Га́уссовы це́лые чи́сла (гауссовы числа, целые комплексные числа) — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа^[1].

Примеры: ${\displaystyle 1+2i;\quad -4+11i;\quad 4i;\quad 5;\quad 1-i}$.

Впервые введены Гауссом в монографии «Теория биквадратичных вычетов» (1828—1832)^{[2] [3]}. Множество гауссовых целых чисел принято обозначать ${\displaystyle \mathbb {Z} [i],}$ отражая тем самым тот факт, что оно получается из множества целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ добавлением в него мнимой единицы ${\displaystyle i}$ и комбинаций её с целыми числами. Свойства гауссовых чисел похожи на свойства обычных целых чисел, однако имеются и существенные отличия.

Формальное определение:

${\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$.

Множество ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ содержит множество обычных целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и представляет собой его расширение^[4]. Сумма, разность и произведение гауссовых чисел являются гауссовыми числами; для них, как и для целых чисел, сохраняются свойства ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности — такая алгебраическая структура называется в общей алгебре коммутативным кольцом^[5]. Ввести в этом комплексном кольце упорядоченность, согласованную с порядком вещественных чисел, невозможно.

Сопряжённое к гауссовому числу ${\displaystyle a+bi}$ есть также гауссово число ${\displaystyle a-bi}$.

Каждое гауссово число ${\displaystyle z=a+bi}$ удовлетворяет квадратному уравнению:

${\displaystyle (z-a)^{2}+b^{2}=0}$

Поэтому гауссово число есть целое алгебраическое число.

Норма для гауссова числа ${\displaystyle a+bi}$ определяется как квадрат его модуля^[6]:

${\displaystyle N\left(a+bi\right)=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}}$.

Свойства нормы^[7]:

• Норма равна нулю только для нуля. В остальных случаях норма — положительное целое число.
• Нормы сопряжённых чисел совпадают.
• Норма обычного целого числа равна его квадрату.
• Если норма нечётна, то она имеет вид ${\displaystyle 4n+1}$, то есть при делении её на 4 получается остаток 1. Никакое гауссово число не может иметь норму вида ${\displaystyle 4n+3}$.

Норма, как и модуль, обладает важным свойством мультипликативности^[7]:

${\displaystyle N(u\cdot v)=N(u)\cdot N(v)}$

Отсюда следует^[8], что обратимыми элементами кольца (делителями единицы) являются те элементы, у которых норма равна 1, то есть ${\displaystyle \{1;-1;i;-i\}}$.

Два гауссовых числа называются ассоциированными, если одно получается из другого умножением на делитель единицы. Легко видеть, что ассоциированность — отношение эквивалентности^[8]. Пример: гауссовы числа ${\displaystyle 1+i}$ и ${\displaystyle 1-i}$ ассоциированы, поскольку:

${\displaystyle 1+i=i(1-i)}$.

У каждого ненулевого гауссова числа есть три ассоциированных с ним. Нормы всех четырёх ассоциированных между собой чисел совпадают.

Деление нацело гауссовых чисел определяется обычным образом^[7]:

Произношение: один из трёх равносильных вариантов.

• ${\displaystyle u}$ делится на ${\displaystyle v}$;
• ${\displaystyle v}$ делит ${\displaystyle u}$;
• ${\displaystyle v}$ — делитель ${\displaystyle u}$.

Используются традиционные термины: делимое или кратное (${\displaystyle u}$), делитель (${\displaystyle v}$) и частное от деления (${\displaystyle q}$). Количество делителей гауссова числа всегда конечно, количество кратных бесконечно.

Пример: число 2 делится нацело на ${\displaystyle 1+i}$, потому что ${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$.

Все гауссовы числа делятся на делители единицы, поэтому любое гауссово число, отличное от делителей единицы, имеет как минимум 8 делителей: 4 делителя единицы и 4 их произведения на само это число. Эти делители называются тривиальными^[9].

