Преобразование Ханкеля

В математике преобразование Ханкеля порядка $\nu$ функции $f(r)$ задаётся формулой

F_{\nu }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)r\,dr,

где $J_{\nu }$ — функция Бесселя первого рода порядка $\nu ,$ и $\nu \geqslant -1/2$ . Обратным преобразованием Ханкеля функции $F_{\nu }(k)$ называют выражение

f(r)=\int \limits _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\,dk,

которое можно проверить с помощью ортогональности, описанной ниже.

Преобразование Ханкеля является интегральным преобразованием. Оно было изобретено Германом Ханкелем и известно также под именем преобразование Бесселя — Фурье.

Область определения

Преобразование Ханкеля функции $f(r)$ верно для любых точек на интервале $(0,\infty )$ , в которых функция $f(r)$ непрерывна или кусочно-непрерывна с конечными скачками, и интеграл

\int \limits _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{1/2}\,dr

конечен.

Возможно также расширить это определение (подобно тому, как это делается для преобразования Фурье), включив в него некоторые функции, интеграл которых бесконечен (например, $f(r)=r$ ).

Ортогональность

Функции Бесселя формируют ортогональный базис с весом $r$ :

\int \limits _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r\,dr={\frac {\delta (k-k')}{k}}

для $k,k'>0$ .

Преобразование Ханкеля некоторых функций

$f(r)$	$F_{0}(k)$
$1$	$\delta (k)/k$
$r$	$-1/k^{3}$
$r^{3}$	$9/k^{5}$
$r^{m}$	${\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma (-m/2)}}$ для нечётных m, $0$ для чётных m.
$e^{iar}$	${\frac {-ia{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}}{(k^{2}-a^{2})^{2}}}$
$e^{a^{2}r^{2}/2}$	${\frac {-e^{k^{2}/2a^{2}}}{a^{2}}}$

См. также

Преобразование Фурье

Ссылки

Gaskill, Jack D., «Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics», John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5.
Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.

Интегральное исчисление

Основное

Обобщения
интеграла Римана

Интегральные
преобразования

Численное
интегрирование

Теория меры

Связанные темы

Списки интегралов

Интегральные преобразования
Преобразование Абеля Преобразования Бесселя Преобразование Бушмана Преобразование Гегенбауэра Преобразование Гильберта Преобразование Конторовича — Лебедева Преобразование Лапласа Преобразование Мейера Преобразование Мелера — Фока Преобразование Меллина Преобразование Нерейна Преобразование Радона Преобразование Стилтьеса Преобразование Фурье Преобразование Ханкеля Преобразование Хартли

Read other articles:

Argylle

ArgyllePoster rilis teatrikalSutradaraMatthew VaughnProduser Matthew Vaughn Adam Bohling David Reid Jason Fuchs Ditulis olehJason FuchsPemeran Henry Cavill Bryce Dallas Howard Sam Rockwell Catherine O'Hara Dua Lipa Ariana DeBose Bryan Cranston John Cena Samuel L. Jackson Penata musikLorne BalfeSinematograferGeorge RichmondPenyunting Lee Smith Tom Harrison-Read Perusahaanproduksi Apple Original Films Marv Studios Cloudy Productions Distributor Universal Pictures Apple TV+ Tanggal rilis 2...

Chisato Moritaka

Chisato MoritakaNama asal森高千里Lahir11 April 1969 (umur 54)Ibaraki, Osaka, JepangPekerjaanPenyanyi-penulis laguAgenUp-Front CreateTinggi161 cm (5 ft 3 in)Suami/istriYōsuke Eguchi (m. 1999)Anak2Karier musikGenreJ-popdance-poppop rockfolk-popcity popInstrumenVokaldrumgitarpianorekamanaccordionclarinetTahun aktif 1987–1999 2012–sekarang Label Up-Front Works Warner Music Japan zetima Warner Pioneer One Up Music Artis terkait Hiro...

Popov Manor House

Manor house in Vasylivka, Zaporizhzhia OblastPopov Manor HouseNative name Ukrainian: Садиба ПоповаTypeManor houseLocationVasylivka, Zaporizhzhia OblastCoordinates47°26′45″N 35°16′30″E / 47.44583°N 35.27500°E / 47.44583; 35.27500Area2.87 ha (7.1 acres)FounderVasiliy PopovBuilt1864-1884Original useFamily manor houseCurrent useHistorical museumArchitectnot establishedArchitectural style(s)Moorish architecture, Gothic Revival architecture, othe...

