PROFILPELAJAR.COM

Задача Бернштейна — задача о графике функции, являющимся минимальной поверхностью. Названа в честь Сергея Натановича Бернштейна, решившего 2-мерный случай этой задачи в 1914 году.

Задача Бернштейна оказалась тесно связанной с вопросом существования негладких минимальных гиперповерхностей в соответственной размерности.

Формулировка

При каких $n$ график функции, определённой на всём $\mathbb {R} ^{n}$ , являющийся минимальной поверхностью в $\mathbb {R} ^{n+1}$ , обязан являться плоским?

Ответ: это верно при $n\leqslant 7$ и неверно при $n\geqslant 8$ . Соответствующий пример функции $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ можно найти среди функций вида

f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8})=F(u,v)

,

где

u={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}},\quad {\text{и}}\quad v={\sqrt {x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}}}.

Замечания

Задача Бернштейна оказалась напрямую связана с вопросом существования в $\mathbb {R} ^{n}$ неплоского конуса, минимизирующего площадь. Конкретным примером такой гиперповерхности является поверхность

\{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}

.

История

В 1914 году, Бернштейн доказал, что утверждение задачи верно при $n=2$ .^[1] (В той же статье была доказана теорема Бернштейна о седловом графике.)
В 1962 году Флеминг^[англ.] дал другое доказательство теоремы Бернштейна, выводя его из того, что не существует неплоских конусов, минимизирующих площадь, в $\mathbb {R} ^{3}$ .^[2]
В 1965 году де Джорджи показал, что если в $\mathbb {R} ^{n}$ нет минимизирующих площадь неплоских конусов, то для $n$ верен аналог теоремы Бернштейна. В частности, отсюда следовал случай $n=3$ .^[3]
В 1966 году Альмгрен доказал отсутствие минимизирующих площадь неплоских конусов в $\mathbb {R} ^{4}$ , и таким образом, обобщил теорему Бернштейна на $n=4$ .
В 1968 году Саймонс показал отсутствие минимизирующих площадь неплоских конусов в $\mathbb {R} ^{7}$ $\mathbb {R} ^{7}$ и, таким образом, обобщил теорему Бернштейна на $n\leqslant 7$ $n\leqslant 7$ .^[4]
- Он также привел примеры локально устойчивых конусов в $\mathbb {R} ^{8}$ , но не смог доказать, что они минимизируют площадь.
В 1969 году Бомбиери, де Джорджи и Джусти доказали, что конусы Саймонса в самом деле минимизирующие, и что в $\mathbb {R} ^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ при $n\geqslant 8$ $n\geqslant 8$ существуют графики, которые являются минимальными, но не плоскими.^[5]
- В сочетании с результатом Саймонса, это полностью решает задачу Бернштейна.

Примечания

↑ Bernstein, S.N. (1915-1917), "Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique", Comm. Soc. Math. Kharkov, 15: 38–45{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (формат даты) (ссылка) German translation in Bernstein, Serge (1927), "Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus", Mathematische Zeitschrift (нем.), 26, Springer Berlin / Heidelberg: 551–558, doi:10.1007/BF01475472, ISSN 0025-5874 Русский перевод в «Успехах математических наук», вып. VIII (1941), 75—81 и в С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений. Т. 3. (1960) с. 251—258.
↑ Fleming, Wendell H. (1962), "On the oriented Plateau problem", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II, 11: 69–90, doi:10.1007/BF02849427, ISSN 0009-725X, MR 0157263
↑ De Giorgi, Ennio (1965), "Una estensione del teorema di Bernstein", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 19: 79–85, MR 0178385, Архивировано 16 июня 2015, Дата обращения: 2 июня 2016 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 16 июня 2015 (справка) Источник (неопр.). Дата обращения: 2 июня 2016. Архивировано 16 июня 2015 года.
↑ Simons, James (1968), "Minimal varieties in riemannian manifolds", Annals of Mathematics. Second Series, 88: 62–105, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970556, MR 0233295
↑ Bombieri, Enrico; De Giorgi, Ennio; Giusti, E. (1969), "Minimal cones and the Bernstein problem", Inventiones Mathematicae, 7: 243–268, doi:10.1007/BF01404309, ISSN 0020-9910, MR 0250205