Деление нацело в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ по своим свойствам похоже на аналогичное деление целых чисел. Некоторые специфические для гауссовых чисел особенности^[8][7]:

• Если гауссово число ${\displaystyle z}$ делится нацело на обычное целое число, то на это целое число делятся как вещественная, так и мнимая часть ${\displaystyle z}$.
• Если ${\displaystyle u\mid v}$ и ${\displaystyle v\mid u}$, то эти числа ассоциированы.
• Если ${\displaystyle u\mid v}$, то любое из 3 чисел, ассоциированных с ${\displaystyle v}$, делится на любое из 3 чисел, ассоциированных с ${\displaystyle u}$.
• Если ${\displaystyle u}$ делится на ${\displaystyle v\;(u=vq)}$, то сопряжённое к делимому число ${\displaystyle {\overline {u}}}$ делится на сопряжённое к делителю ${\displaystyle {\overline {v}}\;({\overline {u}}={\overline {v}}{\overline {q}})}$.
• Все делители гауссова числа ${\displaystyle z}$ являются также делителями его нормы ${\displaystyle N(z)=z\cdot {\overline {z}}}$.
• Норма гауссова числа чётна тогда и только тогда, когда это число делится на ${\displaystyle 1+i}$.
• Если ${\displaystyle v\mid u}$, то и норма делимого, в силу мультипликативности, делится нацело на норму делителя. При этом:

${\displaystyle N\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {N(u)}{N(v)}}}$

У каждого гауссова числа ${\displaystyle z}$ есть 4 кратных с той же нормой (и, соответственно, тем же модулем) — это само ${\displaystyle z}$ и ассоциированные с ним 3 числа, которые получаются последовательным умножением ${\displaystyle z}$ на ${\displaystyle i}$:

${\displaystyle z;\ iz;\ -z;\ -iz}$

Но умножение на ${\displaystyle i}$ означает на комплексной плоскости поворот радиус-вектора числа на 90° против часовой стрелки, причём модуль результата будет тем же. Таким образом, все 4 числа образуют равносторонний крест (выделен красным на рисунке), центр и вершины которого кратны ${\displaystyle z}$. Последовательно сдвигая этот крест во все стороны на одну из 4 величин, ассоциированных с ${\displaystyle z}$, мы получаем на всей плоскости квадратную решётку, все узлы которой (вершины квадратов) кратны ${\displaystyle z}$. Обратно, любое кратное ${\displaystyle z}$ совпадает с одним из узлов решётки. Ширина каждого квадрата решётки равна ${\displaystyle |z|}$. Далее для краткости эта решётка будет называться «решёткой кратных» (или, если требуется уточнение, «${\displaystyle z}$-решёткой кратных»).

Пример: на рисунке одним из узлов решётки является число ${\displaystyle 4-2i}$, кратное ${\displaystyle 1+2i}$:

${\displaystyle 4-2i=-2i(1+2i)}$.

Простое гауссово число — ненулевое число, не имеющее других делителей, кроме тривиальных. Число, не являющееся простым, называется составным. При этом делители единицы, подобно натуральной единице, не считаются ни простыми, ни составными числами^[10].

Некоторые свойства простых гауссовых чисел:

• Если ${\displaystyle a+bi}$ — простое гауссово число, то противоположное ${\displaystyle -a-bi}$ и сопряжённое к нему ${\displaystyle a-bi}$ гауссовы числа тоже являются простыми.
• Если простое гауссово число является делителем произведения гауссовых чисел, то оно является делителем по крайней мере одного из сомножителей.
• Норма любого простого гауссова числа, кроме ассоциированных с ${\displaystyle 1+i}$, всегда нечётна и поэтому имеет вид ${\displaystyle 4n+1}$.

Натуральное простое число может не быть гауссовым простым числом. Например, числа 2 и 5 в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ уже не простые:

${\displaystyle 2=(1+i)(1-i);\quad 5=(2+i)(2-i)}$

Разложение гауссовых чисел с нормой от 2 до 100 на простые гауссовы множители см. в таблице Факторизация гауссовых чисел.

Если гауссово число ${\displaystyle w}$ является делителем для двух гауссовых чисел ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$, оно называется их общим делителем. Множество общих делителей двух чисел всегда содержит 4 делителя единицы; если других общих делителей нет, эти числа называются взаимно простыми^[11].

Отметим, что если нормы гауссовых чисел ${\displaystyle u,v}$ взаимно просты как целые числа, то и сами числа ${\displaystyle u,v}$ взаимно просты как гауссовы числа. Обратное неверно: нормы взаимно простых гауссовых чисел могут иметь общие делители — например, ${\displaystyle 5+2i}$ и ${\displaystyle 5-2i}$ взаимно просты, но их нормы совпадают и поэтому не взаимно просты.

