PROFILPELAJAR.COM

Граф циклов группы иллюстрирует различные циклы в группе и, в частности, используется для визуализации структуры малых конечных групп.

Цикл — это множество степеней элемента a группы, где aⁿ, n-ая степень элемента a, определяется как произведение a на себя n раз. Говорят, что элемент a генерирует цикл. В конечной группе некоторая ненулевая степень элемента a должна быть равна нейтральному (единичному) элементу e . Наименьшая такая степень называется порядком цикла и она равна числу различных элементов в цикле. В графе циклов цикл представляется многоугольником, в котором вершины отражают элементы группы, а соединяющие вершины рёбра указывают, что вершины многоугольника являются членами одного цикла.

Циклы

Циклы могут накладываться или не иметь общих элементов, кроме единичного. Граф циклов показывает каждый цикл в виде многоугольника.

Если a генерирует цикл порядка 6 (или, более коротко, имеет порядок 6), то a⁶ = e. В этом случае степени квадрата элемента a², {a², a⁴, e} образуют цикл, но в реальности этот факт не даёт никакой дополнительной информации. Аналогично, a⁵ генерирует тот же самый цикл, что и сам a.

Таким образом, нужно рассматривать только простые циклы, а именно те, которые не являются подмножествами других циклов. Каждый из этих циклов генерируется некоторым простым элементом a. Возьмём одну вершину для каждого элемента исходной группы. Для каждого простого элемента соединим ребром e с a, a с a², ..., aⁿ⁻¹ с aⁿ, и т.д., пока не получим опять e. Результатом будет граф циклов.

Если a² = e, a имеет порядок 2 (является инволюцией) и соединено с единичным элементом e двумя рёбрами. Кроме случаев, когда хотят подчеркнуть два ребра цикла, обычно рисуется^[1] только одно ребро.

Свойства

Dih₄ калейдоскоп с красным зеркалом и 4-кратными генераторами вращения	Граф циклов диэдральной группы Dih₄.

В качестве примера графа циклов группы рассмотрим диэдральную группу Dih₄. Таблица умножения этой группы показана ниже, а граф циклов показан на рисунке справа (e показывает единичный элемент).

^o	e	b	a	a²	a³	ab	a²b	a³b
e	e	b	a	a²	a³	ab	a²b	a³b
b	b	e	a³b	a²b	ab	a³	a²	a
a	a	ab	a²	a³	e	a²b	a³b	b
a²	a²	a²b	a³	e	a	a³b	b	ab
a³	a³	a³b	e	a	a²	b	ab	a²b
ab	ab	a	b	a³b	a²b	e	a³	a²
a²b	a²b	a²	ab	b	a³b	a	e	a³
a³b	a³b	a³	a²b	ab	b	a²	a	e

Обратим внимание на цикл e, a, a², a³. Его можно видеть в таблице как последовательные степени a. Обратный проход тоже подходит. Другими словами, (a³)² = a², (a³)³ = a и (a³)⁴ = e. Это поведение остаётся верным в любом цикле любой группы — цикл можно проходить в любом направлении.

Циклы, содержащие непростые значения элементов, неявно содержат циклы, не показанные в графе. Для группы Dih₄ выше мы можем нарисовать ребро между a² и e, поскольку (a²)² = e, но a² является частью большего цикла, так что ребро не проведено.

Может существовать неопределённость, если два цикла содержат элемент, не являющийся единичным элементом. Рассмотрим, например, группу кватернионов, граф циклов которой показан справа. Каждый элемент в среднем ряду, умноженный на себя, даёт −1. В этом случае мы можем использовать различные цвета для отражения циклов, хотя просто соглашение о симметрии будет работать так же хорошо.

Как упоминалось ранее, два ребра цикла из двух элементов обычно изображаются единственным ребром.

Обратный элемент можно найти в графе циклов следующим образом: это элемент, находящийся на том же расстоянии от единицы, но в обратном направлении.

История

Графы циклов рассматривал специалист по теории чисел Дэниел Шенкс в начале 1950-х как средство изучения мультипликативных групп колец вычетов^[2]. Шенкс первым опубликовал идею в первом издании (1962) его книги «Solved and Unsolved Problems in Number Theory» («Решённые и нерешённые проблемы теории чисел»)^[3]. В книге Шенкс исследует, какие группы имеют изоморфные графы циклов и когда граф циклов планарен^[4]. Во втором издании (1978) Шенкс рассуждает о своих исследованиях групп классов идеалов и разработке алгоритма больших и малых шагов^[5]:

Графы циклов оказались полезными при работе с абелевыми группами и я использовал их часто для понимания их сложной структуры [77, стр. 852], для получения множественных связей [78, стр. 426] или выделения некоторых подгрупп [79].

Графы циклов используются в качестве учебного средства во вводном учебнике Натана Картера (Nathan Carter, 2009) «Visual Group Theory» («Наглядная теория групп»)^[6].

