Линейная форма

Лине́йная форма, лине́йный функционал (также используются термины 1-форма, ковектор, ковариантный вектор) — линейное отображение, действующее из векторного пространства над полем в поле . Условие линейности заключается в выполнении следующих двух свойств:

для любых двух векторов и любого . Таким образом, линейная форма (линейный функционал) является частным случаем понятия линейного оператора, действующего из одного векторного пространства в другое векторное пространство: , рассматриваемых над одним и тем же полем . Именно, в случае линейной формы (линейного функционала) векторное пространство .

Термин линейная форма обычно используют в алгебре и алгебраической геометрии, чаще всего говоря при этом о конечномерных векторных пространствах. С алгебраической точки зрения линейная форма представляет собой частный случай более общего понятия k-формы при k=1.

Термин линейный функционал распространён в функциональном анализе, причем чаще всего речь идет о бесконечномерных векторных пространствах, элементами которых являются функции того или иного класса, и термин функционал подчеркивает то, что рассматривается функция (отображение), аргументом которой являются функции. В качестве поля чаще всего используются поля или .

Примеры

Примеры линейных форм для конечномерных векторных пространств:

  • Простейшим примером линейной формы является линейная однородная функция одного вещественного или комплексного переменного:
Более того, в случае любого конечномерного пространства все линейные формы на нём имеют вид . Это позволяет отождествить каждую линейную форму с вектором , причем указанное соответствие взаимно однозначно.

Примеры линейных функционалов для функциональных пространств:

  • Пусть пространство состоит из функций , непрерывных на множестве . Тогда для любых выражения и задают линейные функционалы на .
  • Пусть пространство состоит из функций , n раз непрерывно дифференцируемых на множестве . Выражение
задаёт линейный функционал на .
  • Одним из важнейших примеров линейного функционала служит скалярное произведение вектора-аргумента и некоторого фиксированного вектора : . В функциональном анализе часто рассматриваются векторные пространства, состоящие из интегрируемых функций, а скалярное произведение задаётся с помощью интеграла (обычно используется интеграл Лебега). В этом случае приведенная выше формула для линейного функционала принимает вид
.
Такие линейные функционалы используются, например, при определении преобразования Фурье.
  • Пусть — линейный оператор, отображающие в себя векторное пространство , которое состоит из функций, интегрируемых на некотором множестве . Тогда выражение
.
задаёт линейный функционал на пространстве . Примеры таких линейных функционалов:
,
,
.

Свойства

  • Множество всех линейных форм на векторном пространстве само является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на элементы из поля . Это пространство называется сопряженным к и обозначается [1]. Векторы сопряжённого пространства принято называть ковекторами. В квантовой механике также принято использовать термины бра-векторы и кет-векторы для обозначения векторов исходного пространства и ковекторов.
  • Если размерность (конечна), то при выборе в пространстве некоторого базиса любая линейная форма записывается в виде , где вектор и набор коэффициентов однозначно определяет данную форму. Форма задаётся набором своих координат в некотором базисе сопряжённого пространства , который называется взаимным или двойственным к базису . Тем самым, [2].
  • Если размерность конечна, то изоморфно , однако в бесконечномерном случае это не так. В конечномерном случае второе сопряженное пространство естественно отождествляется с исходным пространством [3]. В бесконечномерном случае условие, что пространство изоморфно , весьма нетривиально, такие пространства называют рефлексивными[4].
  • Ядро линейной формы (линейного функционала) — векторное подпространство. Если пространство конечномерно, ядро линейной формы, не равной тождественно нулю, является гиперплоскостью в . В частности, при ядро линейной формы , где , — плоскость в трёхмерном пространстве, причем коэффициенты суть координаты нормального вектора плоскости.