Buguias, Benguet

Peta yang menunjukkan letak Buguias Data sensus penduduk di Buguias Tahun Populasi Persentase 199528.034—200033.1773.68%200734.5070.54% Buguias adalah munisipalitas di provinsi Benguet, Filipina. Pada tahun 2007, munisipalitas ini memiliki populasi sebesar 34.507 jiwa atau 6.312 rumah tangga. Pembagian wilayah Secara politis Buguias terbagi atas 14 barangay, yaitu: Abatan Amgaleyguey Amlimay Baculongan Norte Bangao Buyacaoan Calamagan Catlubong Loo Natubleng Poblacion (Central) Baculongan S...

Yogita Bihani

Yogita BihaniBihani in 2019Lahir07 Agustus 1995 (umur 28)New Delhi, IndiaPekerjaanaktrisTahun aktif2018–sekarang Yogita Bihani adalah aktris India yang memulai debut televisinya sebagai Palak Sharma dalam Ekta Kapoor acara romantis Dil Hi Toh Hai pada tahun 2018.[1][2] Kehidupan awal dan latar belakang Yogita lahir pada tanggal 7 Agustus 1995. Ia telah menyelesaikan pendidikan SMA-nya dari Sumermal Jain Public School pada 2012.[3] Dari 2012 hingga 2015, Yo...

هجمات يوليو 2009 السيبرانية

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (سبتمبر 2023) حرب يوليو 2009 السيبرانية هي سلسلة من الهجمات السيبرانية المنظمة ضد عدد من المؤسسات الحكومية، والمالية، ووكالات الأنباء في كوريا الجنوبية والولايات المتحدة...

Индейская кухня

Жареный хлеб Кухня индейцев зародилась ещё в доколониальный период и до настоящего времени сохраняет своеобразие. Хотя основана она на продуктах, распространённых в Америке ещё в доколумбову эпоху, в неё со временем проникли и некоторые европейские ингредиенты (наприм�...

Paramount Parks

Former amusement park owner and operator Paramount ParksCompany typeSubsidiaryIndustryTheme Parks and Themed AttractionsFounded1993; 31 years ago (1993)DefunctJune 30, 2006 (sold to Cedar Fair)2017 (licensing contract terminated)HeadquartersCharlotte, North Carolina, U.S.Key people80 (2004)ParentParamount Communications (1993-1994)Viacom (1994-2005)CBS Corporation (2005–2006)Cedar Fair (2006-2007) Paramount Parks was the operator of Paramount's Kings Island, Paramount's Ki...

قائمة الحاصلين على جائزة تمبلتون

جائزة تمبلتونشعار الجائزةمعلومات عامةنوع الجائزة جائزة دينيةمنحت لـ المساهمات البارزة في تأكيد البعد الروحاني للحياة، سواء من خلال البصيرة أو الاكتشاف أو الأعمال العملية.البلد الولايات المتحدةسميت باسم جون تمبلتونمقدمة من مؤسسة جون تمبلتونقيمة الجائزة 795٬000 جنيه إس...

Jan Olsson (footballer, born 1942)

Swedish footballer Not to be confused with Jan Olsson (footballer, born 1944). Jan Olsson Jan Olsson during the 1974 FIFA World CupPersonal informationFull name Jan Olof OlssonDate of birth (1942-03-30) 30 March 1942 (age 82)Place of birth Halmstad, SwedenPosition(s) DefenderSenior career*Years Team Apps (Gls)1961–1965 Halmstads BK 156 (12)1965–1978 Åtvidabergs FF 230 (1)Total 386 (13)International career1973–1974 Sweden[1] 17 (0) *Club domestic league appearances and goal...

Presiden Korea Selatan

Presiden Republik Korea대한민국 대통령Segel KepresidenanBendera KepresidenanPetahanaYoon Seok-yeolsejak 10 Mei 2022GelarBapak Presiden (대통령님)(informal)Yang terhormat (대통령 각하)(formal)SingkatanPOTROK POSKAnggotaDewan Negara Dewan Keamanan Nasional Dewan Penasihat Unifikasi NasionalKediamanCheong Wa DaeKantorSeoul, Korea SelatanDitunjuk olehPemilihan umum langsungMasa jabatanLima tahunHanya satu kali masa periode jabatan, tidak dapat dipilih kembaliPejabat perdanaSy...

