PROFILPELAJAR.COM

Риччи-солитон — решение потока Риччи при котором пространство не меняется или меняется только изменением масштаба. Названы в честь Грегорио Риччи-Курбастро.

Многообразия Эйнштейна являются простейшим примером риччи-солитонов, для них параметриазация получаемая из потока Риччи является постоянной.

В общем случае, поток ричи определяет однопараметрическое семейство диффеоморфизмов на многообразии, получаемое интегрированием некого векторного поля $X$ , удовлетвояющего уравнению

\operatorname {Rc} (g_{0})=\lambda \cdot g_{0}+{\mathcal {L}}_{X}g_{0},

где $\operatorname {Rc}$ — кривизной Риччи тензор, и ${\mathcal {L}}$ — производная Ли. Если $X=0$ , то условие превращается в условие Эйнштейна

Типы

Если поле $X=\nabla f$ является градиентом некой функции $f$ , то солитон называется градиентным. В этом случае уравнение принимает вид
$\operatorname {Rc} (g_{0})=\lambda \cdot g_{0}+\mathrm {Hess} f,$

а сама функция

f

называется потенциалом солитона.

При $\lambda =0$ солитон называется стационарным, в этом случае рeшение существует на всей вещественной прамой и геометрически не меняется во времени; может меняться только параметризация фиксированного многообразия.
При $\lambda >0$ солитон сжимающийся, рeшение можно определить на луче $(-\infty ,0)$ .
При $\lambda <0$ солитон растягивающийся, рeшение можно определить на луче $(0,\infty )$ .

Свойства

Для любого конуса $C$ над сферой с римановой метрикой оператора кривизны $\geq 1$ существует единственный растягивающийся градиентный риччи-солитон $M^{t}$ , такой, что $M^{t}$ сходится к $C$ при $t\to 0$ по Громову — Хаусдрофу.^[1]

Для любого градиентного солитона с потенциалом $f$ выполняется тождество
$2\cdot \mathrm {Rc} (\nabla f)+\nabla \mathrm {R} =0,$

где

\mathrm {Rc}

обозначает тензор Риччи, а

\mathrm {R}

— скалярную кривизну.

Примеры

Евлидово пространство является грдиентным Риччи-солитоном; потенциалом может служить любая функция пропорциональная квадрату расстояния до фиксированной точки; в зависимости от выбора коэффициента пропорциональности можно получить стационарный, сжимающийся, а также растягивающийся солитон.
Плоскость $\mathbb {R} ^{2}$ с метрикой
$ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}$