Отрицательное биномиальное распределение

Отрицательное биномиальное распределение
Функция вероятности
Обозначение	$\mathrm {NB} (r,p)$
Параметры	$r>0$ $p\in (0;1)$ $q\equiv 1-p$
Носитель	$k\in \{0,1,2,\ldots \}$
Функция вероятности	${\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,q^{k}$
Функция распределения	$I_{p}(r,k+1)$
Математическое ожидание	${\frac {rq}{p}}$
Мода	$\left\lfloor {\frac {(r-1)q}{p}}\right\rfloor$ если $\ r>1\$ $0$ если $r\leq 1$
Дисперсия	${\frac {rq}{p^{2}}}$
Коэффициент асимметрии	${\frac {2-p}{\sqrt {r\,q}}}$
Коэффициент эксцесса	${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r\,q}}$
Производящая функция моментов	$\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}$
Характеристическая функция	$\left({\frac {p}{1-qe^{i\,t}}}\right)^{r}$

Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние, также называемое распределением Паскаля — это распределение дискретной случайной величины, равной числу произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$ , проводимых до $r$ -го успеха.

Определение

Пусть $\{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

X_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i\in \mathbb {N} .

Построим случайную величину $Y$ следующим образом. Пусть $k+r$ — номер $r$ -го успеха в этой последовательности. Тогда $Y=k$ . Более строго, положим $S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$ . Тогда

Y=\inf\{n\mid S_{n}=r\}-r

Распределение случайной величины $Y$ , определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: $Y\sim \mathrm {NB} (r,p)$ .

Функции вероятности и распределения

Функция вероятности случайной величины $Y$ имеет вид:

\mathbb {P} (Y=k)={\binom {k+r-1}{k}}\,p^{r}q^{k},\;k=0,1,2,\ldots

Функция распределения $Y$ кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

F_{Y}(k)=I_{p}(r,k+1)

Моменты

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

M_{Y}(t)=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}

откуда

\mathbb {E} [Y]={\frac {rq}{p}}

\mathrm {D} [Y]={\frac {rq}{p^{2}}}

Свойства

Пусть $Y_{i}\sim NB(r_{i},p)$ , тогда $\sum _{i}Y_{i}\sim NB\left(\sum _{i}r_{i},p\right)$

Частные случаи отрицательного биномиального распределения

При r→∞ отрицательное биномиальное распределение становится распределением Пуассона
Если параметр r - целое число, то отрицательное биномиальное распределение становится обобщенным распределением Бозе-Эйнштейна ^[1].
При r=1 отрицательное биномиальное распределение становится геометрическим распределением
При r=1 получающееся геометрическое распределение является распределением Бозе-Эйнштейна для одного источника (a single source) ^[1].

Примечания

↑ ¹ ² Schopper H. (Ed.) Electron - Positron Interactions. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. P. 133// https://www.twirpx.org/file/3458790/ Архивная копия от 10 мая 2021 на Wayback Machine

Для улучшения этой статьи желательно:

Проверить достоверность указанной в статье информации. На странице обсуждения должны быть пояснения.
Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.

Вероятностные распределения

Дискретные

Абсолютно
непрерывные

Read other articles:

Мясниковский район

муниципальный район (национальный)Мясниковский районՄյասնիկովսկի շրջան Флаг Герб 47°17′00″ с. ш. 39°30′00″ в. д.HGЯO Страна Россия Входит в Ростовскую область Включает 7 муниципальных образований Адм. центр село Чалтырь Глава администрации района Торпуджиян Ан�...

Kenneth S. Wherry

American politician (1892–1951) Kenneth WherrySenate Minority LeaderIn officeJanuary 3, 1949 – November 29, 1951DeputyLeverett SaltonstallPreceded byAlben W. BarkleySucceeded byStyles BridgesLeader of the Senate Republican ConferenceIn officeJanuary 3, 1949 – November 29, 1951DeputyLeverett SaltonstallPreceded byWallace H. WhiteSucceeded byStyles BridgesSenate Majority WhipIn officeJanuary 3, 1947 – January 3, 1949LeaderWallace H. WhitePreceded byJ. Lister H...

