Сведения о жизни Аполлония практически отсутствуют. Родился он в эллинизированном малоазиатском городе Перге в Памфилии, ещё в ранней молодости присоединился к Александрийской математической школе Евклида и со временем преподавал там как признанный авторитет в геометрии и астрономии. В конце жизни на некоторое время вернулся на родину[1], где были открыты учебный центр и библиотека, аналогичные Александрийскому Мусейону. В тексте трудов Аполлония обнаружено упоминание о его сыне, которого также звали Аполлоний. Умер учёный, по-видимому, в Александрии.
Аполлоний прославился в первую очередь монографией «Конические сечения» (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто «сечениями конуса». Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата.
Из других заслуг Аполлония перед наукой отметим, что он переработал астрономическую модель Евдокса, введя эпициклы и эксцентрики для объяснения неравномерности движения планет. Эту теорию позднее развили Гиппарх и Птолемей. Он также дал решение задачи о построении окружности, касающейся трёх заданных окружностей («задача Аполлония»), изучал спиральные линии, занимался геометрической оптикой.
Четыре книги главного сочинения Аполлония о конических сечениях дошли до нас в греческом оригинале, три — в арабском переводе Сабита ибн Курры, а восьмая потеряна. Папп Александрийский в «Математическом собрании» сообщает некоторые сведения о содержании VIII книги[2]. Эдмонд Галлей подготовил образцовое издание данного труда (Оксфорд, 1710), куда включил свою попытку реконструкции VIII книги (на основании предисловия к VII книге). До Галлея аналогичную попытку предпринял Ибн ал-Хайсам.
Предшественниками Аполлония были Менехм, Конон Самосский, а также Евклид, чьё сочинение «Начала конических сечений» до нас не дошло. Евклид не включил теорию конических сечений в свои «Начала», вероятно, по той причине, что античные математики считали «совершенными линиями» только прямые и окружности.
В книге I приводятся определения и уравнения («симптомы») конических сечений — впрочем, известные и до Аполлония. Новым явилось то, что классификация кривых, как и в современных учебниках, проводится алгебраически — по виду уравнения, а не из геометрических соображений. Более того, Аполлоний строго доказывает, что вид уравнения не зависит от выбора опорной системы координат; в качестве таковой выступают, как правило, произвольный диаметр кривой и касательная в одном из концов диаметра, но Аполлоний рассматривает и другие косоугольные системы координат (например, для гиперболы — пара асимптот).
В последующем изложении (книги II—IV) выясняются свойства особых точек и линий, связанных с исследуемой кривой: фокусов, асимптот, полюсов и поляр, перечисляются их свойства, доказывается, что конические сечения могут пересекаться не более чем в 4 точках, поясняется, как строить касательные к этим кривым, определяются площади сегментов. Всего в труде 387 теорем.
В предисловии Аполлоний сообщает, что, начиная с III книги, бо́льшая часть теорем являются новыми.
В VII-й (и, видимо, в VIII-й) книге приводятся знаменитые теоремы Аполлония о сопряжённых диаметрах и разнообразные приложения теории к геометрическим задачам.
Большой интерес представляют не только результаты Аполлония, но и методы, которыми он пользуется. В них можно найти многочисленные мотивы более поздних достижений математики — алгебры, аналитической, проективной геометрии и местами даже дифференциальной геометрии.
Историческое влияние
Книга оказала огромное влияние на творчество последующих математиков, включая Ферма, Декарта, Ньютона, Лагранжа и многих других. Многие теоремы Аполлония, особенно о максимумах, эволютах, нормалях и т. п. вошли в современные учебники по дифференциальной геометрии конических сечений.
Каким образом Аполлоний, не владея математическим анализом, сумел сделать свои открытия, неясно. Возможно, у него, как у Архимеда, был некий метод бесконечно малых, который он использовал в эвристических целях, чтобы затем передоказать результат каноническими средствами античной геометрии. Ван дер Варден пишет[3]:
Аполлоний виртуозно владеет геометрической алгеброй, но не менее виртуозно умеет скрывать свой первоначальный ход мыслей. Из-за этого-то его книгу и трудно понимать; рассуждения его элегантны и кристально ясны, но что его привело именно к таким рассуждениям, а не к иным каким-нибудь,— об этом можно лишь догадываться.
До открытий Кеплера и Ньютона теория Аполлония практически применялась в основном для решения кубических уравнений, а также в оптике зеркал. Когда обнаружилось, что орбита материальной частицы в задаче двух тел есть одно из конических сечений, интерес к данным кривым резко возрос, и труды Аполлония были продолжены на новом математическом уровне[2].
Другие труды Аполлония
В VII книге Математического собранияПаппа дается краткое описание шести математических трактатов Аполлония:
Отсечение отношения (др.-греч.Λόγου ἀποτομή) в двух книгах, содержащих 180 теорем. Рассматривается задача: даны две прямые и на каждой отмечено по точке; дана также третья точка, не совпадающая с первыми двумя, и требуется провести через неё прямую так, чтобы она отсекала на заданных прямых отрезки (считая от отмеченных точек), находящиеся в заданном отношении.
Отсечение площади (др.-греч.Χωρίου ἀποτομή) в двух книгах, содержащих 124 теоремы.
Определенное сечение (др.-греч.Διωρισμένη τομή) в двух книгах, содержащих 83 теоремы.
Вставки (др.-греч.Νεύσεις) в двух книгах, содержащих 125 теорем.
