Динамическая система

Фазовая диаграмма странного аттрактора Лоренца — популярный пример нелинейной динамической системы. Изучением подобных систем занимается теория хаоса.

Динамическая система — множество элементов, для которого задана функциональная зависимость между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы.[источник не указан 2743 дня] Данная математическая абстракция позволяет изучать и описывать эволюцию систем во времени.

Состояние динамической системы в любой момент времени описывается множеством вещественных чисел (или векторов), соответствующим определённой точке в пространстве состояний. Эволюция динамической системы определяется детерминированной функцией, то есть через заданный интервал времени система примет конкретное состояние, зависящее от текущего.

Введение

Динамическая система представляет собой такую математическую модель некоего объекта, процесса или явления, в которой пренебрегают «флуктуациями и всеми другими статистическими явлениями».[1]

Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы — совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояния в другое.

Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.

В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике.

Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) часто описывается автономной системой дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям.

Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятия теории динамических систем — устойчивость состояний равновесия (то есть способность системы при малых изменениях начальных условий сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (то есть сохранение свойств при малых изменениях самой математической модели; «грубая система — это такая, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров»).[2][1]

Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой.

Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

Методы теории динамических систем востребованы в других разделах естествознания, таких как неравновесная термодинамика, теория динамического хаоса, синергетика.

Определение

Пусть  — произвольное гладкое многообразие.

Динамической системой, заданной на гладком многообразии , называется отображение , записываемое в параметрическом виде , где , которое является дифференцируемым отображением, причём  — тождественное отображение пространства . В случае стационарных обратимых систем однопараметрическое семейство образует группу преобразований топологического пространства , а значит, в частности, для любых выполняется тождество .

Из дифференцируемости отображения следует, что функция является дифференцируемой функцией времени, её график расположен в расширенном фазовом пространстве и называется интегральной траекторией (кривой) динамической системы. Его проекция на пространство , которое носит название фазового пространства, называется фазовой траекторией (кривой) динамической системы[источник не указан 228 дней].

Задание стационарной динамической системы эквивалентно разбиению фазового пространства на фазовые траектории. Задание динамической системы в общем случае эквивалентно разбиению расширенного фазового пространства на интегральные траектории[источник не указан 228 дней].

Замена координат представляет собой диффеоморфизм (если структура гладкая) или гомеоморфизм (с топологической точки зрения) фазовых пространств. Можно определить множество эквивалентности между динамическими системами, которые связаны с разными классами координат. Проблема структуры орбит в таком случае может пониматься как задача классификации динамических систем с точностью до отношений эквивалентности[источник не указан 228 дней].

Способы задания динамических систем

Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство , множество моментов времени и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.

Фазовые потоки

Пусть фазовое пространство представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости . Тогда траектория точки будет решением автономного дифференциального уравнения с начальным условием . Заданная таким образом динамическая система называется фазовым потоком для автономного дифференциального уравнения.

Каскады

Пусть  — произвольное множество, и  — некоторое отображение множества на себя. Рассмотрим итерации этого отображения, то есть результаты его многократного применения к точкам фазового пространства. Они задают динамическую систему с фазовым пространством и множеством моментов времени . Действительно, будем считать, что произвольная точка за время переходит в точку . Тогда за время эта точка перейдет в точку и т. д.

Если отображение обратимо, можно определить и обратные итерации: , и т. д. Тем самым получаем систему с множеством моментов времени .

Примеры

  • Система дифференциальных уравнений

задает динамическую систему с непрерывным временем, называемую «гармоническим осциллятором». Её фазовым пространством является плоскость , где  — скорость точки . Гармонический осциллятор моделирует разнообразные колебательные процессы — например, поведение груза на пружине. Его фазовыми кривыми являются эллипсы с центром в нуле.

  • Пусть  — угол, задающий положение точки на единичной окружности. Отображение удвоения , задаёт динамическую систему с дискретным временем, фазовым пространством которой является окружность.
  • Быстро-медленные системы описывают процессы, одновременно развивающиеся в нескольких масштабах времени.
  • Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранного лагранжиана, известны как «лагранжевы динамические системы».

