Скалярная кривизна — один из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором.
Обычно обозначается или .
Определение
Скалярную кривизну можно определить как след тензора Риччи
или как удвоенный след оператора кривизны.
Пользуясь соглашением Эйнштейна, это можно записать через компоненты метрического тензора и тензора Риччи
Уравнения гравитационного поля
В общей теории относительности функционал действия для гравитационного поля выражается посредством интеграла по четырёхмерному объёму от скалярной кривизны:
Поэтому уравнения гравитационного поля могут быть получены путём взятия производной Эйлера — Лагранжа от скалярной плотности кривизны [1].
Свойства
- Для двумерных римановых многообразий скалярная кривизна совпадает с удвоенной гауссовой кривизной многообразия.
- Интеграл по гауссовой кривизне равен эйлеровой характеристике поверхности умноженной на — это утверждение составляет суть теоремы Гаусса — Бонне.
См. также
Примечания