Укажем два свойства, аналогичные свойствам целых чисел.

• Если каждое из двух гауссовых чисел ${\displaystyle u,v}$ взаимно просто с гауссовым числом ${\displaystyle w,}$ то и их произведение ${\displaystyle uv}$ тоже взаимно просто^[11] с ${\displaystyle w}$.
• Если ${\displaystyle z|uv}$ и при этом ${\displaystyle z}$ взаимно просто с ${\displaystyle u}$, то^[12] ${\displaystyle z|v}$.

Гаусс указал определяющие признаки простого числа в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$^[13].

Примеры простых гауссовых чисел:

• к первой части критерия: ${\displaystyle \pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i}$;
• ко второй части критерия: ${\displaystyle 1\pm i;\ 1\pm 2i;\ 1\pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i}$.

Некоторые источники для большей ясности разделяют вторую часть критерия на две^[14]:

1. Числа, ассоциированные с ${\displaystyle 1+i}$. Их норма равна 2.
2. Числа, норма которых есть простое натуральное число вида ${\displaystyle 4n+1}$.

Сам Гаусс такого разделения не делал^[15].

Следствия:

• Никакое простое натуральное число вида ${\displaystyle 4n+1}$ не может быть простым гауссовым числом. Простые натуральные числа вида ${\displaystyle 4n+3}$ являются и простыми гауссовыми числами.
• Норма простого гауссова числа является либо простым натуральным числом, либо квадратом простого натурального числа^[16].
• Простое натуральное число вида ${\displaystyle 4n+1}$ можно представить как произведение сопряжённых простых гауссовых чисел ${\displaystyle (a+bi)(a-bi)}$ или, что то же самое, как сумму квадратов ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$. Этот факт известен как Теорема Ферма — Эйлера. Именно при исследовании данной темы, а также теории биквадратичных вычетов, Гаусс с успехом применил целые комплексные числа. Обратно, если простое натуральное число представимо в виде суммы натуральных квадратов, то в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ оно составное и разлагается на два сопряжённых гауссовых простых^[17].
• Каждое простое гауссово число является делителем одного и только одного простого натурального числа^[17]. Это значит, что разлагая натуральные простые на гауссовы множители, получаются все гауссовы простые.

В ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ имеет место аналог основной теоремы арифметики: каждое гауссово число, не являющееся нулём или делителем единицы, разлагается на простые множители, причём это разложение однозначно с точностью до порядка и ассоциированности множителей^[1][18].

Пример: ${\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i)}$. Множители этих двух, по виду разных, разложений попарно ассоциированы: ${\displaystyle 1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),}$ так что однозначность не нарушается.

Чтобы практически разложить гауссово число ${\displaystyle z}$ на простые множители, можно использовать приведённое выше свойство: все делители гауссова числа являются также делителями его нормы. При этом норма содержит также «лишние» простые множители, соответствующие сопряжённому к ${\displaystyle z}$ числу.

Таким образом, начать следует с разложения нормы числа ${\displaystyle z}$ на простые натуральные множители^[19].

1. Множитель 2, если он присутствует в разложении нормы, разлагается как ${\displaystyle (1+i)(1-i)}$. Следует включить в результирующее разложение те из этих множителей (в соответствующей степени), на которые ${\displaystyle z}$ делится нацело.
2. Кроме 2, остальные множители нормы — нечётные. Множитель вида ${\displaystyle 4n+3}$ является простым гауссовым числом, поэтому он делит не только норму ${\displaystyle N(z)=~z{\overline {z}}}$, но и само ${\displaystyle z}$. Но тогда этот множитель делит и сопряжённое число ${\displaystyle {\overline {z}}}$. Отсюда вытекает, что множитель вида ${\displaystyle 4n+3}$ входит в разложение нормы всегда в чётной степени, а в разложение самого ${\displaystyle z}$ — в степени, вдвое меньшей.
3. Множитель вида ${\displaystyle 4n+1}$ можно разложить на произведение сопряжённых простых гауссовых чисел (или, что то же самое, на сумму квадратов натуральных чисел). И здесь следует делением выяснить, какой из сомножителей относится к исходному числу, а какой — к сопряжённому.