Касания (др.-греч.Ἐπαφαί) в двух книгах, содержащих 60 теорем. В книге решается знаменитая проблема касания Аполлония: заданы три объекта, каждый из которых может быть точкой, прямой или окружностью. Требуется построить окружность, которая касается всех заданных объектов (для точки вместо касания требуется прохождение через неё).
Плоские места (др.-греч.Τόποι ἐπίπεδοι) в двух книгах, содержащих 147 теорем.
Из этих сочинений Аполлония сохранилось только первое — в средневековом арабском переводе. Папп написал также (частично дошедшие до нас) комментарии к этим трактатам.
В других трудах Папп упоминает ещё несколько сочинений Аполлония:
О неупорядоченных иррациональностях. Комментарии Паппа к этому труду сохранились только в арабском переводе. Судя по ним, Аполлоний исследует классы иррациональных чисел, не рассмотренные в X книге Начал Евклида[4].
Прокл Диадох в Комментарии к I книге Начал Евклида упоминает трактат Аполлония
О Винтовых линиях (др.-греч.Περὶ τοῦ κοχλίου). Предположительно здесь рассматривались спирали на поверхности цилиндра[4].
Так называемая XIV книга Начал Евклида, написанная Гипсиклом, представляет собой комментарий к сочинению Аполлония:
Сравнение додекаэдра с икосаэдром. Аполлоний доказывает, что поверхности додекаэдра и икосаэдра, вписанных в одну и ту же сферу, относятся так же, как их объёмы[4].
Наконец, Евтокий в комментариях к Измерению кругаАрхимеда упоминает сочинение Аполлония
Быстрое получение результатов (др.-греч.Ὠκυτόκιον). Здесь Аполлоний соревнуется с Архимедом. Он описывает более удобную, чем у Архимеда, систему именования очень больших чисел, а также более быстрый, чем предложенный Архимедом, алгоритм вычисления отношения длины окружности к её диаметру.
Попытки восстановить утерянные сочинения Аполлония по сохранившимся греческим и арабским упоминаниям предпринимали, кроме Галлея, также Виет (Касания[5]), Ферма (Плоские места) и другие.
Древнегреческие авторы (например, Клавдий Птолемей в XII книге Альмагеста) упоминали открытия Аполлония в астрономии, однако ни одно его астрономическое сочинение не сохранилось.
1710: Латинский перевод I—VII книг с греческого и арабского издал Эдмунд Галлей: Apollonii Pergaei Conicorum libri octo et Sereni Antissensis de Sectione Cylindri & Coni libri duo / Edidit Edmundus Halley. — Oxoniae: e Theatro Sheldoniano, 1710.
1891: I—IV книги на греческом, с латинским переводом, издал Иоганн Людвиг Гейберг: Apollonii Pergaei quae graece extant cum commentariis antiquiis / Ed. J. L. Heiberg.—Vol. 1—2.— Lipsiae: Teubner, 1891.
1990: V—VII книги на арабском, с английским переводом и комментариями издал Джералд Джеймс Тумер: Apollonius Conics Books V—VII. The Arabic translation of the lost Greek original / Edited with translation and commentary by G. J. Toomer.— Vol. 1-2. — NY a.o.: Springer, 1990.
Русский перевод:
Аполлоний Пергский. Конические сечения, с комментариями Эвтокия / Пер. И.Ягодинского. Известия Северо-Кавказского гос. университета, 3(15), 1928, с. 130—152.
Аполлоний Пергский. Конические сечения. Книги 1-4 / Под редакцией А. А. Панфёрова и С. В. Кирбятьева. М.: Юстицинформ, 2019. ISBN 978-5-7205-1459-4. 448 с.
Исследования
Барабанов О. О., Барабанова Л. П. Алгоритмы решения навигационной разностно-дальномерной задачи — от Аполлония до Коши // История науки и техники. — М., 2008. — № 11. — С. 2—21.
Лютер И. О. К истории задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трёх данных окружностей. Историко-математические исследования, 1(36), № 2, 1996, с. 82-94.
Coolidge J.L. A history of the conic sections and quadric surfaces. Clarendon Press, Oxford, 1945. (Repr.: Dover, NY, 1968)
Decorps-Foulquier M. Recherches sur les Coniques d’Apollonios de Pergé et leurs commentateurs grecs. Paris: Klincksieck, 2000.
Federspiel M. Notes critiques sur le Livre I des Coniques d’Apollonius de Pergè. Revue des Études Grecques, 107, 1994, p. 203—218.
Fried M. N. The use of analogy in Book VII of Apollonius’ Conica. Science in Context, 16, 2003, p. 349—365.
Hogendiuk J. P. Arabic traces of lost works of Apollonius. Archive for History of Exact Sciences, 35, 1986, p. 187—253.
Knorr W. R. The hiperbola-construction in the Conics, Book II: Ancient variations on a theorem of Apollonius. Centaurus, 25, 1982, p. 253—291.
Neugebauer O. Studien zur Geschichte der antiken Algebra, II. Apollonius-Studien. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik; B2, 1932, s. 215—254.
Taisbak C. M. Discovering Apollonius’ circles. In: Proceedings of the Third International Conference on Ancient Mathematics, Delphi, 1996.
Zeuthen H.G. Die Lehre vor den Kegelschnitten im Altertum. Copenhagen, 1886. (Repr.: Hildesheim, Georg Olms, 1966)
