Армстронг родился в городе Крайстчерч, заниматься картингом начал в 2010 году и выиграл несколько титулов начиная с 2011 года. Ещё в то время, когда Маркус был картингистом, он начал выступать на формульных болидах, приняв участие в сезоне 2014-15 новозеландской Формулы-Форд.
В 2016 году Армстронг вновь разнообразил свои выступления в картинге участием в некоторых этапах британской Формулы-3, а также двух сериях Формулы-Рено 2.0.
В ноябре 2016 года Маркус был среди пяти пилотов, которым было предложено вступить в гоночную академию Феррари, месяц спустя он стал её членом[2][3]. В том же месяце было подтверждено его участие в Toyota Racing Series с командой M2 Competition, Армстронг хорошо выступил, одержав 3 победы, и заняв итоговое четвёртое место[4].
В феврале 2017 было объявлено, что Армстронг выступит в чемпионатах ADAC Формулы-4 и итальянской Формулы-4 в составе команды Prema Powerteam[5]. Завоевав семь побед в обеих сериях, Маркус стал вице-чемпионом в ADAC Ф4 и чемпионом в итальянской Ф4[6].
На следующий год Армстронг вновь продолжил сотрудничество с M2 Competition и Prema[11][12]. Сначала Маркус вновь вернулся в Toyota Racing Series, а потом принял участие в дебютном сезоне новой ФИА Формулы-3. Он был близок к тому, чтобы стать чемпионом TRS, одержал пять побед, однако в концовке уступил несколько очков своему соотечественнику Лиаму Лоусону[13]. В апреле того же года Николя Тодт, знаменитый автоспортивный менеджер, стал управлять карьерой Армстронга[14]. В чемпионате Формулы-3 Маркус выиграл два спринта на Хунгароринге и Спа, а также основную гонку в Сочи, и заняв второе место во второй сочинской гонке, которая также была последней в сезоне, он смог стать вице-чемпионом Формулы-3, опередив Джехана Дарувалу всего на одно очко, однако отстав от Шварцмана, выигравшего чемпионат, на пятьдесят четыре[15][16][17][18]. В ноябре 2019 года Армстронг вновь участвовал в Гран-при Макао, он финишировал восьмым после старта с семнадцатой позиции[19].
28 ноября 2019 года стало известно, что Армстронг перейдёт в Формулу-2, где будет выступать за команду ART Grand Prix[20]. В первой же гонке сезона на Ред Булл Ринге занял второе место[21]. Однако этот результат стал лучшим для Маркуса в сезоне, за сезон он лишь ещё раз поднялся на подиум — третье место в спринтерской гонке на втором этапе на Ред Булл Ринге[22]. По итогам сезона Маркус занял 13-е место.
В январе 2021 года было объявлено, что Армстронг в сезоне 2021 года перейдёт в команду DAMS, став партнёром Роя Ниссани[23]. На этапе в Джидде выиграл первый спринт, одержав первую победу в карьере в Формуле-2[24]. По итогам сезона заработал ещё один подиум и занял 13-е место.
В начале 2022 года стало известно, что Армстронг покинул академию Феррари[25].
В январе 2022 года перешёл в команду Hitech Grand Prix[26]. В течение сезона одержал победы на трёх спринтах на этапах в Имоле, Ред Булл Ринге и Зандворте. Сезон закончил с четырьмя подиумами на 13-м месте в личном зачёте.