Обратный оператор к оператору ${\displaystyle A}$ — оператор, который каждому ${\displaystyle y}$ из множества значений ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$ оператора ${\displaystyle A}$ ставит в соответствие единственный элемент ${\displaystyle x}$ из области определения ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ оператора ${\displaystyle A}$, являющийся решением уравнения ${\displaystyle Ax=y}$. Если оператор ${\displaystyle A}$ имеет обратный, то есть уравнение ${\displaystyle Ax=y}$ имеет единственное решение при любом ${\displaystyle y}$ из ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$, то ${\displaystyle A}$ называется обратимым. Обратный оператор обозначается ${\displaystyle A^{-1}}$^[1].

Другое определение: оператор ${\displaystyle B}$ называется обратным к оператору ${\displaystyle A}$, если ${\displaystyle BA=I,\,AB=I}$, где ${\displaystyle I}$ — единичный оператор. Если выполняется только соотношение ${\displaystyle BA=I}$ или только ${\displaystyle AB=I,}$ то оператор ${\displaystyle B}$ называется левым обратным или правым обратным соответственно. Если оператор ${\displaystyle A}$ имеет левый обратный и правый обратный, то они равны между собой, а оператор ${\displaystyle A}$ является обратимым^[2]. Если обратный оператор существует, он определяется единственным образом^[3].

Оператор ${\displaystyle A}$ обратим, если он отображает ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ на ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$ взаимно однозначно, то есть при различных ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A)}$ принимает различные значения ${\displaystyle y}$.^[4] Если оператор ${\displaystyle A}$ — линейный, то для существования обратного оператора достаточно, чтобы ${\displaystyle Ax=0}$ выполнялось только при ${\displaystyle x=0}$^[5].

Линейный оператор (даже ограниченный) может иметь обратный, определённый не на всём пространстве. Например, в пространстве ${\displaystyle \ell _{2}}$ линейный оператор

${\displaystyle A(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots )}$

имеет обратный, который определен для векторов с первой координатой равной нулю: ${\displaystyle x_{1}=0}$^[5].

• ${\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A.}$^[6]
• ${\displaystyle (A_{1}A_{2})^{-1}=A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}.}$^[3]
• Оператор ${\displaystyle A^{-1}}$, обратный к линейному оператору, также линеен.^[1]
• ${\displaystyle (A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}}$, ${\displaystyle A^{*}}$ — сопряжённый оператор^[7].

Пусть ${\displaystyle A}$ — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство ${\displaystyle E}$ на банахово пространство ${\displaystyle E_{1}}$. Тогда обратный оператор ${\displaystyle A^{-1}}$ ограничен.

Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа^[8]. Из неё следует теорема об открытом отображении: линейное непрерывное отображение ${\displaystyle A}$ банахова пространства ${\displaystyle E}$ на (всё) банахово пространство ${\displaystyle E_{1}}$ открыто^[9].

• Пусть линейный оператор ${\displaystyle A}$, отображающий линейное нормированное пространство ${\displaystyle E}$ на линейное нормированное пространство ${\displaystyle E_{1}}$, удовлетворяет для любого ${\displaystyle x\in E}$ условию

${\displaystyle \|Ax\|\geq m\|x\|,}$

где ${\displaystyle m>0}$ — некоторая константа. Тогда существует обратный ограниченный линейный оператор ${\displaystyle A^{-1}}$^[10].

• Пусть ${\displaystyle A}$ — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из банахова пространства ${\displaystyle E}$ в банахово пространство ${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle \Delta A}$ — линейный ограниченный оператор из ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle E_{1}}$ такой, что ${\displaystyle \|\Delta A\|<1/\|A^{-1}\|}$. Тогда оператор ${\displaystyle B=A+\Delta A}$ имеет ограниченный обратный, причём

${\displaystyle \|B^{-1}-A^{-1}\|\leq {\frac {\|\Delta A\|}{1-\|A^{-1}\|\|\Delta A\|}}\|A^{-1}\|^{2}}$^[11][12].

• Пусть ${\displaystyle E}$ — банахово пространство, ${\displaystyle I}$ — тождественный оператор в ${\displaystyle E}$, а ${\displaystyle A}$ — такой линейный ограниченный оператор, отображающий ${\displaystyle E}$ в себя, что ${\displaystyle \|A\|<1}$. Тогда оператор ${\displaystyle (I-A)^{-1}}$ существует, ограничен и представляется в виде ряда

${\displaystyle (I-A)^{-1}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }A^{k}}$^[13].

${\displaystyle g(\lambda )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt}$

можно рассматривать как линейный ограниченный оператор, действующим из пространства ${\displaystyle L_{2}(-\infty ,\infty )}$ в себя. Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\lambda )e^{i\lambda t}d\lambda }$^[14].

Для оператора интегрирования

${\displaystyle Ax=\int \limits _{0}^{t}x(\tau )\,d\tau ,}$

действующего в пространстве непрерывных функций ${\displaystyle C[0,1]}$, обратным будет оператор дифференцирования:

${\displaystyle A^{-1}y={\frac {d}{dt}}y(t),}$

определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций, таких что ${\displaystyle y(0)=0}$^[15].

Для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля ${\displaystyle Ax={\frac {d}{dt}}\left\{p(t){\frac {dx}{dt}}\right\}+q(t)x,}$ определённого на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что ${\displaystyle x(0)=x(1)=0}$, обратным оператором является интегральный оператор

${\displaystyle A^{-1}y=\int \limits _{0}^{1}G(t,\tau )y(\tau )\,d\tau ,}$

где ${\displaystyle G(t,\tau )}$ — функция Грина. ${\displaystyle A^{-1}}$ — линейный ограниченный оператор в ${\displaystyle C[0,1]}$^[15].

Пусть

${\displaystyle Ax=\int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds}$

— интегральный оператор в пространстве непрерывных функций ${\displaystyle C[0,1]}$. При достаточно малых значениях параметра ${\displaystyle \lambda }$ оператор ${\displaystyle (I-\lambda A)}$ (где ${\displaystyle I}$ — единичный оператор) имеет ограниченный обратный

${\displaystyle (I-\lambda A)^{-1}y=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}R(t,s,\lambda )y(s)\,ds}$,

где ${\displaystyle R(t,s,\lambda )}$ — резольвента ядра ${\displaystyle K(t,s)}$. Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения

${\displaystyle x(t)=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds}$

при любом свободном члене ${\displaystyle y(t)}$^[16].

Оператор в конечномерном пространстве обратим тогда и только тогда, когда его ранг совпадает с размерностью пространства. Иначе говоря, определитель его матрицы отличен от нуля. Обратному оператору отвечает обратная матрица^[17].

• Линейное отображение
• Обратная функция
• Изоморфизм
• Банахово пространство
• Линейный непрерывный оператор

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М., 1976.
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
• Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
• Соболев В. И. Обратное отображение // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.