Связанные понятия

  • При изучении бесконечномерных функциональных пространствах особую роль играют непрерывные линейные функционалы, иначе называемые обобщёнными функциями. Свойство непрерывности линейного функционала зависит от класса функций (пространства), на котором он действует. Так, нетрудно видеть, что некоторые из приведённых выше функционалов не непрерывны при действии на разрывные функции (можно легко привести такие примеры). Однако на сепарабельных пространствах — то есть в наиболее употребительном и конструктивно разработанном случае — все они непрерывны.
  • Теорема представлений Риса утверждает, что каждый непрерывный линейный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен в виде аналогичном через скалярное произведение с некоторым элементом этого пространства.
  • Используя обобщённые функции, в частности дельта-функцию Дирака и её производные, можно многие линейные функционалы, в частности из приведённых в качестве примеров выше, представить в виде интегральных функционалов, например:
.
В обычном абстрактном определении обобщённой функции она и определяется просто как непрерывный линейный функционал (в традиционном понимании и записи функционал порождается подразумеваемым интегрированием с обобщённой функцией).

См. также

Литература

Примечания

  1. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 3.7. — М.: Физматлит, 2009.
  2. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, стр. 131. — М.: Физматлит, 2009.
  3. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, стр. 132. — М.: Физматлит, 2009.
  4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.

Read other articles:

Federasi Sepak Bola DominikaCONCACAFDidirikan1953Kantor pusatSanto DomingoBergabung dengan FIFA1958Bergabung dengan CONCACAF1964PresidenOsiris GuzmanWebsitewww.fedofutbol.org Federasi Sepak Bola Dominika (Spanyol: Federación Dominicana de Fútbolcode: es is deprecated ) adalah badan pengendali sepak bola di Republik Dominika. Kompetisi Badan ini menyelenggarakan beberapa satu-satunya kompetisi di Republik Dominika, yakni Liga Divisi Utama Republik Dominika. Tim nasional Badan ini juga merupa...

 

Clive Barnes Clive Alexander Barnes (13 Mei 1927 – 19 November 2008, wafat karena kanker[1]) adalah seorang penulis dan kritikus Inggris . Dari tahun 1965 hingga 1977, dia menjadi kritikus tari dan teater untuk The New York Times, lalu untuk New York Post dari 1978 hingga kematiannya. Barnes memiliki pengaruh yang signifikan dalam mengulas produksi Broadway baru dan mengevaluasi penari internasional yang sering tampil di Kota New York. Referensi ^ November 13, 2018. Ab...

 

Perdana Menteri BelandaBelanda: Minister-president van Nederlandcode: nl is deprecated Lambang negara BelandaPetahanaMark Ruttesejak 14 Oktober 2011Kementerian Urusan UmumGelarPerdana MenteriYang TerhormatJenisKepala pemerintahanAnggotaDewan MenteriDewan EropaKediamanCatshuis, Den HaagKantorTorentje, Den HaagDitunjuk olehMonarki BelandaMasa jabatan4 tahun, dapat diperbaruiPejabat pertamaGerrit SchimmelpenninckWakilWakil Perdana MenteriGaji€176.000 per tahun[1]Situs webwww.gover...

Dechapol PuavaranukrohInformasi pribadiNamaBassKebangsaanThailandLahir20 Mei 1997 (umur 26)Chonburi, ThailandTinggi169 m (554 ft 5+1⁄2 in)PeganganKananGanda Putra dan Ganda CampuranPeringkat tertinggi1 XD bersama Sapsiree (7 Desember 2021) 21 MD bersama Kedren (20 Juli 2017)[1]Peringkat saat ini3 (XD bersama Sapsiree) 167 (MD bersama Kedren) (8 November 2022[2]) Rekam medali Bulu tangkis putra Mewakili  Thailand Kejuaraan Dunia 2019 Basel Ga...

