Задача Аполлония

Зада́ча Аполло́ния — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трёх данных окружностей.

Восемь различных решений задачи Аполлония

Задача решается с помощью применения двух операций: инверсии и перехода к концентрическим окружностям.

История

По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания» под псевдонимом Эпафай (Ἐπαφαί=Epaphaí. «Tangencies»), которая была потеряна, но была восстановлена в 1600 году Франсуа Виетом, «галльским Аполлонием», как его называли современники. Работа была упомянута Паппом Александрийским в IV веке.

В 1816 году Ж. Жергонн дал изящное решение задачи Аполлония.^{[источник не указан 769 дней]}

В современных системах компьютерной математики есть специальные операторы для решения этой задачи. В Maple это — оператор Apollonius из пакета geometry^[1].

Примечание

В своём сочинении «Касания» Аполлоний имел в виду три окружности касательной геометрии, то есть окружности с радиусом от 0 (точка) до бесконечности (прямая). Таким образом, для задачи Аполлония существует 10 глобальных случаев:

построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трёх точек.
Решение: Соединим эти точки. Проведём к получившимся отрезкам серединные перпендикуляры. Они пересекутся в одной точке. Эта точка — центр искомой окружности.
построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух точек (далее Α и Β) и прямой (далее а). Сначала проведём прямую ΑΒ.
Решение:
1. Если АВ не параллельна а, то найдём их пересечение С. Построим среднее геометрическое отрезков ΑС и ΒС. Отложим равные ему отрезки СΚ и CK' на прямой а. Окружности, описанные около ΔΑΒΚ и ΔΑΒΚ' — искомые.
2. Если ΑΒ||а, то проведём серединный перпендикуляр к отрезку ΑΒ и отметим точку Κ его пересечения с прямой a. Окружность, описанная около ΔΑΒΚ — искомая.
построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки и двух прямых.
Решение:
1. Если прямые не параллельны, то возьмём точку их пересечения. Назовём угол между этими прямыми α. Соединим точку пересечения прямых с заданной точкой Μ. Назовём получившийся отрезок а. Впишем в угол α произвольную окружность, которая пересечёт а, и отметим её центр Ο и точку пересечения с а (каждая даст своё решение) Α. Проведём прямую ΑΟ. Проведём параллельную ей прямую через Μ и биссектрису угла α. Их пересечение будет центром искомой окружности.
2. Если прямые параллельны, построим прямую ΑΒ (Α и Β — точки пересечения с заданными прямыми), перпендикулярную им. Проведём к отрезку ΑΒ серединный перпендикуляр b. Проведём окружность с центром в заданной точке и радиусом, равным половине ΑΒ. Её пересечение с b будет центром искомой окружности.
построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трёх прямых.
Решение:
1. Если среди них нет параллельных, то отметим точки их пересечения Α, Β и С. Окружность, вписанная в ΔΑΒС — искомая.
2. Если только 2 прямые параллельны, то единственная точка пересечения биссектрис углов, образованных параллельными прямыми и третьей прямой, будет центром искомой окружности.
3. Если все три прямые параллельны друг другу, то окружности не существует.
построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух точек (далее Α и Β) и окружности (далее ω).
1. Если А и В не лежат на ω, то проведём окружность Ω, содержащую точки А и В и имеющую с ω общие точки. Проведём радикальную ось Ω и ω и пересечём её с АВ. Проведём из точки пересечения касательную к ω и отметим точку касания Κ. Опишем окружность около ΔΑΒΚ. Она — искомая. Каждая касательная даст своё решение.
2. Если только А лежит на ω, то проведём касательную к ω в точке А и построим точку В', симметричную В относительно А. Далее проведём окружность через А, В и точку, симметричную В' относительно проведённой касательной. Она будет искомой. Если В лежит на касательной, то такой окружности не существует. Если ВА перпендикулярен касательной, то искомая окружность — окружность с диаметром АВ.
3. Если А и В лежат на ω, ω — искомая.
построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки и двух окружностей.
построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух прямых и окружности.
построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся прямой и двух окружностей.
построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки, прямой и окружности.
построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трёх окружностей.

О решениях

Наиболее известно решение основанное на применении инверсии.

Примечания

↑ Кирсанов М. Н., Кузнецова О. С. Алгебра и геометрия. Сборник задач и решений с применением системы Maple: учебное пособие. — М.: Инфра-М, 2016. — 272 с. — ISBN 978-5-16-012325-7.

Литература

Аргунов Б. И., Балк М. Б. . Геометрические построения на плоскости. — М.: Учпедгиз, 1957. — 268 с.
Pappus of Alexandria^[англ.]. Pappus d'Alexandrie: La collection mathématique (фр.). — Paris, 1933.
Simon, M. Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert (нем.). — Berlin: Teubner, 1906. — S. 97—105.
Camerer, J. G. Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos libros Graece nunc primum edita, e codicibus manuscriptis, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis observationibus, computationibus, ac problematis Apolloniani historia (лат.). — Gothae: Ettinger, 1795.

Ссылки

Boyd, DW^[англ.]. The osculatory packing of a three-dimensional sphere (англ.) // Canadian Journal of Mathematics^[англ.] : journal. — 1973. — Vol. 25. — P. 303—322. — doi:10.4153/CJM-1973-030-5.
Gisch D., Ribando J. M. Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections (англ.) // American Journal of Undergraduate Research : journal. — 2004. — Vol. 3. — P. 15—25.
Ask Dr. Math solution (неопр.). Mathforum. Дата обращения: 5 мая 2008.
Weisstein, Eric W. Apollonius' problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Austin, David. When kissing involves trigonometry (неопр.). Feature Column at the American Mathematical Society website (март 2006). Дата обращения: 5 мая 2008.