HMG-CoA reductase

Mammalian protein found in Homo sapiens HMGCRAvailable structuresPDBOrtholog search: PDBe RCSB List of PDB id codes1DQ8, 1DQ9, 1DQA, 1HW8, 1HW9, 1HWI, 1HWJ, 1HWK, 1HWL, 2Q1L, 2Q6B, 2Q6C, 2R4F, 3BGL, 3CCT, 3CCW, 3CCZ, 3CD0, 3CD5, 3CD7, 3CDA, 3CDBIdentifiersAliasesHMGCR, HMG-CoA reductase, Entrez 3156, LDLCQ3, 3-hydroxy-3-methylglutaryl-CoA reductase, Hydroxymethylglutaryl-CoA reductaseExternal IDsOMIM: 142910 MGI: 96159 HomoloGene: 30994 GeneCards: HMGCR Gene location (Human)Chr.Chromosome 5 (...

Pierre Arpaillange

Pierre Arpaillange Fonctions Premier président de la Cour des comptes 8 octobre 1990 – 13 mars 1993(2 ans, 5 mois et 5 jours) Prédécesseur André Chandernagor Successeur Pierre Joxe Garde des Sceaux, ministre de la Justice 12 mai 1988 – 2 octobre 1990(2 ans, 4 mois et 20 jours) Président François Mitterrand Premier ministre Michel Rocard Gouvernement Rocard I et II Prédécesseur Albin Chalandon Successeur Henri Nallet Procureur général près la Cour ...

Football aux Jeux olympiques d'été de 1928

Football aux Jeux olympiques d'été de 1928 Généralités Sport Football Édition 5e Lieu(x) Amsterdam Participants 17 équipes Épreuves 1 Palmarès Tenant du titre Uruguay Vainqueur Uruguay (2) Finaliste Argentine Troisième Italie Meilleur(s) buteur(s) Domingo Tarasconi (11 buts) Navigation Paris 1924 Berlin 1936 modifier Le tournoi de football aux Jeux olympiques d'été de 1928 s'est déroulé du 27 mai au 13 juin 1928 à Amsterdam. Palmarès Épreuves Or Argent Bronze Football ma...

Davenport Mid City High School

Public secondary school in Davenport, Iowa, United States 41°34′31″N 90°34′51″W / 41.5752°N 90.5809°W / 41.5752; -90.5809 Davenport Mid City High SchoolAddress3801 Marquette St.Davenport, IowaUnited StatesInformationTypePublicEstablished2014School districtDavenport Community School DistrictSuperintendentTJ SchnecklothPrincipalJenni WeipertFaculty17.97 (FTE)[1]Grades9-12Enrollment173 (2020-21)[1]Student to teacher ratio9.63[1]Color(s)...

Margarete Blank

German doctor executed for defeatism during WW2 Margarete Blankphotographed in 1930Born(1901-02-21)21 February 1901KievDied8 February 1945(1945-02-08) (aged 43)DresdenNationalityGermanOther namesMargotOccupationPhysicianKnown forExecution towards the end of the Second World War Memorial in Panitzsch Margarete Blank (1901–1945) was a German medical doctor who was executed for defeatist speech in 1945. There are now several memorials to her including street names in Engelsdorf ...

Vestsjællands Lokalbaner

This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources.Find sources: Vestsjællands Lokalbaner – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2015) One of the railway's locomotives, an MY locomotive. Vestsjællands Lokalbaner A/S (literally The Local Railways of West Zealand, abbreviated VL) was a Danish railw...

Miss Universe 1956

Miss Universe 1956Tanggal20 Juli 1956Tempat Long Beach Municipal Auditorium, Long Beach, ASPembawa acaraBob RussellPeserta30Finalis/Semifinalis15DebutBelanda, Guyana, Islandia, Republik DominikaTidak tampilEl Salvador, Finlandia, Hindia Barat, Honduras, Nikaragua, Norwegia, Sri LankaTampil kembaliPeru, TurkiPemenangCarol Morris( Amerika Serikat)PersahabatanAnabella Granados( Kosta Rika)Photogenic Marina Orschel( Jerman)Penghargaan khususPhotogenic ← 19...

Mike MacIntyre

American football player and coach (born 1965) For the politician, see Mike McIntyre. Mike MacIntyreMacIntyre at a fundraiser in 2013Current positionTitleHead coachTeamFIUConferenceC-USARecord8–16Biographical detailsBorn (1965-03-14) March 14, 1965 (age 59)Miami, Florida, U.S.Playing career1984–1985Vanderbilt1987–1988Georgia Tech Position(s)Defensive backCoaching career (HC unless noted)1990–1991Georgia (GA)1992Davidson (DC)1992Plattling Black Hawks1993–1996UT Martin (DC)1997�...

