Логарифмическое распределение |
Обозначение |
|
Параметры |
|
Носитель |
|
Функция вероятности |
|
Функция распределения |
|
Математическое ожидание |
|
Мода |
|
Дисперсия |
|
Производящая функция моментов |
|
Характеристическая функция |
|
Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.
Определение
Пусть распределение случайной величины задаётся функцией вероятности:
- ,
где . Тогда говорят, что имеет логарифмическое распределение с параметром . Пишут: .
Функция распределения случайной величины кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:
где — неполная бета-функция.
Замечание
То, что функция действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:
- ,
откуда
- .
Моменты
Производящая функция моментов случайной величины задаётся формулой
- ,
откуда
- ,
- .
Связь с другими распределениями
Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что . Пусть — Пуассоновская случайная величина. Тогда
- .
Приложения
Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системе[источник не указан 3167 дней].
|
---|
Дискретные | |
---|
Абсолютно непрерывные | |
---|