Преобразование Стилтьеса — это интегральное преобразование, которое для функции ${\displaystyle f(x)}$ имеет вид:

${\displaystyle F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx,}$

где интегрирование ведётся по вещественной полуоси, а ${\displaystyle \tau }$ меняется в комплексной плоскости, с разрезом вдоль отрицательной вещественной полуоси.

Данное преобразование является преобразованием свёртки, оно возникает при итерировании преобразования Лапласа. Преобразование Стилтьеса связано также с проблемой моментов для полубесконечного промежутка и, как следствие, с некоторыми цепными дробями.

Если ${\displaystyle f(x)x^{\frac {1}{2}}}$ непрерывна и ограничена на ${\displaystyle (0,\infty )}$, то справедлива формула обращения:

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{2\pi }}\left({\frac {e}{n}}\right)^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{2n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}F(x)\right),\quad x>0.}$

Впервые данное преобразование было рассмотрено Т. И. Стилтьесом.

Обозначим прямое преобразования Лапласа функции ${\displaystyle f(x)}$ (переменной ${\displaystyle x}$) как функцию новой переменной ${\displaystyle s}$ как

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-sx}f(x)\,dx.}$

Тогда повторное (итерированное) преобразование Лапласа

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f(x)\right\}(s)\right\}(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{x+\tau }}dx}$

представляет собой преобразование Стильтьеса (после взятия интеграла по ${\displaystyle s}$).

Поэтому многие свойства преобразования Стильтьеса могут быть получены непосредственно из свойств преобразования Лапласа.

Обозначим преобразование Стилтьеса функции ${\displaystyle f(x)}$ как

${\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{f(x)\right\}=F(\tau ).}$

Соответствующее обратное преобразование обозначим как:

${\displaystyle {\mathcal {S}}^{-1}\left\{F(\tau )\right\}=f(x).}$

• Умножение оригинала на переменную

В сумме изображение оригинала, умноженного на переменную, и произведение переменной на образ равны константе, равной интегралу по положительной вещественной полуоси от оригинала:

${\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{xf(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }f(x)dx-\tau F(\tau )}$

• Разностная производная образов

${\displaystyle {\mathcal {S}}^{-1}\left\{{\frac {F(\tau )-F(\alpha )}{\tau -\alpha }}\right\}=-{\frac {f(x)}{x+\alpha }},\quad |\operatorname {arg} (\alpha )|<\pi }$

• Разностная производная оригиналов

${\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\right\}={\frac {{\frac {1}{2}}\left(F(ae^{i\pi })+F(ae^{i\pi })\right)-f(a)\ln \left({\frac {\tau }{a}}\right)-F(\tau )}{\tau +a}},\quad a>0}$

• Растяжение по аргументу

При масштабировании переменной оригинала в ${\displaystyle a}$ раз переменная образа также масштабируется в ${\displaystyle a}$ раз:

${\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{f(ax)\right\}=F(a\tau ),\quad a>0}$

• Дифференцирование оригинала

Сумма образа производной и производной образа равна константе, поделённой на переменную образа, причём данная константа равна значению оригинала в нуле, взятому с обратным знаком:

${\displaystyle {\mathcal {S}}\left\{f'(x)\right\}=-{\frac {f(0)}{\tau }}-F'(\tau )}$

${\displaystyle F(\tau )=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)}{(x+\tau )^{\rho }}}dx.}$

${\displaystyle F(\tau )=\int _{+0}^{\infty }K(\tau ,x)f(x)dx,}$

где

${\displaystyle K(\tau ,x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\ln {\frac {\tau }{x}}}{\tau -x}},&\tau \neq x\\{\frac {1}{\tau }},&\tau =x\\\end{matrix}}\right.}$

• Математическая энциклопедия Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. — M, Наука, 1970