Например, для разложения на простые множители ${\displaystyle 9+12i}$ (норма — 225) выделяются простые натуральные множители: ${\displaystyle 225=3^{2}\cdot 5^{2}}$. По предыдущему, ${\displaystyle 5=(2-i)(2+i)}$. При этом ${\displaystyle 9+12i}$ делится только на ${\displaystyle 2+i}$ и не делится на ${\displaystyle 2-i}$. Частное от деления ${\displaystyle 9+12i}$ на ${\displaystyle 3(2+i)}$ равно ${\displaystyle 2+i,}$ поэтому окончательный результат:

${\displaystyle 9+12i=3\cdot (2+i)^{2}}$.

Понятие сравнения по модулю определяется в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ аналогично тому, как это делается для целых чисел^[20]:

Свойства сравнений в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ в основном такие же, как у целых чисел. Отношение сравнимости есть отношение эквивалентности, поэтому ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ разбивается на непересекающиеся классы вычетов — каждый такой класс содержит все сравнимые друг с другом (по заданному модулю) гауссовы числа. Для классов, как в случае целых чисел, можно определить сложение и умножение, так что получается кольцо вычетов по гауссову модулю.

Пример. Возьмём в качестве модуля сравнения ${\displaystyle 1+i}$. Тогда ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ разбивается на два класса вычетов: числа ${\displaystyle a+bi}$, у которых ${\displaystyle a,b}$ одинаковой чётности, попадут в один класс (содержащий кратные для модуля), а числа с разной чётностью ${\displaystyle a,b}$ — в другой.

У гауссова сравнения имеются некоторые особенности. Например, если для целых чисел по модулю 3 существуют 3 класса вычетов с представителями ${\displaystyle 0;\ 1;\ 2,}$ то для гауссовых чисел по тому же модулю количество классов значительно больше. Их представители:

${\displaystyle 0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1+i;\ 2+i;\ 2i;\ 1+2i;\ 2+2i}$

Как обнаружил Гаусс, кольцо вычетов по модулю ${\displaystyle a+bi}$ содержит ${\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2}}$ элементов^[20]. Этот факт вынуждает модифицировать некоторые классические теоремы. Например, малая теорема Ферма для целых чисел утверждает, что ${\displaystyle (a^{p}-a)}$ делится на ${\displaystyle p}$ для любого простого ${\displaystyle p}$ и натурального ${\displaystyle a}$. Для гауссовых чисел это неверно, даже если ограничиться натуральными значениями ${\displaystyle p}$; например, для целых чисел ${\displaystyle a^{3}-a}$ всегда делится на 3, а для гауссовых ${\displaystyle i^{3}-i=-2i}$, и это значение на 3 не делится. Модифицированный аналог малой теоремы Ферма формулируется следующим образом^[20]:

Для простого гауссова числа ${\displaystyle w=a+bi}$ и любого гауссова числа ${\displaystyle u}$
${\displaystyle (u^{N(w)}-u)=(u^{a^{2}+b^{2}}-u)}$ делится на ${\displaystyle w}$.

На том же примере с ${\displaystyle w=3;u=i}$ результат: ${\displaystyle (i^{9}-i)=0}$ — делится на 3.

Назовём класс вычетов по модулю ${\displaystyle w,}$ содержащий число ${\displaystyle u,}$ обратимым, если сравнение ${\displaystyle ux\equiv 1{\pmod {w}}}$ имеет решение относительно ${\displaystyle x}$. Класс обратим тогда и только тогда, когда гауссовы числа ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle w}$ взаимно просты^[20]. В частности, если модуль сравнений ${\displaystyle w}$ — гауссово простое число, то каждый ненулевой класс вычетов имеет обратный элемент, а это значит, что классы вычетов по простому модулю в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, как и в ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ образуют поле.