Вопросы теории динамических систем

Имея какое-то задание динамической системы, далеко не всегда можно найти и описать её траектории в явном виде. Поэтому обычно рассматриваются более простые (но не менее содержательные) вопросы об общем поведении системы. Например:

  1. Есть ли у системы замкнутые фазовые кривые, то есть может ли она вернуться в начальное состояние в ходе эволюции?
  2. Как устроены инвариантные многообразия системы (частным случаем которых являются замкнутые траектории)?
  3. Как устроен аттрактор системы, то есть множество в фазовом пространстве, к которому стремится «большинство» траекторий?
  4. Как ведут себя траектории, выпущенные из близких точек — остаются ли они близкими или уходят со временем на значительное расстояние?
  5. Что можно сказать о поведении «типичной» динамической системы из некоторого класса?
  6. Что можно сказать о поведении динамических систем, «близких» к данной?

См. также

Примечания

  1. 1 2 Андронов, 1981, с. 18—19.
  2. Андронов, 1955, с. 3—19.

Литература

  • Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.
  • Памяти Александра Александровича Андронова. — М.: Изд-во Академии наук СССР, 1955.
  • Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. — М.: УРСС, 2006.
  • Гладкие динамические системы / ред. Д. В. Аносов. — М.: Мир, 1977. — 256 с.
  • Евланов Л. Г. Контроль динамических систем. — М.: Наука, 1972. — 423 с. — 4800 экз.
  • Биркгоф Дж. Динамические системы. — М.: ОГИЗ, 1999. — 480 с. — 3500 экз. — ISBN 5-7029-0356-0.
  • Гукенхеймер Дж., Холмс Ф.[англ.]. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. — 2002. — 560 с. — ISBN 5-93972-200-8.
  • Палис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем: Введение. — Мир, 1986. — 301 с.
  • Шесть лекций по теории нелинейных динамических систем / Н. В. Карлов, Н. А. Кириченко. МФТИ, [1998?]. — 178 с. : ил.; 30 см; ISBN 5-7417-0096-9

Ссылки

Read other articles:

Study of neurones This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article's lead section may be too short to adequately summarize the key points. Please consider expanding the lead to provide an accessible overview of all important aspects of the article. (December 2016) This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please...

 

 

SambalSambal terasi yang disajikan dengan bawang putih dan jeruk nipisNama lainSambêlTempat asalIndonesiaDaerahJawaSunting kotak info • L • BBantuan penggunaan templat ini  Media: Sambal Sambal adalah makanan penyedap ataupun kondimen khas Indonesia asal Pulau Jawa yang sudah dikonsumsi masyarakat Jawa Kuno sejak abad ke-10 Masehi. Sebelum cabai yang dikenal saat ini masuk ke Nusantara, nenek moyang orang Jawa menggunakan cabai jawa atau cabai puyang (piper retrofractu...

 

 

ПамятникПамятник Полковнику КелинуПамятник полковнику Келину и доблестным защитникам Полтавы 49°34′45″ с. ш. 34°33′40″ в. д.HGЯO Страна  Украина Полтава замыкает улицу Шевченко Архитектурный стиль Классицизм Автор проекта А.А. Бильдерлинг Строитель скульптор А...

I Cuntrera-Caruana è stata una Famiglia di Cosa Nostra che ha ottenuto una posizione chiave nel traffico di stupefacenti e nel riciclaggio di denaro sporco tra gli anni ottanta e novanta. La stampa italiana del periodo li ribattezzò come i Rothschild della Mafia o i banchieri di Cosa Nostra. Indice 1 Storia 2 Elementi di spicco 3 Note 4 Bibliografia Storia Nel secondo dopoguerra i Cuntrera e i Caruana svolgevano le occupazioni di campieri e gabellotti nelle tenute del barone Agnello nei pre...

