Матрица Кирхгофа — одно из представлений конечного графа с помощью матрицы. Матрица Кирхгофа представляет дискретный оператор Лапласа для графа. Она используется для подсчёта остовных деревьев данного графа (матричная теорема о деревьях), а также в спектральной теории графов.

Дан простой граф ${\displaystyle G}$ с ${\displaystyle |V(G)|=n}$ вершинами. Тогда матрица Кирхгофа ${\displaystyle K=(k_{i,j})_{n\times n}}$ данного графа будет определяться следующим образом:

${\displaystyle k_{i,j}:={\begin{cases}\deg(v_{i}),&{\text{если}}\ i=j,\\-1,&{\text{если}}\ (v_{i},v_{j})\in E(G),\\0&{\text{иначе}}.\end{cases}}}$

Также матрицу Кирхгофа можно определить как разность матриц

${\displaystyle K=D-A,}$

где ${\displaystyle A}$ — это матрица смежности данного графа, а ${\displaystyle D=(d_{i,j})_{n\times n}}$ — матрица, на главной диагонали которой степени вершин графа, а остальные элементы — нули:

${\displaystyle d_{i,j}:={\begin{cases}\deg(v_{i}),&{\text{если}}\ i=j,\\0&{\text{иначе}}.\end{cases}}}$

Если граф является взвешенным, то определение матрицы Кирхгофа обобщается. В этом случае элементами главной диагонали матрицы Кирхгофа будут суммы весов рёбер, инцидентных соответствующей вершине. Для смежных (связанных) вершин ${\displaystyle k_{i,j}=-c(v_{i},v_{j})}$, где ${\displaystyle c(v_{i},v_{j})}$ — это вес (проводимость) ребра. Для различных не смежных (не связанных) вершин полагается ${\displaystyle k_{i,j}=0}$.

${\displaystyle k_{i,j}:={\begin{cases}\sum \limits _{\begin{smallmatrix}u\in V(G)\\(v_{i},u)\in E(G)\end{smallmatrix}}\!\!\!\!\!\!c(v_{i},u),&{\text{если}}\ i=j,\\-c(v_{i},v_{j}),&{\text{если}}\ (v_{i},v_{j})\in E(G),\\0&{\text{иначе}}.\end{cases}}}$

Для взвешенного графа матрица смежности ${\displaystyle A}$ записывается с учётом проводимостей рёбер, а на главной диагонали матрицы ${\displaystyle D}$ будут суммы проводимостей рёбер инцидентных соответствующим вершинам:

${\displaystyle d_{i,j}:={\begin{cases}\sum \limits _{\begin{smallmatrix}u\in V(G)\\(v_{i},u)\in E(G)\end{smallmatrix}}\!\!\!\!\!\!c(v_{i},u),&{\text{если}}\ i=j,\\0&{\text{иначе}}.\end{cases}}}$

Пример матрицы Кирхгофа простого графа.

Помеченный граф	Матрица Кирхгофа
	${\displaystyle \left({\begin{array}{rrrrrr}2&-1&0&0&-1&0\\-1&3&-1&0&-1&0\\0&-1&2&-1&0&0\\0&0&-1&3&-1&-1\\-1&-1&0&-1&3&0\\0&0&0&-1&0&1\\\end{array}}\right)}$

• Сумма элементов каждой строки (столбца) матрицы Кирхгофа равна нулю:

  ${\displaystyle \sum _{i=1}^{|V(G)|}k_{i,j}=0.}$

• Определитель матрицы Кирхгофа равен нулю:

  ${\displaystyle \det K=0.}$

• Матрица Кирхгофа простого графа симметрична:

  ${\displaystyle k_{i,j}=k_{j,i}\quad i,j=1,\ldots ,|V(G)|.}$

• Все алгебраические дополнения ${\displaystyle K_{(ij)}}$ симметричной матрицы Кирхгофа равны между собой — постоянная матрицы Кирхгофа. Для простого графа значение данной постоянной совпадает с числом всех возможных остовов графа (см. Матричная теорема о деревьях).
• Если взвешенный граф представляет собой электрическую сеть, где вес каждого ребра соответствует его проводимости, то миноры матрицы Кирхгофа позволяют вычислить резистивное расстояние ${\displaystyle R_{ij}}$ между точками ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ данной сети:

  ${\displaystyle R_{ij}={\frac {K^{(i,j)}}{K_{(ij)}}}}$, здесь ${\displaystyle K_{(ij)}}$ — постоянная (алгебраическое дополнение) матрицы Кирхгофа, а ${\displaystyle K^{(i,j)}}$ — алгебраическое дополнение 2-го порядка, то есть определитель матрицы, получающейся из матрицы Кирхгофа вычеркиванием двух строк и двух столбцов ${\displaystyle i,j}$.

• Существует алгоритм восстановления матрицы Кирхгофа по матрице сопротивлений ${\displaystyle R_{ij}}$.
• 0 является собственным значением матрицы (соответствующий собственный вектор — все единицы), кратность его равна числу связных компонент графа.
• Остальные собственные значения положительны. Второе по малости значение Фидлер^[англ.] назвал индексом связности графа, соответствующий собственный вектор — вектор Фидлера (не путать с индексом связности графа Рандича).

• Матричная теорема о деревьях
• Оператор Лапласа

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (7 июня 2019)