Введём аналог функции Эйлера для гауссовых чисел. Определение для целых чисел не годится хотя бы потому, что содержащееся в нём выражение «от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle n}$» не имеет смысла для комплексных чисел. Новое определение^[20]:

Определённая таким образом функция, как и её прототип для целых чисел, мультипликативна, поэтому достаточно знать её значения для простых чисел и их натуральных степеней. Если ${\displaystyle z}$ — простое гауссово число, то^[20]:

${\displaystyle \varphi (z)=N(z)-1;\quad \varphi (z^{k})=N(z)^{k-1}(N(z)-1)}$

Пример: ${\displaystyle \varphi (3+4i)=\varphi ((2+i)^{2})=N(2+i)(N(2+i)-1)=5\cdot 4=20}$.

Теперь можно обобщить приведённую в предыдущем разделе малую теорему Ферма на случай произвольного (не обязательно простого) модуля сравнения, то есть привести аналог теоремы Эйлера^[20]:

Рассмотрим для примера сравнения по модулю ${\displaystyle w=1+2i}$. Как сказано в разделе о геометрическом представлении делимости, можно разбить комплексную плоскость на квадраты так, что узлы этой решётки (вершины квадратов) представляют всевозможные комплексные кратные ${\displaystyle 1+2i}$. Тогда, по определению, числа сравнимы по модулю ${\displaystyle w}$, если их разность совпадает с одним из узлов решётки кратных.

Каждый квадрат решётки получается из любого другого квадрата сдвигом (переносом) на величину, кратную ${\displaystyle w,}$ поэтому разность любой точки квадрата и результата её сдвига тоже кратна ${\displaystyle w}$. Отсюда следует окончательный вывод^[20]:

Например, сравнимы все центры квадратов, или все середины их соответствующих сторон и т. п.

В кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ можно определить деление с остатком (на любое ненулевое гауссово число), потребовав, чтобы норма остатка была меньше нормы делителя^[21]:

Несложно показать, что в качестве частного от деления с остатком можно взять гауссово число, ближайшее к частному от обычного деления комплексных чисел^[22].

Необходимо отметить, что условия «норма остатка меньше нормы делителя» недостаточно для того, чтобы гарантировать однозначность остатка от деления, поэтому в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ остаток неоднозначен. Например, ${\displaystyle 7+2i}$ можно разделить на ${\displaystyle 3-i}$ тремя способами:

${\displaystyle 7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i)}$

Можно гарантировать только то, что все остатки попадают в один класс вычетов по модулю делителя. Впрочем, похожая ситуация имеет место и для обычных целых чисел — например, разделить с остатком 8 на 3 можно двумя способами: ${\displaystyle 8=3\cdot 2+2}$ или ${\displaystyle 8=3\cdot 3-1}$ (оба остатка по модулю меньше делителя) поэтому в арифметике целых чисел введено дополнительное условие, обеспечивающее однозначность операции: остаток должен быть неотрицательным.

Пример. Для деления с остатком ${\displaystyle 11+10i}$ на ${\displaystyle 4+i}$ вначале находится частное от обычного комплексного деления:

${\displaystyle {\frac {11+10i}{4+i}}={\frac {(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}}={\frac {54+29i}{17}}\approx 3{,}17+1{,}7i}$

Ближайшее к результату гауссово число есть ${\displaystyle 3+2i,}$ тогда остаток равен ${\displaystyle 11+10i-(4+i)(3+2i)=1-i}$. В итоге:

${\displaystyle 11+10i=(4+i)(3+2i)+1-i}$

Для гауссовых чисел имеет место аналог китайской теоремы об остатках, поскольку она доказывается с помощью алгоритма Евклида.

Из определения деления с остатком ${\displaystyle u}$ на ${\displaystyle v}$ следует, что ${\displaystyle |r|=|u-vq|}$, то есть модуль остатка есть расстояние между комплексными числами ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle vq}$. Другими словами, ${\displaystyle |r|}$ есть расстояние от делимого до одного из узлов ${\displaystyle v}$-решётки кратных. Требование «норма остатка меньше нормы делителя» эквивалентно условию ${\displaystyle |r|<|v|}$. Отсюда вытекает:

В вышеприведённом примере деления ${\displaystyle 7+2i}$ на ${\displaystyle 3-i}$ ближайшими к делимому являются кратные делителя, образующие вершины квадрата решётки, содержащего делимое:

${\displaystyle 7+i=(3-i)(2+i)}$

${\displaystyle 4+2i=(3-i)(1+i)}$

${\displaystyle 8+4i=(3-i)(2+2i)}$

Все они находятся от делимого на расстоянии меньше, чем ${\displaystyle |v|={\sqrt {10}}}$. Четвёртая вершина квадрата ${\displaystyle 5+5i}$ удалена от делимого больше чем на ${\displaystyle {\sqrt {10}}}$. Поэтому данная задача деления с остатком имеет три решения.