Графы циклов некоторых семейств групп

Некоторые виды групп имеют типичные графы:

Циклические группы Z_n порядка n имеют единственный цикл, который можно нарисовать как многоугольник с n сторонами:

Z₁	Z₂ = Dih₁	Z₃	Z₄	Z₅	Z₆=Z₃×Z₂	Z₇	Z₈


Z₉	Z₁₀=Z₅×Z₂	Z₁₁	Z₁₂=Z₄×Z₃	Z₁₃	Z₁₄=Z₇×Z₂	Z₁₅=Z₅×Z₃	Z₁₆

Z₁₇	Z₁₈=Z₉×Z₂	Z₁₉	Z₂₀=Z₅×Z₄	Z₂₁=Z₇×Z₃	Z₂₂=Z₁₁×Z₂	Z₂₃	Z₂₄=Z₈×Z₃

Z₂	Z₂² = Dih₂	Z₂³ = Dih₂×Dih₁	Z₂⁴ = Dih₂²

Если n является простым числом, группы вида (Z_n)^m имеют (n^m − 1)/(n − 1) циклов длины n с общим единичным элементом:

Z₂² = Dih₂	Z₂³ = Dih₂×Dih₁	Z₂⁴ = Dih₂²	Z₃²

Диэдральные группы Dih_n имеют порядок 2n и состоят из цикла длины n и n 2-элементных циклов:

Dih₁ = Z₂	Dih₂ = Z₂²	Dih₃	Dih₄	Dih₅	Dih₆=Dih₃×Z₂	Dih₇	Dih₈	Dih₉	Dih₁₀=Dih₅×Z₂

Дициклические группы, Dic_n = Q_4n имеют порядок 4n:

Dic₂ = Q₈	Dic₃ = Q₁₂	Dic₄ = Q₁₆	Dic₅ = Q₂₀	Dic₆ = Q₂₄

Другие прямые произведения:

Z₄×Z₂	Z₄×Z₂²	Z₆×Z₂	Z₈×Z₂	Z₄²

Симметрическая группа S_n для любой группы порядка n содержит подгруппу, изоморфную этой группе, так что граф циклов любой группы порядка n можно найти в качестве подграфа графа циклов S_n.
Смотрите пример: Подгруппы группы S₄.

Пример: Подгруппы полной октаэдральной группы


S₄ × Z₂	A₄ × Z₂	Dih₄ × Z₂	S₃ × Z₂

Полная октаэдральная группа^[англ.] является прямым произведением симметрической группы S₄ и циклической группы Z₂.
Группа имеет порядок 48 и содержит подгруппы любого порядка, делящего 48.

В примерах ниже вершины, связанные друг с другом, расположены рядом,
Так что представленные графы циклов не являются наиболее простыми графами этих групп (сравните с графами циклов тех же групп в начале раздела).

S₄ × Z₂ (order 48)	A₄ × Z₂ (order 24)	Dih₄ × Z₂ (order 16)	S₃ × Z₂ = Dih₆ (order 12)


S₄ (order 24)	A₄ (order 12)	Dih₄ (order 8)	S₃ =Dih₃ (order 6)

Подобно всем другим графам графы циклов можно представить различными способами, чтобы подчеркнуть различные свойства. Два представления графа циклов группы S₄ являются примером этого.


Граф циклов группы S₄, приведённый выше, подчёркивает наличие трёх Dih₄ подгрупп.


Эти два представления подчёркивают симметрию, которую можно видеть в перевёртывании множеств справа.

См. также

Примечания

↑ Sarah Perkins. Commuting Involution Graphs for A˜n, Section 2.2, p.3, first figure (неопр.). Birkbeck College, Malet Street, London, WC1E 7HX: School of Economics, Mathematics and Statistics (2000). Дата обращения: 31 января 2016. Архивировано 31 января 2016 года.
↑ Shanks, 1978, p. 246.
↑ Shanks, 1978, с. xii.
↑ Shanks, 1978, с. 83–98, 206–208.
↑ Shanks, 1978, p. 225.
↑ Carter, 2009.

Литература

Steven Skiena. §4.2.3 Cycles, Stars, and Wheels // Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. — Addison-Wesley, 1990. — С. 144-147. — ISBN 0201509431.
Daniel Shanks. Solved and Unsolved Problems in Number Theory. — 2nd. — New York: Chelsea Publishing Company, 1978. — ISBN 0-8284-0297-3.
Sriram Pemmaraju, Steven S. Skiena. §6.2.4 Cycles, Stars, and Wheels // Computational Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory in Mathematics. — Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003. — С. pp. 248-249. — ISBN 0-521-80686-0.
Nathan Carter. Visual Group Theory. — Mathematical Association of America, 2009. — (Classroom Resource Materials). — ISBN 978-0-88385-757-1.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Cycle Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[1] Sarah Perkins. Commuting Involution Graphs for A˜n, Section 2.2, p.3, first figure (неопр.). Birkbeck College, Malet Street, London, WC1E 7HX: School of Economics, Mathematics and Statistics (2000). Дата обращения: 31 января 2016. Архивировано 31 января 2016 года.

[_302eb61d19cf9ca4-2] Shanks, 1978, p. 246.

[_311cef1d1a9a4a5e-3] Shanks, 1978, с. xii.

[_5ba3a2fcd9eca058-4] Shanks, 1978, с. 83–98, 206–208.

[_302eb01d19cf9255-5] Shanks, 1978, p. 225.

[_8bc0c68447ce20eb-6] Carter, 2009.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

PROFILPELAJAR.COM

Граф циклов (алгебра)

Содержание

Циклы

Свойства

История

Графы циклов некоторых семейств групп

Пример: Подгруппы полной октаэдральной группы

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Read other articles:

Finlandia Murmansk

Galia

Pedro Sousa

Heru Tjahjono

USS Balduck

Моторная лодка

شليكث

Osamu Hayaishi

Втрати силових структур внаслідок російського вторгнення в Україну (травень 2023)

中华人民共和国国家元首列表

Georges Vésier

Swissair Penerbangan 111

Sainte-Mère-Église

Axiology

Template talk:Sodium compounds

JMicron

Contea di Dubois

Adelbert Ames

Apostolic Fathers

Iván Anderson