 

Gas alam terkompresi atau sienji (Inggris: Compressed natural gas, sering disingkat CNG) adalah alternatif bahan bakar selain bensin atau diesel. Di Indonesia, dikenal CNG sebagai Bahan Bakar Gas (BBG). Bahan bakar ini dianggap lebih 'bersih' bila dibandingkan dengan dua bahan bakar minyak karena emisi gas buangnya yang ramah lingkungan. CNG dibuat dengan melakukan kompresi metana (CH4) yang diekstrak dari gas alam. CNG disimpan dan didistribusikan dalam bejana tekan, biasanya berbentuk ...

 

Синелобый амазон Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:ЗавропсидыКласс:Пт�...

PerteguhenDesaGapura selamat datang di Desa PerteguhenNegara IndonesiaProvinsiSumatera UtaraKabupatenKaroKecamatanSimpang EmpatKode pos22153Kode Kemendagri12.06.12.2030 Luas... km²Jumlah penduduk... jiwaKepadatan... jiwa/km² Perteguhen merupakan salah satu desa yang ada di kecamatan Simpang Empat, Kabupaten Karo, provinsi Sumatera Utara, Indonesia.[1] Referensi ^ Pasaribu, Marianti Rosanna (2023). Kecamatan Simpang Empat Dalam Angka 2023. BPS Kabupaten Karo. hlm. 7.  ...

 

Educational cable television network Television channel ResearchChannelCountryUnited StatesHeadquartersSeattleHistoryLaunchedNovember 1996; 27 years ago (1996-11)Closed31 August 2010; 13 years ago (2010-08-31)AvailabilityTerrestrialKAMU-TV, KUJH-LP, KWSU-TV, KYES-TV, WPSU-TV ResearchChannel was an American educational cable television network operated by a consortium of universities, foundations, government agencies, corporations, and learned societies...

 

Indian wrestler and coach Satpal SinghSingh receives Dronacharya Award, 2009Personal informationNationalityIndianBorn (1955-02-01) 1 February 1955 (age 69)Delhi, IndiaHeight182 cm (6 ft 0 in)SportCountryIndiaSportWrestlingEvent82 & 100 kg freestyleClubGuru Hanuman AkharaCoached byGuru Hanuman (Daronacharya awardee) Medal record Representing  India Men's Freestyle Wrestling Commonwealth Games 1974 Christchurch Middleweight 1978 Edmonton, Alberta Heavyweig...

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方)出典検索?: コルク – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2017年4月) コルクを打ち抜いて作った瓶の栓 コルク(木栓、�...

 

Petróleos de Venezuela S.A.JenisState-owned enterpriseDidirikan1976KantorpusatCaracas, VenezuelaTokohkunciRafael Ramirez, PresidenProdukBahan bakar, gas alam dan petrokimia lainPendapatan $114 miliar (2013)[1]Laba bersih $15.8 miliar (2013)[1]Total aset $231.1 miliar (2013)[1]PemilikPemerintah VenezuelaAnakusahaPDV MarinaCVPPequivenCIEDPDVSA GasPDV (Deltaven)PalmavenElectricidad de Caracas, C.A. (93.62%)[2] Citgo (100%)[3]more…Situs webwww.pdvsa.com ...

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Januari 2023. SMP Negri 9 BatamInformasiJenisSekolah NegeriAlamatLokasiJl. Brigjen Katamso Batu Aji, Batam, Kepri,  IndonesiaMoto SMP Negeri (SMPN) 9 Batam, merupakan salah satu Sekolah Menengah Pertama Negeri yang ada di Provinsi Kepulauan Riau, yang beralamat...

习近平 习近平自2012年出任中共中央总书记成为最高领导人期间,因其废除国家主席任期限制、开启总书记第三任期、集权统治、公共政策与理念、知识水平和自述经历等争议,被中国大陸及其他地区的民众以其争议事件、个人特征及姓名谐音创作负面称呼,用以恶搞、讽刺或批评习近平。对习近平的相关负面称呼在互联网上已经形成了一种活跃、独特的辱包亚文化。 权力�...

