PROFILPELAJAR.COM

Теорема Бернштейна о седловом графике — классическая теорема о седловых поверхностях. Доказана Сергеем Натановичем Бернштейном.^[1]

Формулировка

Предположим график гладкой функции $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ является строго седловой поверхностью. Тогда функция $f$ неограничена; то есть не существует константы $C$ такой, что $f(x,y)\leq C$ для любой $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ .

Замечания

Утверждение теоремы неверно без предположения что поверхность является графиком. Пример полной седловой поверхности лежащей между двумя праллельными плоскостями можно найти среди поверхностей вращения.

Существуют также седловые графики лежащие в верхнем полупространстве $z>0$ ; таков например график $z=\exp(x-y^{2})$ .

Вариации и обобщения

Если график гладкой ограниченной функции является нестрого седловым, то график является линейчатой поверхностью с параллельными образующими.

Примечания

↑ Bernstein, S.N. (1915-1917), "Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique", Comm. Soc. Math. Kharkov, 15: 38–45{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (формат даты) (ссылка) German translation in Bernstein, Serge (1927), "Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus", Mathematische Zeitschrift (нем.), 26, Springer Berlin / Heidelberg: 551–558, doi:10.1007/BF01475472, ISSN 0025-5874 Русский перевод в «Успехах математических наук», вып. VIII (1941), 75—81 и в С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений. Т. 3. (1960) с. 251—258.