Blacklight

BlacklightAlbum studio karya KoilDirilisJuli 2010GenreRockLabelNagaswaraKronologi Koil Blacklight Shines On (2007)Blacklight Shines On2007 Blacklight (2010) Blacklight adalah album musik utama karya Koil yang dirlis pada tahun 2010 dan merupakan album repackage dari album sebelumnya, Blacklight Shines On. Perbedaannya, terdapat dua bonus lagu di dalamnya, yaitu Aku Rindu dan Suaramu Merdu ditambah versi remix dari Aku Lupa Aku Luka dan Sistem Kepemilikan oleh Vladvamp. Album ini dirilis o...

Francisco Reis Ferreira

Questa voce sull'argomento calciatori portoghesi è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Ferro Nazionalità Portogallo Altezza 191 cm Calcio Ruolo Difensore Squadra Hajduk Spalato CarrieraGiovanili 2011-2014 Benfica2014→ Casa Pia2014-2016 BenficaSquadre di club1 2016-2019 Benfica B90 (5)2018-2021 Benfica43 (3)2021→ Valencia3 (0)2022→ Hajdu...

Villenauxe-la-Petite

Pour les articles homonymes, voir Villenauxe. Villenauxe-la-Petite Le village. Administration Pays France Région Île-de-France Département Seine-et-Marne Arrondissement Provins Intercommunalité Communauté de communes de la Bassée - Montois Maire Mandat Michel Poulain 2020-2026 Code postal 77480 Code commune 77507 Démographie Gentilé Villenauxois Populationmunicipale 439 hab. (2021 ) Densité 21 hab./km2 Géographie Coordonnées 48° 24′ 23″ nord, 3° ...

Dallas/Fort Worth Metroplex

Cet article est une ébauche concernant le Texas et la géographie. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Dallas/Fort Worth MetroplexGéographiePays États-UnisÉtat TexasAltitude 417 mCoordonnées 32° 45′ 47″ N, 97° 01′ 57″ ODémographiePopulation 7,6 M hab. (2020)FonctionnementStatut Région métropolitaine statistique, aire urbaineHistoireOrigine du ...

Regina madre

Questa voce sull'argomento sovrani è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Elizabeth Bowes-Lyon, madre di Elisabetta II del Regno Unito e, fino alla morte, regina madre del Regno Unito Regina madre è il titolo riconosciuto a una regina vedova il cui figlio o figlia (nato dal matrimonio col re defunto) sia il monarca regnante. Pur essendo originaria delle monarchie ereditarie europee, l'espress...

The Beatles (album)

1968 studio album by the Beatles The White Album redirects here. For other uses, see The White Album (disambiguation). The BeatlesOriginal copies had the band's name blind embossed on a white background and were numbered.Studio album by the BeatlesReleased22 November 1968 (1968-11-22)Recorded30 May – 14 October 1968StudioEMI and Trident, LondonGenre Rock pop folk Length 93:33 (stereo version) 92:28 (mono version) LabelAppleProducerGeorge MartinThe Beatles chronology Sgt. ...

Congestion pricing

System of surcharging users of public goods that are subject to congestion This article is about traffic congestion pricing. For other types of congestion pricing, see Dynamic pricing and Variable pricing. For the broader concept of direct charges paid by road users, see Road pricing. Electronic Road Pricing gantry in Singapore, the first place in the world to implement an urban cordon area congestion pricing scheme Part of a series onEconomics History Outline Index Branches and classificatio...

佐久間良子

漫画家の「さくま良子」とは別人です。この存命人物の記事には検証可能な出典が不足しています。信頼できる情報源の提供に協力をお願いします。存命人物に関する出典の無い、もしくは不完全な情報に基づいた論争の材料、特に潜在的に中傷・誹謗・名誉毀損あるいは有害となるものはすぐに除去する必要があります。出典検索?: 佐久間良子 – ニュー...

Villaines-la-Juhel

Pour les articles homonymes, voir Villaines. Villaines-la-Juhel L'église Saint-Georges. Héraldique Administration Pays France Région Pays de la Loire Département Mayenne Arrondissement Mayenne Intercommunalité Communauté de communes du Mont des Avaloirs Maire Mandat Daniel Lenoir 2020-2026 Code postal 53700 Code commune 53271 Démographie Gentilé Villainais Populationmunicipale 2 694 hab. (2021 ) Densité 93 hab./km2 Population agglomération 4 048 hab. (2016)...

PROFILPELAJAR.COM