Excess mortality in the Soviet Union under Joseph Stalin

Scholarly debate on deaths in the Soviet Union from 1921 to 1953 Exhumed mass grave of the Vinnytsia massacre Estimates of the number of deaths attributable to the Soviet revolutionary and dictator Joseph Stalin vary widely.[1] The scholarly consensus affirms that archival materials declassified in 1991 contain irrefutable data far superior to sources used prior to 1991, such as statements from emigres and other informants.[2][3][4] Before the dissolution of th...

Thomas Keell

British anarchist (1866–1938) Thomas KeellKeell in May 1930BornThomas Henry Keell(1866-09-24)24 September 1866Lewisham, Kent, EnglandDied26 June 1938(1938-06-26) (aged 71)Whiteway Colony, Gloucestershire, EnglandOccupations Compositor Newspaper editor OrganizationFreedom PressPartnerLilian Wolfe Thomas Henry Keell (24 September 1866 – 26 June 1938) was an English compositor who edited the anarchist periodical Freedom.[1] In 1907, he attended the International Anarchist Congre...

Evita (1996 film)

1996 American musical film EvitaTheatrical release posterDirected byAlan ParkerScreenplay by Alan Parker Oliver Stone Based onEvitaby Tim RiceAndrew Lloyd WebberProduced by Robert Stigwood Alan Parker Andrew G. Vajna Starring Madonna Antonio Banderas Jonathan Pryce Jimmy Nail CinematographyDarius KhondjiEdited byGerry HamblingMusic byAndrew Lloyd WebberProductioncompanies Hollywood Pictures Cinergi Pictures Patagonik Film Group RSO Films[1] Dirty Hands Productions[1] Distribut...

Paula Deen

American cook, restaurateur, author, and television personality For the silent-screen actress, see Paula Dean. Paula DeenDeen (left) in a public service announcement for Civitan International, 2006BornPaula Ann Hiers[1] (1947-01-19) January 19, 1947 (age 77)Albany, Georgia, U.S.Spouses Jimmy Deen (m. 1965⁠–⁠1989) Michael Groover (m. 2004)[2] ChildrenJamie Deen and Bobby DeenCulinary career...

Arif Alvi

Questa voce o sezione sull'argomento politici pakistani non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Arif Alviعارف الرحمان علوی Presidente del PakistanDurata mandato9 settembre 2018 –10 marzo 2024 Capo del governoImran KhanShehbaz SharifAnwaar ul Haq Kakar PredecessoreMamnoon Hussain SuccessoreAsif Ali Zardari Dati gener...

List of Kannada films of 1992

This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (September 2022) (Learn how and when to remove this message) Sandalwood(Kannada) cinema 1930s 1940s 1950s 1960s 1960 1961 1962 1963 19641965 1966 1967 1968 1969 1970s 1970 1971 1972 1973 19741975 1976 1977 1978 1979 1980s 1980 1981 1982 1983 19841985 1986 1987 1988 1989 1990s 1...

Altai Krai Legislative Assembly

Regional parliament of Altai Krai, Russia You can help expand this article with text translated from the corresponding article in Russian. (September 2020) Click [show] for important translation instructions. Machine translation, like DeepL or Google Translate, is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated text into the English Wikipedia. Do not ...

Municipalité de Strathfield

Municipalité de Strathfield Localisation de la zone d'administration locale. Administration Pays Australie État ou Territoire Nouvelle-Galles du Sud Région Agglomération de Sydney Siège du Conseil Strathfield Maire Karen Pensabene Démographie Population 45 593 hab. (2021) Densité 3 234 hab./km2 Géographie Coordonnées 33° 52′ 18″ sud, 151° 05′ 24″ est Superficie 1 410 ha = 14,1 km2 Liens Site web Sit...

Finestra

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Finestra (disambigua). Questa voce o sezione sull'argomento architettura non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Una finestra Finestre ad arco a tutto sesto dette monofore La finestra è un'apertura di forma regolare, solitamente quadrat...

Stadio Diego Armando Maradona (Buenos Aires)

Stadio Diego Armando MaradonaEstadio Argentinos JuniorsEl semillero del mundo Informazioni generaliStato Argentina UbicazioneGavilán 2151, Villa General Mitre, Buenos Aires Inizio lavori27 aprile 1940 Inaugurazione26 dicembre 2003 Ristrutturazione1993-2003 ProprietarioArgentinos Juniors ProgettoHéctor Raúl Caracciolo Intitolato aDiego Maradona Informazioni tecnichePosti a sedere24 800 Mat. del terrenoErba Dim. del terreno100×66 m Uso e beneficiariCalcio Argentinos Juniors M...

PROFILPELAJAR.COM