В общем случае, проведя из вершин квадрата ${\displaystyle v}$-решётки кратных дуги радиусом ${\displaystyle |v|,}$ мы получим фигуру, показанную на рисунке. Если делимое находится в центральной области (красная зона), оно удалено от всех вершин менее чем на ${\displaystyle |v|,}$ и деление с остатком может быть выполнено четырьмя способами. Если делимое находится в одном из «лепестков» (синяя зона), то одна из вершин отпадает, и число решений равно трём. Для белой зоны получаем два решения. Наконец, если делимое совпадает с одной из вершин, то остаток равен нулю, и решение единственно.

Кольцо гауссовых чисел является евклидовым, и в нём всегда можно определить наибольший общий делитель, определённый однозначно с точностью до делителей единицы^[23].

Эквивалентное определение: НОД${\displaystyle (u,v)}$ есть тот общий делитель ${\displaystyle u,v}$, у которого норма максимальна^[24].

Свойства НОД

• Если известен некоторый НОД, то любое из трёх чисел, ассоциированных с ним, также будет НОД. В частности. если один из НОД — делитель единицы, то такими же будут и остальные три НОД.
• Гауссовы числа взаимно просты тогда и только тогда, когда их НОД есть делитель единицы.
• Имеет место аналог соотношения Безу^[25]:

Другими словами, наибольший общий делитель двух гауссовых чисел можно всегда представить как линейную комбинацию этих чисел с гауссовыми коэффициентами.

• Следствие соотношения Безу^[25]: если гауссовы числа ${\displaystyle u,v}$ взаимно просты, то уравнение ${\displaystyle xu+yv=1}$ относительно ${\displaystyle x,y}$ имеет решение в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$. Вместо 1 в приведённом уравнении может стоять любой другой делитель единицы, теорема при этом останется верной.

Для определения НОД в ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ удобно использовать алгоритм Евклида, вполне аналогичный применяемому для целых чисел. НОД получается в этой схеме как последний ненулевой остаток^[26]. Алгоритм Евклида можно также использовать для нахождения коэффициентов ${\displaystyle x,y}$ в соотношении Безу^[20].

Пример 1. Найдём НОД для ${\displaystyle 32+9i}$ и ${\displaystyle 4+11i}$.

Шаг 1: ${\displaystyle 32+9i=(4+11i)(2-2i)+2-5i}$ (разделили с остатком первое число на второе)

Шаг 2: ${\displaystyle 4+11i=(2-5i)(-2+i)+3-i}$ (разделили с остатком предыдущий делитель на остаток предыдущего шага)

Шаг 3: ${\displaystyle 2-5i=(3-i)(1-i)-i}$ (то же действие)

Шаг 4: ${\displaystyle 3-i=(-i)(1+3i)}$ (то же действие, деление выполнилось нацело)

Отметим, что на каждом шаге норма остатка монотонно уменьшается. Последний ненулевой остаток равен ${\displaystyle -i}$, это делитель единицы, поэтому заключаем, что исследуемые числа взаимно просты.

Пример 2. Найдём НОД для ${\displaystyle 11+3i}$ и ${\displaystyle 1+8i}$.

Шаг 1: ${\displaystyle 11+3i=(1+8i)(1-i)+2-4i}$

Шаг 2: ${\displaystyle 1+8i=(2-4i)(-1+i)+(-1+2i)}$

Шаг 3: ${\displaystyle 2-4i=(-1+2i)(-2)}$ (деление выполнилось нацело)

Последний ненулевой остаток равен ${\displaystyle -1+2i}$, это и есть искомый НОД. Последовательно подставляя вместо левых частей равенств правые (начиная с предпоследнего равенства, снизу вверх), получается соотношение Безу для НОД:

${\displaystyle -1+2i=(11+3i)(1-i)+(1+8i)(1+2i)}$

Гаусс использовал открытую им алгебраическую структуру для глубокого исследования биквадратичных вычетов. Можно указать и другие области успешного применения гауссовых чисел^[27]. Примечательно, что значительная их часть относится к теории не комплексных, а натуральных чисел.

