Обратный оператор к оператору A {\displaystyle A} — оператор, который каждому y {\displaystyle y} из множества значений Im A {\displaystyle {\mbox{Im}}\,A} оператора A {\displaystyle A} ставит в соответствие единственный элемент x {\displaystyle x} из области определения D ( A ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(A)} оператора A {\displaystyle A} , являющийся решением уравнения A x = y {\displaystyle Ax=y} . Если оператор A {\displaystyle A} имеет обратный, то есть уравнение A x = y {\displaystyle Ax=y} имеет единственное решение при любом y {\displaystyle y} из Im A {\displaystyle {\mbox{Im}}\,A} , то A {\displaystyle A} называется обратимым. Обратный оператор обозначается A − − --> 1 {\displaystyle A^{-1}} [1].
Другое определение: оператор B {\displaystyle B} называется обратным к оператору A {\displaystyle A} , если B A = I , A B = I {\displaystyle BA=I,\,AB=I} , где I {\displaystyle I} — единичный оператор. Если выполняется только соотношение B A = I {\displaystyle BA=I} или только A B = I , {\displaystyle AB=I,} то оператор B {\displaystyle B} называется левым обратным или правым обратным соответственно. Если оператор A {\displaystyle A} имеет левый обратный и правый обратный, то они равны между собой, а оператор A {\displaystyle A} является обратимым[2]. Если обратный оператор существует, он определяется единственным образом[3].
Оператор A {\displaystyle A} обратим, если он отображает D ( A ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(A)} на Im A {\displaystyle {\mbox{Im}}\,A} взаимно однозначно, то есть при различных x ∈ ∈ --> D ( A ) {\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A)} принимает различные значения y {\displaystyle y} .[4] Если оператор A {\displaystyle A} — линейный, то для существования обратного оператора достаточно, чтобы A x = 0 {\displaystyle Ax=0} выполнялось только при x = 0 {\displaystyle x=0} [5].
Линейный оператор (даже ограниченный) может иметь обратный, определённый не на всём пространстве. Например, в пространстве ℓ ℓ --> 2 {\displaystyle \ell _{2}} линейный оператор
имеет обратный, который определен для векторов с первой координатой равной нулю: x 1 = 0 {\displaystyle x_{1}=0} [5].
Пусть A {\displaystyle A} — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство E {\displaystyle E} на банахово пространство E 1 {\displaystyle E_{1}} . Тогда обратный оператор A − − --> 1 {\displaystyle A^{-1}} ограничен.
Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа[8]. Из неё следует теорема об открытом отображении: линейное непрерывное отображение A {\displaystyle A} банахова пространства E {\displaystyle E} на (всё) банахово пространство E 1 {\displaystyle E_{1}} открыто[9].
где m > 0 {\displaystyle m>0} — некоторая константа. Тогда существует обратный ограниченный линейный оператор A − − --> 1 {\displaystyle A^{-1}} [10].
можно рассматривать как линейный ограниченный оператор, действующим из пространства L 2 ( − − --> ∞ ∞ --> , ∞ ∞ --> ) {\displaystyle L_{2}(-\infty ,\infty )} в себя. Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье
Для оператора интегрирования
действующего в пространстве непрерывных функций C [ 0 , 1 ] {\displaystyle C[0,1]} , обратным будет оператор дифференцирования:
определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций, таких что y ( 0 ) = 0 {\displaystyle y(0)=0} [15].
Для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля A x = d d t { p ( t ) d x d t } + q ( t ) x , {\displaystyle Ax={\frac {d}{dt}}\left\{p(t){\frac {dx}{dt}}\right\}+q(t)x,} определённого на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что x ( 0 ) = x ( 1 ) = 0 {\displaystyle x(0)=x(1)=0} , обратным оператором является интегральный оператор
где G ( t , τ τ --> ) {\displaystyle G(t,\tau )} — функция Грина. A − − --> 1 {\displaystyle A^{-1}} — линейный ограниченный оператор в C [ 0 , 1 ] {\displaystyle C[0,1]} [15].
Пусть
— интегральный оператор в пространстве непрерывных функций C [ 0 , 1 ] {\displaystyle C[0,1]} . При достаточно малых значениях параметра λ λ --> {\displaystyle \lambda } оператор ( I − − --> λ λ --> A ) {\displaystyle (I-\lambda A)} (где I {\displaystyle I} — единичный оператор) имеет ограниченный обратный
где R ( t , s , λ λ --> ) {\displaystyle R(t,s,\lambda )} — резольвента ядра K ( t , s ) {\displaystyle K(t,s)} . Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения
при любом свободном члене y ( t ) {\displaystyle y(t)} [16].
Оператор в конечномерном пространстве обратим тогда и только тогда, когда его ранг совпадает с размерностью пространства. Иначе говоря, определитель его матрицы отличен от нуля. Обратному оператору отвечает обратная матрица[17].
Lokasi Pengunjung: 3.135.208.46