В математике, если заданы две группы (G, ∗) и (H, •), гомоморфизм групп из (G, ∗) в (H, •) — это функция h : G → H, такая, что для всех u и v из G выполняется

${\displaystyle h(u*v)=h(u)\cdot h(v),}$

где групповая операция слева от знака «=» относится к группе G, а операция справа относится к группе H.

Отсюда можно вывести, что h отображает нейтральный элемент e_G группы G в нейтральный элемент e_H группы H, а также отображает обратные элементы в обратные в том смысле, что

${\displaystyle h(u^{-1})=h(u)^{-1}.}$

Таким образом, можно сказать, что h «сохраняет групповую структуру».

В более ранних работах h(x) могло обозначаться как x_h, хотя это может привести к путанице с индексами. В последнее время наметилась тенденция опускать скобки при записи гомоморфизма, так что h(x) превращается просто в x h. Эта тенденция особенно заметна в областях теории групп, где применяется автоматизация, поскольку это лучше согласуется с принятым в автоматах чтении слов слева направо.

В областях математики, где группы снабжаются дополнительными структурами, гомоморфизм иногда понимается как отображение, сохраняющее не только структуру группы (как выше), но и дополнительную структуру. Например, гомоморфизм топологических групп часто предполагается непрерывным.

Цель определения гомоморфизма группы — создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма группы: Функция h : G → H является гомоморфизмом группы, если из a ∗ b = c следует h(a) ⋅ h(b) = h(c). Другими словами, группа H в некотором смысле подобна алгебраической структуре G и гомоморфизм h сохраняет её.

Определим ядро h как множество элементов из G, которые отображаются в нейтральный элемент в H

${\displaystyle \ker(h):=\{u\in G:h(u)=e_{H}\}{\mbox{.}}}$

и образ h как

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Im} } (h):=h(G):=\left\{h(u)\colon u\in G\right\}{\mbox{.}}}$

Ядро h является нормальной подгруппой G, а образ h является подгруппой H:

${\displaystyle h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H}.}$

Гомоморфизм h является инъективным (и называется мономорфизмом группы) в том и только в том случае, когда ker(h) = {e_G}.

Ядро и образ гомоморфизма можно понимать как измерение, насколько гомоморфизм близок к изоморфизму. Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ гомоморфизма группы h(G) изоморфен факторгруппе G/ker h.

• Возьмём циклическую группу ${\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ={0,1,2}}$ и группу целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ по сложению. Отображение ${\displaystyle h:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$ с ${\displaystyle h(u)=u{\bmod {3}}}$ является гомоморфизмом. Оно сюръективно, и его ядро состоит из целых чисел, делящихся на 3.

• Возьмём группу

${\displaystyle G:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}{\bigg |}\exists a>0,b\in \mathbb {R} \right\}}$

Для любого комплексного числа ${\displaystyle u}$ функция ${\displaystyle f^{u}:G\to \mathbb {C} }$, определённая как:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}}$

является гомоморфизмом.

• Возьмём группу положительных вещественных чисел с операцией умножения ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\cdot )}$. Для любого комплексного числа ${\displaystyle u}$ функция ${\displaystyle f^{u}:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {C} }$, определённая как

${\displaystyle f_{u}(a)=a^{u}}$

является гомоморфизмом.

• Экспоненциальное отображение является гомоморфизмом из группы вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ по сложению в группу ненулевых вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ по умножению. Ядром является множество ${\displaystyle \{0\}}$, а образ состоит из вещественных положительных чисел.

• Экспоненциальное отображение также образует гомоморфизм из группы комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ по сложению в группу ненулевых комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ по умножению. Это отображение сюръективно, его ядром является множество ${\displaystyle \{2\pi ki\in \mathbb {C} \mid \exists k\in \mathbb {Z} \}}$, как можно видеть из формулы Эйлера. Поля, подобные ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \mathbb {C} }$, имеющие гомоморфизм из группы по сложению в группу по умножению, называют экспоненциальными полями^[англ.].

Если h : G → H и k : H → K являются гомоморфизмами групп, то и k o h : G → K тоже гомоморфизм. Это показывает, что класс всех групп, вместе с гомоморфизмами групп в качестве морфизмов, образуют категорию.

Если гомоморфизм h является биекцией, то можно показать, что обратное отображение тоже является гомоморфизмом групп, и тогда h называется изоморфизмом. В этом случае группы G и H называются изоморфными — они различаются только обозначением элементов и операции и идентичны для практического применения.

Если h: G → G является гомоморфизмом групп, мы называем его эндоморфизмом G. Если же оно и биективно, а следовательно, является изоморфизмом, оно называется автоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G с композицией функций в качестве операции само образует группу, группу автоморфизмов G. Эта группа обозначается как Aut(G). Как пример, автоморфизм группы (Z, +) содержит только два элемента (тождественное преобразование и умножение на −1), и он изоморфен Z/2Z.

Эпиморфизм — это сюръективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм на. Мономорфизм — это инъективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм один-к-одному.

Если группа ${\displaystyle (H,\cdot )}$ — абелева, то множество ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,H)}$ всех гомоморфизмов из группы ${\displaystyle G}$ в группу ${\displaystyle H}$ само является абелевой группой относительно следующей бинарной операции поэлементного сложения, обозначаемой символом ${\displaystyle +}$: для двух гомоморфизмов ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ гомоморфизм ${\displaystyle f+g}$ определяется формулой

${\displaystyle (f+g)(x):=f(x)\cdot g(x),}$

где ${\displaystyle x\in G}$.

Относительно указанной выше операции операция композиции является дистрибутивной. А именно, для любых гомоморфизмов ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (K,G)}$, ${\displaystyle h,k\in \mathrm {Hom} (G,H)}$ и ${\displaystyle g\in \mathrm {Hom} (H,L)}$ выполняются следующие равенства:

${\displaystyle {\begin{aligned}(h+k)\circ f&=(h\circ f)+(k\circ f)\\g\circ (h+k)&=(g\circ h)+(g\circ k).\end{aligned}}}$

В частности, множество ${\displaystyle \mathrm {End} (H):=\mathrm {Hom} (H,H)}$ всех эндоморфизмов абелевой группы ${\displaystyle H}$ образует кольцо, в котором аналогом сложения является вышеописанная операция, а умножения — композиция. Оно называется кольцом эндоморфизмов группы ${\displaystyle H}$.

Например, ${\displaystyle \mathrm {End} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle \mathrm {End} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$. Кроме того, для любой абелевой группы ${\displaystyle A}$ кольцо эндоморфизмов прямого произведения ${\displaystyle A^{m}}$ изоморфно кольцу матриц ${\displaystyle m\times m}$ с элементами из группы ${\displaystyle \mathrm {End} (A)}$:

${\displaystyle \mathrm {End} (A^{m})=M_{m}(\mathrm {End} (A)).}$

Упомянутая выше дистрибутивность также показывает, что категория всех абелевых групп и их гомоморфизмов образует предаддитивную категорию. Существование прямых сумм и ядер с хорошо обусловленным поведением делает эту категорию примером абелевой категории.

• Фундаментальная теорема о гомоморфизмах^[англ.]
• Псевдохарактер

• D. S. Dummit, R. Foote. Abstract Algebra. — 3. — Wiley, 2004. — С. 71-72. — ISBN 9780471433347.
• Ленг С. Алгебра. — Москва: Мир, 1968.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.