Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена x n − − --> 1 {\displaystyle x^{n}-1} , где n ⩾ ⩾ --> 1 {\displaystyle n\geqslant 1} . Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1. В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена x n − − --> 1 {\displaystyle x^{n}-1} не только в комплексном, но и в произвольном ином поле, характеристика p {\displaystyle p} которого не является делителем степени n {\displaystyle n} многочлена[1].
Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел, быстром преобразовании Фурье[2], теории расширений полей, теории построений циркулем и линейкой, представлениях групп.
Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:
Тогда по формуле Муавра получим выражение[3] для k {\displaystyle k} -го корня n-й степени из единицы u k {\displaystyle u_{k}} :
Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:
Из этих формул вытекает, что корней n-й степени из единицы всегда ровно n {\displaystyle n} , и все они различны[3].
Кубические корни из единицы:
Корни 4-й степени из единицы:
Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента, степени каждого из которых охватывают все корни 5-й степени:
Для корня 6-й степени порождающих элементов только два ( u 1 {\displaystyle u_{1}} и u 5 {\displaystyle u_{5}} ):
Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица 1 + 0 i . {\displaystyle 1+0i.} Вещественных корней может быть либо два, если n {\displaystyle n} чётно (единица и минус единица), либо один (единица), если n {\displaystyle n} нечётно. В любом случае невещественных корней чётное число, они располагаются симметрично относительно горизонтальной оси. Последнее означает, что если u k {\displaystyle u_{k}} — корень из единицы, то сопряжённое к нему число u k ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {u_{k}}}} — тоже корень из единицы[3].
Пусть M — произвольная точка единичной окружности и n > 1. {\displaystyle n>1.} Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней n {\displaystyle n} -й степени из единицы равна 2 n {\displaystyle 2n} [4].
Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.
Корни из единицы образуют по умножению коммутативную конечную группу порядка n {\displaystyle n} . В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. Нейтральным элементом группы является комплексная единица[3].
Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов Z n . {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.} Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент u k {\displaystyle u_{k}} , индекс k {\displaystyle k} которого взаимно прост с n {\displaystyle n} .
Следствия[3]:
Если n > 1 {\displaystyle n>1} , то для любого первообразного корня из единицы u {\displaystyle u} имеют место формулы
Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле K n = Q ( u ) {\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} (u)} , порождённое присоединением к полю рациональных чисел Q {\displaystyle \mathbb {Q} } первообразного корня n-й степени из единицы u {\displaystyle u} . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.
Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.
Пример: K 3 {\displaystyle K_{3}} состоит из комплексных чисел вида a + b 3 i {\displaystyle a+b{\sqrt {3}}\,i} , где a , b {\displaystyle a,b} — рациональные числа.
Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.
Корни из единицы n-й степени можно определить не только для комплексных чисел, но и для любого другого алгебраического поля K {\displaystyle K} как решения уравнения x n = 1 {\displaystyle x^{n}=1} , где 1 {\displaystyle 1} — единица поля K {\displaystyle K} . Корни из единицы существуют в любом поле и образуют подгруппу мультипликативной группы поля K {\displaystyle K} . Обратно, любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля K {\displaystyle K} содержит только корни из единицы и является циклической[3].
Если характеристика поля ненулевая, то группа корней из единицы совместно с нулём образует конечное поле.
Широкое применение корней из единицы как инструмента исследования начал Гаусс. В своей монографии «Арифметические исследования» (1801) он впервые решил древнюю задачу о делении окружности циркулем и линейкой на n равных частей (или, что то же, о построении правильного многоугольника с n сторонами). С помощью корней из единицы Гаусс свёл задачу к решению уравнения деления круга:
Дальнейшие рассуждения Гаусса показали, что задача имеет решение, только если n может быть представлено в виде 2 2 r + 1 {\displaystyle 2^{2^{r}}+1} . Подход Гаусса использовали позднее Лагранж и Якоби. Коши применил корни из единицы для исследования более общей задачи решения алгебраических уравнений со многими неизвестными (1847 год)[5].
Новые применения корней из единицы обнаружились после создания в начале XX века абстрактной алгебры. Эмми Нётер и Эмиль Артин использовали это понятие в теории расширений полей и обобщении теории Галуа[6].
Lokasi Pengunjung: 3.144.107.12