Из критерия Гаусса➤ вытекает, что простое натуральное число вида ${\displaystyle 4n+1}$ можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, причём единственным способом. Пример: ${\displaystyle 29=(2+5i)(2-5i)=2^{2}+5^{2}}$.

Разложение натуральных чисел другого вида не всегда возможно — например, ${\displaystyle 15;19;27;103}$ и другие числа вида ${\displaystyle 4n+3}$ нельзя представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. Составные числа могут также иметь более одного варианта разложения, например^[27]: ${\displaystyle 65=4^{2}+7^{2}=1^{2}+8^{2}}$. Общая теорема: натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда в его каноническом разложении все простые множители вида ${\displaystyle 4n+3}$ входят в чётных степенях^[17].

Пример: ${\displaystyle 21=3\cdot 7}$ нельзя представить в виде суммы квадратов, потому что число 3 (как и 7) входит в него с нечётной степенью. Но ${\displaystyle 245=5\cdot 7^{2}}$ представить можно: ${\displaystyle 245=7^{2}+14^{2}}$.

Число представлений ${\displaystyle \rho (m)}$ натурального числа ${\displaystyle m}$ в виде суммы квадратов (или, что то же самое, число гауссовых чисел с нормой ${\displaystyle m}$) можно определить следующим образом^[28]. Разложим ${\displaystyle m}$ на простые натуральные множители:

${\displaystyle m=2^{\lambda }p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{r}^{\lambda _{r}}q_{1}^{\mu _{1}}q_{2}^{\mu _{2}}\dots q_{s}^{\mu _{s}}}$

Здесь ${\displaystyle p_{i}}$ — множители вида ${\displaystyle 4n+1,}$ а ${\displaystyle q_{j}}$ — множители вида ${\displaystyle 4n+3}$. Тогда возможны 3 случая.

1. Если хотя бы один показатель степени ${\displaystyle \mu _{j}}$ нечётный, число ${\displaystyle m}$ не может быть представлено в виде суммы квадратов.
2. Пусть все ${\displaystyle \mu _{j}}$ чётные. Окончательная формула зависит от чётности ${\displaystyle \lambda _{i}}$. Если все они тоже чётные, то формула имеет вид:

${\displaystyle \rho (m)={\frac {1}{2}}[(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)+1]}$

3. Если не все ${\displaystyle \lambda _{i}}$ чётные, то формула немного отличается:

${\displaystyle \rho (m)={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)}$

Пифагорова тройка — это одно из целочисленных решений уравнения:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$.

Общее решение уравнения зависит от двух целых параметров ${\displaystyle m,n}$:

${\displaystyle x=m^{2}-n^{2};\;y=2mn;\;z=m^{2}+n^{2}}$.

Для генерации пифагоровых троек можно использовать такой приём. Пусть ${\displaystyle z=a+bi}$ — произвольное гауссово число, у которого обе компоненты ${\displaystyle a,b}$ ненулевые. Возведя это число в квадрат, получается некоторое другое гауссово число ${\displaystyle c+di}$. Тогда тройка ${\displaystyle \{|c|;|d|;N(z)\}}$ будет пифагоровой^[27].

Пример: для исходного числа ${\displaystyle z=17+12i}$ получается пифагорова тройка ${\displaystyle (145;408;433)}$.

Решение многих диофантовых уравнений удаётся найти, если привлечь аппарат гауссовых чисел. Например, для уравнения ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2z^{2}}$ несложные преобразования дают два типа целых взаимно простых решений^[29], зависящих от целых параметров ${\displaystyle a,b}$:

1. ${\displaystyle x=a^{2}-2ab-b^{2};\;y=a^{2}+2ab-b^{2}}$
2. ${\displaystyle x=-a^{2}-2ab+b^{2};\;y=a^{2}-2ab-b^{2}}$

В 1850 году Виктор Лебег, используя гауссовы числа, исследовал уравнение ${\displaystyle x^{2}+1=y^{n}}$ и доказал его неразрешимость в натуральных числах. Другими словами, среди натуральных чисел вида ${\displaystyle n^{2}+1}$ нет ни одного полного куба или иной степени выше второй^[27].

