PROFILPELAJAR.COM

Аддити́вная тео́рия чи́сел — раздел теории чисел, возникший при изучении задач о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида^[1] (например, на простые числа. фигурные числа, $n-$ е степени и т. п.).

Среди классических проблем, исследование которых заложило фундамент аддитивной теории чисел, можно назвать следующие^[1].

Решение этих проблем осложняется тем, что в формулировках одновременно участвуют несколько базовых операций с натуральными числами:

(мультипликативные) — деление, с помощью которого определяются простые числа, и умножение, формирующее квадраты, кубы и т. д.;
(аддитивные) — сложение.

Связь между аддитивными и мультипликативными свойствами чисел чрезвычайно сложна, и эта сложность ответственна за трудности при решении многих проблем теории чисел^[2].

Современная аддитивная теория чисел включает широкий круг задач по исследованию абелевых групп и коммутативных полугрупп с операцией сложения^[3]. Аддитивная теория чисел тесно связана с комбинаторной теорией чисел (особенно с аддитивной комбинаторикой)^[4] и с геометрией чисел, в ней применяются аналитические, алгебраические и вероятностные методы. В зависимости от методов решения, аддитивные задачи входят составной частью в другие разделы теории чисел — аналитическую теорию чисел, теорию алгебраических чисел, вероятностную теорию чисел^[англ.]^[1].

История

Первые систематические результаты в аддитивной теории чисел были получены Леонардом Эйлером, который опубликовал в 1748 году исследование (с помощью степенных рядов) разложения натуральных чисел на натуральные слагаемые; в частности, им была рассмотрена задача о разложении числа на заданное количество слагаемых и доказана теорема о пятиугольных числах^[англ.]^[5]. В этот же период возникли две классические проблемы аддитивного типа: проблема Гольдбаха и проблема Варинга, в дальнейшем появились десятки новых задач.

Для решения многих из этих проблем оказались полезны такие общие инструменты, как круговой метод Харди-Литтлвуда^[англ.], метод решета^[англ.]^[6] и метод тригонометрических сумм. Гильберт доказал^[7], что для любого целого числа $k>1$ любое натуральное число является суммой ограниченного числа слагаемых в степени $k$ . Лев Шнирельман в 1930 году ввёл понятие плотности последовательности натуральных чисел, что позволило существенно продвинуться в решении проблемы Гольдбаха и доказать обобщённую теорему Варинга^[8]..

Григорий Фрейман в 1964 году доказал важную теорему^[англ.] из области аддитивной комбинаторики.

Современное состояние

Подмножество $B$ называется (асимптотическим) аддитивным базисом^[англ.]^[9] конечного порядка $h$ , если любое достаточно большое натуральное число $n$ может быть записано как сумма не более $h$ элементов $B$ . Например, натуральные числа сами являются аддитивным базисом порядка 1, поскольку каждое натуральное число тривиально является суммой не более одного натурального числа. Менее тривиальна теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов, показавшая, что множество квадратных чисел является аддитивным базисом четвёртого порядка. Другой весьма нетривиальный и широко известный результат в этом направлении — теорема Виноградова о том, что любое достаточно большое нечётное натуральное число можно представить как сумму трёх простых чисел^[10].

Многие современные исследования в этой области касаются свойств общих асимптотических базисов конечного порядка. Например, множество $A$ называется минимальным асимптотическим базисом порядка $h,$ если $A$ является асимптотическим базисом порядка $h$ , но никакое собственное подмножество $A$ не является асимптотическим базисом порядка $h$ . Доказано^[11], что минимальные асимптотические базисы порядка $h$ существуют для всякого $h$ , а также существуют асимптотические базисы порядка $h$ , не содержащие минимальных асимптотических базисов порядка $h$ .

Рассматривается также проблема — насколько можно уменьшить количество представлений $n$ в виде суммы $h$ элементов асимптотического базиса. Этому посвящена до сих пор не доказанная гипотеза Эрдёша — Турана^[англ.] (1941 год)^[12].

См. также

Примечания

↑ ¹ ² ³ Математическая энциклопедия, 1977, с. 91.
↑ Математика, её содержание, методы и значение (в трёх томах). — 1956. — Т. 2. — С. 225. — 397 с.
↑ Mann, 1976.
↑ Tao, 2006.
↑ On Euler's Pentagonal Theorem Архивная копия от 31 января 2020 на Wayback Machine at MathPages.
↑ Математическая энциклопедия, 1984, с. 979.
↑ Карацуба А. А. Проблема Гильберта — Камке в аналитической теории чисел (неопр.). Дата обращения: 1 декабря 2020.
↑ Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947 / Под ред. А. Г. Куроша, А. И. Маркушевича, П. К. Рашевского. — М.—Л.: Гостехиздат, 1948. — С. 56—57. — 1044 с.
↑ Bell, Jason; Hare, Kathryn; Shallit, Jeffrey (2018), "When is an automatic set an additive basis?", Proceedings of the American Mathematical Society, Series B, 5: 50—63, arXiv:1710.08353, doi:10.1090/bproc/37, MR 3835513
↑ Карацуба А. А. Эйлер и теория чисел // Современные проблемы математики. Вып. 11. — М.: МИАН, 2008. — С. 19—37. — 72 с. — ISBN 5-98419-027-3.
↑ Nathanson M. B. Minimal bases and maximal nonbases in additive number theory : [арх. 21 января 2022] // J. Number Theory. — 1974. — Vol. 6, no. 4. — P. 324—333.
↑ Grekos G., Haddad L., Helou C., Pihko J. On the Erdős–Turán conjecture : [арх. 21 января 2022] // J. Number Theory. — 2003. — Vol. 102, no. 2. — P. 339—352.

Литература

Аддитивная теория чисел // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.
Бухштаб А. А. Проблемы аддитивной теории простых чисел // Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.
Гельфанд А. О., Линник Ю. В. Аддитивные свойства чисел // Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М.: Физматгиз, 1962. — 272 с.
Метод решета // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Наука, 1971. — 416 с.
Шнирельман Л. Г. Об аддитивных свойствах чисел // Успехи математических наук. — 1939. — № 6. — С. 9—25.
Henry Mann. Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory. — Corrected reprint of 1965 Wiley. — Huntington, New York : Robert E. Krieger Publishing Company, 1976. — ISBN 0-88275-418-1.
Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases. — Springer-Verlag, 1996. — ISBN 0-387-94656-X.
Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. — Springer-Verlag, 1996. — ISBN 0-387-94655-1.
Tao, Terence; Vu, Van. Additive Combinatorics. — Cambridge University Press, 2006. — Vol. 105.

Ссылки

Бредихин Б. М. Additive number theory, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. Additive Number Theory (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.