PROFILPELAJAR.COM

Октаэдральное число — разновидность многогранных фигурных чисел. Поскольку октаэдр можно рассматривать как две квадратные пирамиды, склеенные своими основаниями (см. рисунок), октаэдральное число определяется как сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел^[1]:

O_{n}=\Pi _{n-1}^{(4)}+\Pi _{n}^{(4)}

Общая формула^[2] для $n$ -го по порядку октаэдрального числа $O_{n}$ :

O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}

Первые из октаэдральных чисел (последовательность A005900 в OEIS):

1,6,19,44,85,146,231,344,489,670\dots

Рекуррентная формула^[1]:

O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n;\quad O(1)=1

Производящая функция последовательности^[1]:

{\frac {x(x+1)^{2}}{(x-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}x^{n}=x+6x^{2}+19x^{3}+\cdots ;\quad |x|<1

Связь с фигурными числами других типов

Данное выше определение связало октаэдральные числа с квадратными пирамидальными. Связь с тетраэдральными числами $\mathbb {T} _{n}$ :

O_{n}+4\mathbb {T} _{n-1}=\mathbb {T} _{2n-1}

Геометрически эта формула означает, что если наклеить по тетраэдру на четыре не смежные грани октаэдра, то получится тетраэдр удвоенного размера.

Ещё один вид связи^[1]:

O_{n}=\mathbb {T} _{n}+2\mathbb {T} _{n-1}+\mathbb {T} _{n-2}

Эта формула вытекает из определения и того факта, что квадратное пирамидальное число есть сумма двух тетраэдральных. Другое её истолкование: октаэдр может быть разделён на четыре тетраэдра, каждый из которых имеет две изначально смежные грани.

Связь с тетраэдральными и кубическими числами:

O_{n}+2\mathbb {T} _{n-1}=n^{3}

Разность двух последовательных октаэдральных чисел есть центрированное квадратное число^[1]:

O_{n+1}-O_{n}=C_{n+1}^{4}=(n+1)^{2}+n^{2}

Гипотеза Поллока

В 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок. выдвинул предположение^[3], что каждое натуральное число является суммой не более семи октаэдральных чисел. Гипотеза Поллока до сих пор не доказана и не опровергнута. Компьютерная проверка показала, что, скорее всего:

309 — самое большое число, которое требует ровно семь слагаемых;
11 579 — последнее число, требующее шесть слагаемых;
65 285 683 — последнее число, требующее пять слагаемых.

Если гипотеза Поллока верна, то доказано, что должны существовать сколь угодно большие числа, нуждающиеся в четырёх слагаемых^[4]^[5].

Применение

В химии октаэдрические числа могут использоваться, чтобы описать числа атомов в октаэдрических кластерах (см. «магические кластеры»)^[6]^[7].

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Деза Е., Деза М., 2016, с. 82—85.
↑ Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer-Verlag, p. 50, ISBN 978-0-387-97993-9.
↑ Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924. — JSTOR 111069.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 239.
↑ Dickson, L. E. (2005), Diophantine Analysis, History of the Theory of Numbers, vol. 2, New York: Dover, pp. 22–23, Архивировано из оригинала 21 ноября 2021, Дата обращения: 17 июня 2019 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 21 ноября 2021 (справка).
↑ Teo, Boon K.; Sloane, N. J. A. (1985), "Magic numbers in polygonal and polyhedral clusters" (PDF), Inorganic Chemistry, 24 (26): 4545–4558, doi:10.1021/ic00220a025, Архивировано из оригинала (PDF) 13 марта 2012, Дата обращения: 17 июня 2019 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 13 марта 2012 (справка).
↑ Feldheim, Daniel L.; Foss, Colby A. (2002), Metal nanoparticles: synthesis, characterization, and applications, CRC Press, p. 76, ISBN 978-0-8247-0604-3, Архивировано из оригинала 27 июня 2014, Дата обращения: 17 июня 2019 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 27 июня 2014 (справка).

Литература

Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Octahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[DD82-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Деза Е., Деза М., 2016, с. 82—85.

[bon-2] Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer-Verlag, p. 50, ISBN 978-0-387-97993-9.

[Pollock-3] Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924. — JSTOR 111069.

[_7673eaf0325ed17b-4] Деза Е., Деза М., 2016, с. 239.

[5] Dickson, L. E. (2005), Diophantine Analysis, History of the Theory of Numbers, vol. 2, New York: Dover, pp. 22–23, Архивировано из оригинала 21 ноября 2021, Дата обращения: 17 июня 2019 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 21 ноября 2021 (справка).

[6] Teo, Boon K.; Sloane, N. J. A. (1985), "Magic numbers in polygonal and polyhedral clusters" (PDF), Inorganic Chemistry, 24 (26): 4545–4558, doi:10.1021/ic00220a025, Архивировано из оригинала (PDF) 13 марта 2012, Дата обращения: 17 июня 2019 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 13 марта 2012 (справка).

[nano-7] Feldheim, Daniel L.; Foss, Colby A. (2002), Metal nanoparticles: synthesis, characterization, and applications, CRC Press, p. 76, ISBN 978-0-8247-0604-3, Архивировано из оригинала 27 июня 2014, Дата обращения: 17 июня 2019 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 27 июня 2014 (справка).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

PROFILPELAJAR.COM

Октаэдральное число

Содержание

Связь с фигурными числами других типов

Гипотеза Поллока

Применение

Примечания

Литература

Ссылки

Read other articles:

Gerak henti

منتخب سوريا تحت 20 سنة لكرة القدم

Interaction élémentaire

Kulit gelap

History of the Patriot Act

Front Pembela Islam

Bobotie

Jászberény

Regressive tax

臺灣關係法

Elias Howe

Championnats d'Europe de cross-country 2022

Monkseaton Metro station

يوم جديد في صنعاء القديمة

Boxe birmane

V. K. Singh

40 Eridani

Peasants' revolt in Palestine

Enzo Ferrari (allenatore)

Rocket (fusée)