Преобразование Лежандра для заданной функции ${\displaystyle f(x)}$ — это построение функции ${\displaystyle f^{*}(p)}$, двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве ${\displaystyle V}$, её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве ${\displaystyle V^{*}}$, то есть на пространстве линейных функционалов на пространстве ${\displaystyle V}$.

Возможная мотивация может быть выражена в виде менее общего определения. Преобразование Лежандра — это такая замена функции и переменной, при которой старая производная принимается за новую переменную, а старая переменная — за новую производную.

Выражение для дифференциала

${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}$

в силу того, что ${\displaystyle d(xf')=f'\,dx+x\,df'}$, может быть записано в виде

${\displaystyle d(xf'-f)=x\,df'.}$

Если теперь принять, что

${\displaystyle F=xf'-f,\quad y=f'(x),}$

что и является преобразованием Лежандра ${\displaystyle (f,x)\to (F,y)}$, тогда

${\displaystyle dF(y)=F'(y)\,dy,\quad x=F'(y).}$

При этом новая переменная ${\displaystyle y}$ равна старой производной, а старая переменная ${\displaystyle x}$ равна новой производной:

${\displaystyle y=f'(x),\quad x=F'(y).}$

Определения могут отличаться знаком ${\displaystyle F}$. Если исходных переменных ${\displaystyle x}$ больше, чем одна, преобразование Лежандра может быть осуществлено по любому подмножеству из них.

Преобразованием Лежандра функции ${\displaystyle f}$, заданной на подмножестве ${\displaystyle M}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$, называется функция ${\displaystyle f^{*}}$, определенная на подмножестве ${\displaystyle M^{*}}$ сопряжённого пространства ${\displaystyle V^{*}}$ по формуле

${\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )},\quad p\in M^{*}=\left\{p:\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )}<\infty \right\},}$

где ${\displaystyle \langle p,x\rangle }$ — значение линейного функционала ${\displaystyle p}$ на векторе ${\displaystyle x}$. В случае гильбертова пространства ${\displaystyle \langle p,x\rangle }$ — обычное скалярное произведение. В частном случае дифференцируемой функции, заданной в ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{n}}$, переход к сопряженной функции осуществляется по формулам

${\displaystyle f^{*}(p)=\langle p,x\rangle -f(x),\quad p={\frac {\partial f}{\partial x}}=\operatorname {grad} f,}$

причём ${\displaystyle x}$ нужно выразить через ${\displaystyle p}$ из второго уравнения.

Для выпуклой функции ${\displaystyle f(x)}$ её надграфик ${\displaystyle \operatorname {epi} f=\{(x,y)\mid y\geqslant f(x)\}}$ есть выпуклое замкнутое множество, границей которого является график функции ${\displaystyle f(x)}$. Множество опорных гиперплоскостей к надграфику функции ${\displaystyle f(x)}$ есть естественная область определения её преобразованием Лежандра ${\displaystyle f^{*}(p).}$ Если ${\displaystyle p}$ — опорная гиперплоскость (в нашем случае касательная) к надграфику, она пересекает ось ${\displaystyle y}$ в некоторой единственной точке. Её ${\displaystyle y}$-координата, взятая со знаком минус, и есть значение функции ${\displaystyle f^{*}(p)}$.

Соответствие ${\displaystyle x\to p}$ определено однозначно в области, где функция ${\displaystyle f(x)}$ дифференцируема. Тогда ${\displaystyle p}$ — касательная гиперплоскость к графику ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x}$. Обратное соответствие ${\displaystyle p\to x}$ определено однозначно тогда и только тогда, когда функция ${\displaystyle f(x)}$ строго выпукла. В этом случае ${\displaystyle x}$ — единственная точка касания опорной гиперплоскости ${\displaystyle p}$ с графиком функции ${\displaystyle f(x).}$

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ дифференцируема и строго выпукла, определено соответствие ${\displaystyle p(x)\leftrightarrow df(x),}$ сопоставляющее гиперплоскости ${\displaystyle p}$ дифференциал функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x}$. Это соответствие взаимно однозначно и позволяет перенести область определения функции ${\displaystyle f^{*}(p)}$ в пространство ковекторов ${\displaystyle V^{*},}$ которыми являются дифференциалы функции ${\displaystyle f(x)}$.

В общем случае произвольной невыпуклой функции геометрический смысл преобразования Лежандра сохраняется. В силу опорного принципа, выпуклая оболочка надграфика ${\displaystyle \varphi }$ является пересечением полупространств, задаваемых всеми опорными гиперплоскостями, поэтому для преобразования Лежандра существенна лишь выпуклая оболочка надграфика ${\displaystyle \varphi }$. Таким образом, случай произвольной функции легко сводится к случаю выпуклой. Функция даже не обязана быть дифференцируемой или непрерывной, её преобразование Лежандра всё равно будет выпуклой полунепрерывной снизу функцией.

1. Теорема Фенхеля — Моро: для собственной выпуклой полунепрерывной снизу функции f, заданной на рефлексивном пространстве, преобразование Лежандра является инволютивным, то есть ${\displaystyle f^{**}(x)=f(x)}$. Легко убедиться, что если выпуклым замыканием функции f является функция g, то f* = g*. Отсюда следует, что для невыпуклой функции, выпуклое замыкание которой — собственная функция,

   ${\displaystyle f^{**}(x)=\operatorname {\overline {co}} f(x)}$,

   где ${\displaystyle \operatorname {\overline {co}} f}$ — выпуклое замыкание функции f.

2. Непосредственно из аналитического определения следует неравенство Юнга — Фенхеля:

   ${\displaystyle f(x)+f^{*}(p)\geqslant \langle p,x\rangle }$, причём равенство достигается, только если p = F́(x).

