الليسوتوية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين غينيا وليسوتو.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه المقارنة غيني�...

 

Island in Narragansett Bay Greene Island (also known as Greene's Island or Little Island) is a small island in Narragansett Bay, Warwick, Rhode Island. The island was named after Captain John Greene who purchased the island in 1642 from Native Americans as part of a larger purchase of 660 acres around Occupaspatuxet Cove. Occupaspatuxet means where “meadows cut through by a river,” and the area was also known as Greene's Hold. Chief Miantonomi was one of the Indian witnesses on the deed t...

Arizona Pemakaian Bendera sipil dan negara Perbandingan 2:3 Dipakai 27 Februari 1917, 105 tahun yang lalu Perkemahan Perry (Camp Perry) adalah fasilitas pelatihan Garda Nasional yang terletak di tepi Danau Erie di Ohio utara dekat Port Clinton. Selain misi regulernya sebagai pangkalan pelatihan militer, Camp Perry juga memiliki jangkauan senapan luar ruangan terbesar kedua di dunia setelah NRA Whittington Center di Raton, NM. Penembakan dilakukan ke arah perairan terbuka danau, yang terletak...

 

الأكاديمية العسكرية المصريةكلية الدفاع الجوي شعار كلية الدفاع الجوي (مصر)الشعار الشعار إيمان . عزم . مجد معلومات التأسيس 1974 (منذ 50 سنة) تتبع جامعة الأكاديمية العسكرية المصرية النوع كلية عسكرية الموقع الجغرافي إحداثيات 31°16′19″N 30°06′16″E / 31.271967°N 30.104449°E / 31.271967; 30...

 

Европейская сардина Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеГруппа:Костные рыбыКласс:Лучепёрые рыбыПодкласс:Новопёры...

Урядник 1-го и обер-офицер 2-го Украинских казачьих полков, в 1812 — 1815 годах.[1] Украи́нские ула́нские полки́ — формирования (уланские полки) Русской императорской армии Вооружённых сил Российской империи, образованные в результате переименования в 1816 году четырёх п...

 

Person new to a profession For other uses, see Rookie (disambiguation). The examples and perspective in this article deal primarily with the United States and do not represent a worldwide view of the subject. You may improve this article, discuss the issue on the talk page, or create a new article, as appropriate. (October 2021) (Learn how and when to remove this message) A rookie is a person new to an occupation, profession, or hobby. In sports, a rookie is a professional athlete in their fi...

 

2016年美國總統選舉 ← 2012 2016年11月8日 2020 → 538個選舉人團席位獲勝需270票民意調查投票率55.7%[1][2] ▲ 0.8 %   获提名人 唐納·川普 希拉莉·克林頓 政党 共和黨 民主党 家鄉州 紐約州 紐約州 竞选搭档 迈克·彭斯 蒂姆·凱恩 选举人票 304[3][4][註 1] 227[5] 胜出州/省 30 + 緬-2 20 + DC 民選得票 62,984,828[6] 65,853,514[6]...

State electoral district of Western Australia PilbaraWestern Australia—Legislative AssemblyLocation of Pilbara (dark green) in Western AustraliaStateWestern AustraliaDates current1894–present1MPKevin MichelPartyLaborNamesakePilbara regionElectors23,272 (2021)Area292,470 km2 (112,923.3 sq mi)DemographicProvincial, remote and rural Electorates around Pilbara: Indian Ocean Kimberley Kimberley Indian Ocean Pilbara Kimberley North West Central North West Central Kimberley F...

 

اضغط هنا للاطلاع على كيفية قراءة التصنيف الشيميات شيماني مالاباري المرتبة التصنيفية فصيلة[1]  التصنيف العلمي النطاق: حقيقيات النوى المملكة: حيوانات غير مصنف: ثانويات الفم الشعبة: الحبليات غير مصنف: الفقاريات غير مصنف: الفكيات غير مصنف: شعاعيات الزعانف غير مصنف: جديد�...

