Хаугер родился в Осло, вырос в городе Эурског[англ.]. С детства связан с автоспортом, так как его отец занимался раллийным гонками. В возрасте двух лет родители Денниса подарили ему квадроцикл, в четыре года — кроссовый мотоцикл, а в пять лет — карт[2].
Картинг
Хаугер занимался картингом с пяти лет. До 2014 года соревновался в норвежских картинговых турнирах. Затем участвовал в европейских и международных чемпионатах. В 2015 году выиграл итальянский чемпионат по картингу, в 2016 и в 2017 годах выиграл немецкий чемпионат в классах Junior и Senior соответственно[2].
В январе 2020 года команда ФИА Формулы-3Hitech Grand Prix объявила, что Хаугер будет выступать в её составе в сезоне 2020 года[5]. На этапе в Венгрии финишировал в очках — в первой гонке стал восьмым, во второй стартовал с реверсивного поула и финишировал третьим[6]. В остальных гонках финишировал вне очков и по итогам сезона занял 17-е место с 14 очками.
В 2021 году Хаугер продолжил выступать в ФИА Формуле-3, перейдя в команду Prema Racing[7]. На первом этапе сезона в Барселоне заработал поул-позицию, одержал первую победу в карьере в Формуле-3 и после окончания этапа вышел в лидеры чемпионата[8]. На этапе на Ред Булл Ринге вновь заработал поул-позицию, и во всех трёх гонках финишировал на подиуме — одержал победу в первой, после старта с 12-го места, во второй финишировал на третьем месте и третью закончил на втором месте[9][10]. Третью победу в сезоне Хаугер одержал в третьей гонке на Хунгароринге, которая проходила на влажной трассе, где он смог опередить своего напарника по команде Артура Леклера в сражении за победу[11]. На этапе в Зандворте завоевал третью поул-позицию, а затем выиграл третью гонку[12]. В Сочи финишировал вторым в первой гонке и досрочно стал чемпионом за две гонки до конца сезона[13].
Формула-2
В 2022 году Хаугер перешёл в Формулу-2, где продолжил выступать за Prema Racing[14]. По ходу сезона одержал две победы - в спринте в Монако и в основной гонке в Баку, где одержал победу после того, как лидер гонки Юри Випс попал в аварию на последних кругах. По итогам сезона занял десятое место. Сходил пять раз по ходу сезона: из-за плохо прикрученного колеса в длинной гонке в Бахрейне, затем опять в воскресенье на трассе в Имоле из-за контакта с Джеком Дуэном на первом круге, а перед победой в Баку в длинной гонке, разбил машину в спринте: он пытался обогнать Тео Пуршера. На трассе в ВеликобританииРой Ниссани столкнулся с Деннисом на первом круге, и вынес норвежца из гонки. А последняя неудача для него пришлась на спринт, на этот раз на трассе в Венгрии, после контакта с Логаном Сарджентом на старте. В 2023 году продолжит выступать в Формуле-2 и перейдёт в команду MP Motorsport[15].