 

Peta infrastruktur dan tata guna lahan di Komune Saint-Martial-sur-Isop.  = Kawasan perkotaan  = Lahan subur  = Padang rumput  = Lahan pertanaman campuran  = Hutan  = Vegetasi perdu  = Lahan basah  = Anak sungaiSaint-Martial-sur-Isop merupakan sebuah komune di departemen Haute-Vienne di Prancis. Lihat pula Komune di departemen Haute-Vienne Referensi INSEE lbsKomune di departemen Haute-Vienne Aixe-sur-Vienne Ambazac Arnac-la-Poste Augne Aureil Azat-le-Ri...

 

FatihMasjid Sultan Ahmed I (Masjid Biru)NegaraTurkiProvinsiİstanbulPemerintahan • Wali kotaMustafa Demir (PKP) • KaymakamHasan KarakaşLuas[1] • Distrik13,08 km2 (505 sq mi)Populasi (2012)[2] • District428.857 • Kepadatan District330/km2 (850/sq mi)Situs webwww.fatih.bel.tr Fatih adalah sebuah munisipalitas (belediye) dan distrik di Istanbul, Turki. Pada 2009, distrik Eminönü, yang awalnya ...

Genus of trees For other uses, see Hazel (disambiguation). Hazels Common hazel (Corylus avellana) Scientific classification Kingdom: Plantae Clade: Tracheophytes Clade: Angiosperms Clade: Eudicots Clade: Rosids Order: Fagales Family: Betulaceae Subfamily: Coryloideae Genus: CorylusL. Type species Corylus avellanaL. Species See text for species. Synonyms[1] Lopima Dochnahl Young male catkins of Corylus avellana Hazels are plants of the genus Corylus of deciduous trees and large shrubs ...

 

Halaman ini berisi artikel tentang film 1949. Untuk penggunaan lainnya, lihat All the King's Men (disambiguasi). All the King's MenPoster rilis teatrikalSutradaraRobert RossenProduserRobert RossenSkenarioRobert RossenBerdasarkanAll the King's Menoleh Robert Penn WarrenPemeranBroderick CrawfordJohn IrelandMercedes McCambridgeJoanne DruJohn DerekPenata musikLouis GruenbergSinematograferBurnett GuffeyPenyuntingAl ClarkRobert Parrish(sup)DistributorColumbia PicturesTanggal rilis 8 November ...

 

Nachbelichten Durch den Vorgang des Nachbelichtens wird bei der Verarbeitung fotografischer Materialien mit Hilfe eines Vergrößerers die Belichtung für bestimmte Bildbereiche verlängert. Das Nachbelichten findet im Fotolabor in der Regel bei der Belichtung von Negativmaterial (Fotopapier) statt und hat in diesem Zusammenhang einen abdunkelnden Effekt. Häufigste Anwendungsgebiete für diese Methode sind eine Verbesserung der Zeichnung von Spitzlichtern oder etwa das Abdunkeln des Himmels....

17 to 18th-century British political ideology For other uses, see Jacobite. Not to be confused with the Syriac Orthodox Church or the Jacobite Syrian Christian Church. Not to be confused with Jacobin (politics). JacobitismScottish Gaelic: Na SeumasaichIrish: Seacaibíteachas, Na SéamusaighJames Francis Edward Stuart, Jacobite claimant between 1701 and 1766Leaders James II (1688–1701) James Francis Edward Stuart[a] (1701–1766) Charles Edward Stuart [b] (1720–1788) Henry ...

 

Chiesa di San FrancescofacciataStato Italia RegioneToscana LocalitàSan Miniato Coordinate43°40′54.5″N 10°51′16.1″E43°40′54.5″N, 10°51′16.1″E Religionecattolica di rito romano TitolareFrancesco di Assisi Diocesi San Miniato Stile architettonicogotico, barocco Inizio costruzione1276 Modifica dati su Wikidata · Manuale Interno La chiesa di San Francesco è un luogo di culto cattolico che si trova a San Miniato, in provincia di Pisa, diocesi di San Miniato. Indice ...