 

Historically racially segregated hospitals in Canada Part of a series onHealthcare in Canada Health Canada Minister of Health Canada Health Act Medicare Health Transfer Non-Insured Benefits Controlled Drugs andSubstances Act History of medicine Physicians Nursing Father of medicare Comparison with the US Indian hospitals Hospital Insurance andDiagnostic Services Act Topics Abortion Drug policy Euthanasia Refugees HIV/AIDS Murder Suicide Smoking Obesity Canada portalvte Indigenous peoplesi...

Mathematical paradox The nine intersections of x 3 − x = 10 ( y 3 − y ) {\displaystyle x^{3}-x=10(y^{3}-y)} and y 3 − y = 10 ( x 3 − x ) {\displaystyle y^{3}-y=10(x^{3}-x)} In mathematics, Cramer's paradox or the Cramer–Euler paradox[1] is the statement that the number of points of intersection of two higher-order curves in the plane can be greater than the number of arbitrary points that are usually needed to define one such curve. It is named after the ...

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (مارس 2022) شاوشكا إلهة الحب والحرب والشفاء نقش بارز من يازيليكايا بالقرب من خاتوشا (بوغاز كوي) يصور شاوشكا. مركز العبادة الرئيسي نينوى الآباء أنو (وربما كوماربي)، أو كوشو...

 

Nikolaj Andreevič Rimskij-Korsakov Nikolaj Andreevič Rimskij-Korsakov (in russo Николай Андреевич Римский-Корсаков?; Tichvin, 18 marzo 1844 – Ljubensk, 21 giugno 1908) è stato un compositore e docente russo, particolarmente noto per la sua fine orchestrazione, basata soprattutto sulla valorizzazione dei timbri degli strumenti e del loro singolo colore che diventa fondamentale nella tessitura musicale. Le sue composizioni più famose sono Shahrazād, La...

Grecia Uniformi di gara Casa Trasferta Sport Calcio FederazioneEPOΕλληνική Ποδοσφαιρική Ομοσπονδία (Elinikì Podosferikì Omospondìa) ConfederazioneUEFA Codice FIFAGRE SoprannomeΗ Γαλανόλευκη (Biancoazzurri)Το Πειρατικό (La nave pirata) Selezionatore Ivan Jovanović Record presenzeGiōrgos Karagkounīs (139) CapocannoniereNikos Anastopoulos (29) Ranking FIFA50º[1] (4 aprile 2024) Sponsor tecnicoNike Esordio internazionale Grecia 1...

 

Dieser Artikel behandelt die Boltzmann-Konstante aus der Thermodynamik. Davon zu unterscheiden ist die Stefan-Boltzmann-Konstante im Strahlungsgesetz schwarzer Körper. Physikalische Konstante Name Boltzmann-Konstante Formelzeichen k {\displaystyle k} oder k B {\displaystyle k_{\mathrm {B} }} Wert SI 1.380649e-23 J K {\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}} Unsicherheit (rel.) (exakt) Planck-Einheiten 1 Quellen und Anmerkungen Der Wert dient zur Definition der SI-...

 

ligne Furka-Oberalp Localisation Canton des Grisons, canton d'Uri et canton du Valais Longueur 100,65 km Écartement des rails Écartement métrique modifier  La compagnie Furka-Oberalp Bahn (FO) est une ancienne entreprise ferroviaire Suisse. Elle a fusionné avec le Brig-Visp-Zermatt Bahn (BVZ) et le Gornergrat Bahn pour former la Matterhorn-Gotthard Bahn (MGB). Elle exploitait à l'origine une ligne reliant Disentis et Brigue, passant par le col de l'Oberalp. Histoire Compagnie Suiss...

Roman emperor from 364 to 378 Not to be confused with Valerius Valens or Ritchie Valens. This article is about the Roman emperor. For other uses, see Valens (disambiguation). This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Valens – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2024) (Learn how and wh...

 

東京大学医科学研究所 東京大学医科学研究所 1号館(東京都港区) 1号館 正面玄関正式名称 東京大学医科学研究所英語名称 The Institute of Medical Science, The University of Tokyo略称 東大医科研、IMSUT組織形態 大学附置研究所(共同利用・共同研究拠点)所在地 日本〒108-8639東京都港区白金台4丁目6番1号北緯35度38分23.4秒 東経139度43分29.6秒 / 北緯35.639833度 東経139.724889�...