• Найти количество гауссовых чисел, норма которых меньше заданной натуральной константы ${\displaystyle R}$. В эквивалентной формулировке эта тема известна как «проблема круга Гаусса» в геометрии чисел^[30][31].
• Найти прямые на комплексной плоскости, содержащие бесконечно много простых гауссовых чисел. Две такие прямые очевидны — это координатные оси; неизвестно, существуют ли другие^[32].
• Вопрос, известный под названием «ров Гаусса»: можно ли дойти до бесконечности, переходя от одного простого гауссова числа к другому скачками заранее ограниченной длины? Задача поставлена в 1962 году и до сих пор не решена^[33].

Ещё одним исторически важным евклидовым кольцом, похожим по свойствам на целые числа, стали «целые числа Эйзенштейна».

Гауссовы рациональные числа, обозначаемые ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ — это комплексные числа вида ${\displaystyle a+bi}$, где ${\displaystyle a,b}$ — рациональные числа. Это множество замкнуто относительно всех 4 арифметических операций, включая деление, и поэтому является полем, расширяющим кольцо гауссовых чисел.

В 1820-х годах Карл Фридрих Гаусс исследовал биквадратичный закон взаимности, результатом стала монография «Теория биквадратичных вычетов» (1828—1832). Именно в этом труде целые комплексные числа доказали свою полезность для решения задач теории чисел, хотя формулировка этих задач никак не связана с комплексными числами. Гаусс писал, что «естественный источник общей теории следует искать в расширении области арифметики»^[3].

В книге Гаусса было показано, что новые числа по своим свойствам во многом напоминают обычные целые числа. Автор описал четыре делителя единицы, определил отношение ассоциированности, понятие простого числа, дал критерий простоты и доказал аналоги основной теоремы арифметики, малой теоремы Ферма. Далее Гаусс подробно рассмотрел вычеты по комплексному модулю, индексы и первообразные корни. Главным достижением построенной теории стал биквадратичный закон взаимности, который Гаусс обещал доказать в следующем томе; этот том так и не был опубликован, но в рукописях Гаусса была обнаружена подробная схема строгого доказательства^[3].

Гаусс использовал введённые им числа также и в других своих трудах, например, по алгебраическим уравнениям^[34]. Идеи Гаусса были развиты в трудах Карла Густава Якоба Якоби и Фердинанда Готтхольда Эйзенштейна. В середине XIX века Эйзенштейн, Дирихле и Эрмит ввели и исследовали обобщённое понятие целого алгебраического числа.

Кольцо гауссовых целых чисел было одним из первых примеров алгебраической структуры с непривычными свойствами. Со временем было открыто большое количество структур такого типа, а в конце XIX века появилась абстрактная алгебра, изучающая алгебраические свойства отдельно от объектов-носителей этих свойств.

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — 416 с.
• Алфутова Н. Б, Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. — 3-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2009. — 336 с. — ISBN 978-5-94057-550-4.
• Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. — С. 695—754.
• Гауссово число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.
• Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. — М.: Наука, 1969. — 32 с. — (Популярные лекции по математике).
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. — М.: Наука, 1978. — Т. I.
• Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К. Алгебра и арифметика комплексных чисел. Пособие для учителей. — М.: Учпедгиз, 1939. — 187 с.
• Окунев Л. Я. Целые комплексные числа. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР, 1941. — 56 с.
• Сендеров В., Спивак А. Суммы квадратов и целые гауссовы числа // Квант. — 1999. — № 3. — С. 14—22.
• Hardy G. H., Wright E. M. An introduction to the theory of numbers (англ.). — 4th edition. — Oxford.: Oxford University Press, 1968. — 421 p.

• Complex Gaussian Integers for 'Gaussian Graphics' (англ.). Дата обращения: 11 сентября 2013. Архивировано из оригинала 14 июня 2006 года.
• Butler, Lee A. A classification of gaussian primes (англ.). Дата обращения: 16 января 2017.
• Conrad, Keith. The gaussian integers (англ.). Дата обращения: 11 сентября 2013.

Эта статья входит в число хороших статей русскоязычного раздела Википедии.