   (Часто неравенством Юнга называют частный случай этого неравенства для функции ${\displaystyle F(x)=x^{a}/a}$, a > 1.)

3. В вариационном исчислении (и основанной на нём лагранжевой механике) преобразование Лежандра обычно применяется к лагранжианам действия ${\displaystyle L(t,x,{\dot {x}})}$ по переменной ${\displaystyle {\dot {x}}}$. Образом лагранжиана становится гамильтониан действия H(t, x, p), а уравнения Эйлера — Лагранжа для оптимальных траекторий преобразуются в уравнения Гамильтона.
4. Используя тот факт, что ${\displaystyle p=\nabla _{x}f}$, легко показать, что ${\displaystyle \nabla _{p}f^{*}(p)=-x}$.

Рассмотрим преобразование Лежандра функции ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$, (${\displaystyle n>0}$, ${\displaystyle n\neq 1}$), определённой на ${\displaystyle \mathbb {R^{+}} }$. В случае чётного n можно рассматривать ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

${\displaystyle p(x)={\frac {df}{dx}}=n\cdot x^{n-1}.}$

Отсюда выражаем ${\displaystyle x=x(p)}$, получаем

${\displaystyle x(p)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {1}{n-1}}.}$

Итого получаем преобразование Лежандра для степенной функции:

${\displaystyle f^{*}(p)=px-f(x)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {n}{n-1}}\cdot (n-1).}$

Легко проверить, что повторное преобразование Лежандра даёт исходную функцию ${\displaystyle f(x)}$.

Рассмотрим функцию многих переменных, определённую на пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ следующего вида:

${\displaystyle f(x)=\langle x,Ax\rangle +c.}$

${\displaystyle A}$ действительная, положительно определённая матрица, ${\displaystyle c}$ константа. Прежде всего убедимся, что сопряженное пространство, на котором определено преобразование Лежандра, совпадает с ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Для этого нам нужно убедиться в существовании экстремума функции ${\displaystyle \phi =\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c}$.

${\displaystyle \nabla _{x}\phi =p-2Ax,}$

${\displaystyle \nabla _{x}\nabla _{x}\phi =-2A.}$

В силу положительной определённости матрицы ${\displaystyle A}$, мы получаем, что точка экстремума является максимумом. Таким образом для каждого ${\displaystyle p}$ существует супремум. Вычисление преобразования Лежандра проводится непосредственно:

${\displaystyle f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.}$

В лагранжевой механике система описывается функцией Лагранжа. Для типичной задачи функция Лагранжа выглядит следующим образом:

${\displaystyle L(q,u)={\frac {1}{2}}\langle u,Mu\rangle -V(q),}$

${\displaystyle (q,u)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$, со стандартными евклидовым скалярным произведением. Матрица ${\displaystyle M}$ считается действительной, положительно определённой. В том случае, когда лагранжиан не вырожден по скоростям, то есть

${\displaystyle p=\nabla _{u}L(q,u)\neq 0,}$

можно сделать преобразование Лежандра по скоростям и получить новую функцию, называемую гамильтонианом:

${\displaystyle H(p,q)=pq'-L={\frac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).}$

В термодинамике очень часто встречаются самые разные термодинамические функции, дифференциал которых выглядит в самом общем случае как

${\displaystyle dL=X\,dx+Y\,dy+Z\,dz+\ldots }$

К примеру, дифференциал для внутренней энергии выглядит следующим образом:

${\displaystyle dE=T\,dS-P\,dV.}$

Энергия тут представлена как функция переменных ${\displaystyle S,V}$. Подобные переменные называются естественными. Например, свободная энергия получается как преобразования Лежандра внутренней энергии:

${\displaystyle F=E-TS,}$

${\displaystyle dF=-S\,dT-P\,dV.}$

В общем случае, если мы хотим перейти от функции ${\displaystyle L=L(x,y,z,\ldots )}$ к функции ${\displaystyle L=L(X,y,z,\ldots )}$, то следует сделать преобразование Лежандра:

${\displaystyle L(X,y,z,\ldots )=L-xX,}$

${\displaystyle dL(X,y,z,\ldots )=-x\,dX+Y\,dy+Z\,dz+\ldots }$

В квантовой теории поля очень часто используется функциональное преобразование Лежандра. Исходным объектом являются связные функции Грина, которые обозначаются ${\displaystyle W(A)}$, где ${\displaystyle A}$ — некоторые внешние поля. Преобразованием Лежандра по полю А называют следующую функцию^[1]:

${\displaystyle \Gamma (\alpha )=W{\big (}A(\alpha ){\big )}-\int dx\cdot \alpha A.}$

Знак интегрирование обычно не пишут. ${\displaystyle \alpha }$ определяется следующим выражением^[1]:

${\displaystyle \alpha (x)={\frac {\delta {W}}{\delta {A(x)}}},}$

${\displaystyle \delta }$ означает вариационную производную. При помощи свойства вариационной производной несложно вывести следующее соотношение, связывающее ${\displaystyle W}$ и ${\displaystyle \Gamma }$. Действительно:

${\displaystyle \delta (x-y)={\frac {\delta A(x)}{\delta A(y)}}=\int dz\,{\frac {\delta A(x)}{\delta \alpha (z)}}{\frac {\delta \alpha (z)}{\delta A(y)}}=-\int dz\,{\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)}}{\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)}}.}$

Другими словами, функционалы ${\displaystyle W_{2}={\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)}}}$ и ${\displaystyle \Gamma _{2}={\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)}}}$, с точностью до знака, являются обратными друг к другу. Символически это записывают следующим образом:

${\displaystyle W_{2}\cdot \Gamma _{2}=-1.}$

• Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа Архивная копия от 1 апреля 2022 на Wayback Machine. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
• Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Л., 1976. — 295 с.