 

 

Tapissier garnisseurUn tapissier en train de restaurer un fauteuil. Le rembourrage est du crin végétalPrésentationForme féminine Tapissière garnisseuseCodesROME (France) B1806modifier - modifier le code - modifier Wikidata Le tapissier garnisseur est l'artisan qui met en place la tapisserie d'ameublement, réalise des garnitures et des couvertures de sièges ou tout autre meuble recouvert de tissu ou de cuir. Histoire « La communauté des Marchands Tapissiers, très ancienne a Pari...

 

 

Rhode Island gubernatorial election 1857 Rhode Island gubernatorial election ← 1856 1 April 1857 1858 →   Nominee Elisha Dyer Americus V. Potter Party Republican Democratic Popular vote 9,591 5,323 Percentage 64.23% 35.65% Governor before election William W. Hoppin Republican Elected Governor Elisha Dyer Republican Elections in Rhode Island Federal government Presidential elections 1792 1796 1800 1804 1808 1812 1816 1820 1824 1828 1832 1836 1840 1844 1848 1852 ...

American lawyer (1851–1921) Charles Bonaparte46th United States Attorney GeneralIn officeDecember 17, 1906 – March 4, 1909PresidentTheodore RooseveltPreceded byWilliam MoodySucceeded byGeorge W. Wickersham37th United States Secretary of the NavyIn officeJuly 1, 1905 – December 16, 1906PresidentTheodore RooseveltPreceded byPaul MortonSucceeded byVictor H. Metcalf Personal detailsBornCharles Joseph Bonaparte(1851-06-09)June 9, 1851Baltimore, Maryland, U.S.DiedJune 28, 19...

 

 

Governor-General of India The Most HonourableThe Marquess of HastingsKG, PCPortrait by Martin Archer SheeGovernor-General of IndiaIn office4 October 1813 – 9 January 1823MonarchsGeorge III George IVPreceded byThe Lord MintoSucceeded byJohn AdamAs Acting Governor-GeneralGovernor of MaltaIn office22 March 1824 – 28 November 1826MonarchGeorge IVPreceded byHon. Thomas MaitlandSucceeded byAlexander George WoodfordAs Acting Governor Personal detailsBorn(1754-12-09)9 De...

 

 

German rail company VIAS redirects here. For Voluntary Industrial Aid for Spain, see Voluntary Industrial Aid for Spain. For other uses, see Vias (disambiguation). This article is about the German rail company. For the Canadian rail service provider, see Via Rail. Vias GmbHFounded2005Key peopleJochen Auler, Herbert Häner, Sebastian NießenServicesRail servicesNumber of employees210 (2016)Websitewww.vias-online.de The Vias GmbH (stylized VIAS) is a rail service company based in Frankfurt (Ger...

2019 EP by BaekhyunCity LightsEP by BaekhyunReleasedJuly 10, 2019 (2019-07-10)Recorded2019StudioSM Studios, Seoul, South KoreaGenreK-R&BR&BLength21:37LanguageKoreanLabelSMDreamusProducer Dress Cha Cha Malone The Stereotypes LDN Noise Darkchild Zayson Baekhyun chronology City Lights(2019) Delight(2020) Singles from City Lights UN VillageReleased: July 10, 2019 Professional ratingsReview scoresSourceRatingIZM[1]Rolling Stone India[2]SCMP[3]...

 

 

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (December 2021) (Learn how and when to remove this message) 1848-49 uprising in the Grand Duchy of Baden vteBattles during the Baden Revolution of 1848/49Hecker Uprising (13–27 April 1848): Scheideck Günterstal Freiburg Dossenbach Struve Putsch (21–25 September 1848): Staufen Baden Mutiny (9 May – 23 July ...

 

 

تينزن غياتسو الدالاي لاما الـ 14 معلومات شخصية اسم الولادة (بالتبتية: ལྷ་མོ་དོན་འགྲུབ།)‏  الميلاد 6 يوليو 1935 (العمر 88 سنة)التبت الإقامة قصر بوتالا (1940–17 مارس 1959)[1]  مواطنة التبت (1912–1951) الصين (1 أكتوبر 1949–) جمهورية الصين (6 يوليو 1935–)  مناصب دالاي لاما (14 ...

Economic sector in Wales Tourist memorabilia on sale in Llanfairpwllgwyngyll, AngleseyTourism in Wales makes up a significant portion of the Welsh economy and attracting millions of visitors each year. The tourism industry in Wales was worth around £5bn in 2017. The tourism industry also makes a significant contribution to the Welsh economy, supporting over 100,000 jobs and more than 8% of the Welsh workforce. Wales attracts visitors from overseas, particularly from the United States, Austra...

 

 

Death of Macedonian king Alexander the Great in 323 BC Dying Alexander, copy of a 2nd-century BC sculpture, National Art Museum of Azerbaijan. This article is part of a series aboutAlexander the Great Early life Education Personal relationships Early rule Consolidation of power Balkan campaign Pelium Thebes Conquest of the Persian Empire Asia Minor Granicus Halicarnassus Syria Issus Tyre Egypt Gaza Mesopotamia Gaugamela Persia Persian Gate Persepolis Bactria Cyropolis Sogdian Rock Expedition ...

 

 

Steve Austria Stephen Clement Austria[1] (lahir 12 Oktober 1958) adalah seorang politikus Amerika Serikat yang menjabat sebagai anggota DPR dari 2009 sampai 2013. Ia adalah anggota Partai Republik. Referensi ^ Ohio Filipino American running for US Congress | GMA News Online | The Go-To Site for Filipinos Everywhere Pranala luar Congressman Steve Austria official U.S. House website Steve Austria For U.S. Congress official campaign website Biografi di Biographical Directory of the Unite...

10th episode of the 8th season of The X-Files BadlaaThe X-Files episodeThe Indian beggar, the episode's main antagonist. The character was played by noted stuntman Deep Roy.Episode no.Season 8Episode 10Directed byTony WharmbyWritten byJohn ShibanProduction code8ABX12Original air dateJanuary 21, 2001 (2001-01-21)Running time44 minutesGuest appearances Tony Adelman as Trevor's Father Jane Daly as Mrs. Holt Ruth de Sosa as Quinton's Mother Bill Dow as Charles Burks Jacob Fra...

 

 

Questa voce o sezione sull'argomento edizioni di competizioni calcistiche non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Questa voce sull'argomento edizioni di competizioni calcistiche inglesi è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Second Division 1984-19...

 

 

U.S. political event held in Tammany Hall in New York City 1868 Democratic National Convention1868 presidential election NomineesSeymour and BlairConventionDate(s)July 4–9, 1868CityNew York, New YorkVenueTammany Hall headquarters buildingCandidatesPresidential nomineeHoratio Seymour of New YorkVice presidential nomineeFrancis P. Blair, Jr. of MissouriResults (president)Seymour (NY): 317 (100%)Results (vice president)Blair (MO): 317 (100%)Ballots22‹ 1864 · 1872 › The...

American twenty-dollar gold piece Liberty Head double eagle ($20)[1]United StatesValue20 United States dollarsMass33.431 gDiameter34.1 mm (1.342 in)EdgereededComposition90% gold, 10% copperGold.96750 troy ozYears of minting1849 (pattern only)1850–1907 (regular issues)Mint marksCC, D, O, S. Found immediately below the eagle on the reverse. Philadelphia Mint specimens lack mint mark.Obverse DesignHead of LibertyDesignerJames B. LongacreDesign date1849Design di...

 

 

Benyoucef Benkhedda Presidente del Gobierno Provisional de la República Argelina 9 de agosto de 1961-3 de julio de 1962Predecesor Ferhat AbbasSucesor Abderrahmane Farès Información personalNombre en árabe بن يوسف بن خدة Nacimiento 23 de febrero de 1920 Berrouaghia (Francia) Fallecimiento 4 de febrero de 2003 (82 años)Argel (Argelia) Sepultura Argel Nacionalidad ArgelinaReligión Musulmán SuníEducaciónEducado en Universidad de Argel Información profesionalOcupación Políti...