ADE-классификация

Однониточные диаграммы Дынкина классифицируют различные математические объекты.

-классификация — полный список однониточных диаграмм Дынкина — диаграмм, в которых отсутствуют кратные рёбра, что соответствует простым корням в системе корней, образующим углы (отсутствие ребра между вершинами) или (одиночное ребро между вершинами). Список состоит из:

.

Список содержит два из четырёх семейств диаграмм Дынкина (не входят и ) и три из пяти исключительных диаграмм Дынкина (не входят и ).

Список не является избыточным, если принять для . Если расширить семейства, то получаются исключительные изоморфизмы[англ.]

и соответствующие изоморфизмы классифицируемых объектов.

Вопрос о создании общего начала такой классификации (а не выявление параллелей опытным путём) был поставлен Арнольдом в докладе «Проблемы современной математики»[1].

Классы , , включают также однониточные конечные группы Коксетера с теми же диаграммами — в этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Коксетера, поскольку нет кратных рёбер.

Алгебры Ли

В терминах комплексных полупростых алгебр Ли:

В терминах компактных алгебр Ли[англ.] и соответствующих однониточных групп Ли:

Бинарные полиэдральные группы

Та же самая классификация подходит для дискретных подгрупп , бинарной полиэдральной группы[англ.]. По сути, бинарные полиэдральные группы соответствуют однониточным аффинным диаграммам Дынкина , и задания этих групп можно понять в терминах этих диаграмм. Эта связь известна как соответствие Маккея[англ.] (в честь Джона Маккея[англ.]). Связь с правильными многогранниками описана в книге Диксона «Algebraic Theories» [2]. Соответствие использует построение графов Маккея[англ.].

При этом -соответствие не является соответствием правильных многогранников их группам отражений[англ.]. Например, в -соответствии тетраэдр, куб/октаэдр и додекаэдр/икосаэдр соответствуют , в то время как группы отражений тетраэдра, куба и октаэдра, додекаэдра и икосаэдра являются заданиями групп Коксетера и

Орбиобразие , построенное с помощью всех дискретных подгрупп, приводит к сингулярности типа в начале координат, которая называется дювалевской особенностью[англ.].

Соответствие Маккея можно распространить и на многониточные диаграммы Дынкина при использовании пары бинарных полиэдральных групп. Это соответствие известно как соответствие Слодови (по имени немецкого математика Петера Слодови[англ.])[3].

Помеченные графы

-графы и расширенные (аффинные) -графы можно описать в терминах маркировки некоторыми свойствами[4], которые можно сформулировать в терминах дискретных операторов Лапласа [5] или матриц Картана. Доказательства в терминах матриц Картана можно найти в книге Каца «Infinite dimensional Lie algebras» [6].

Аффинные -графы — это графы, допускающие позитивную маркировку (когда вершины помечаются положительными вещественными числами) со следующими свойствами:

Любая метка является полусуммой смежных вершин.

То есть существуют принимающие лишь положительные значения функции с собственным значением 1 дискретного лапласиана (сумма смежных вершин минус значение в вершине) — положительное решение однородного уравнения:

.

Эквивалентно, положительные функции в ядре . Результирующая нумерация является единственной с точностью до постоянного множителя, а с нормализацией, при которой минимальное число равно 1, состоит из малых целых чисел — от 1 до 6, которые зависят от графа.

Обычные -графы — это только графы, допускающие положительную маркировку со следующими свойствами:

Любая метка равна полусумме смежных вершин плюс единица.

В терминах лапласианов это положительное решение однородного уравнения:

.

Результирующая нумерация является единственной (с точностью до постоянного множителя, значение которого определяется числом «2») и состоит из целых чисел. Для эти числа лежат в пределах от 58 до 270[7].

Другие классификации

Элементарные катастрофы также классифицируются с помощью -классификации.

Диаграммы являются в точности колчанами конечного типа вследствие теоремы Габриэля[англ.].

Существует также связь с обобщёнными четырёхугольниками, так как три невырожденных обобщённых четырёхугольника с тремя точками на каждой прямой соответствуют исключительным корням систем , и =[8]. Классы и соответствуют вырожденным случаям, где множество прямых пусто или все прямые проходят через одну точку, соответственно[9].

Существует глубокая связь между этими объектами, скрытыми за этой классификацией, и некоторые из этих связей можно понять через теорию струн и квантовую механику[уточнить].

Троицы

Арнольд предложил много других связей под рубрикой «математические троицы»[10][11], а Маккей расширил эти соответствия. Арнольд использовал термин «троицы» с намёком на религию и предположил, что (в настоящее время) эти параллели скорее ближе к вере, чем к строгим доказательствам, хотя некоторые параллели хорошо проработаны. Далее троицы были подхвачены и другими авторами[12][13][14]. Троицы Арнольда начинаются с (вещественные числа, комплексные числа и кватернионы), которые, как он заметил, «все знают», и продолжены другими троицами, такими как «комплесизация» и «кватернизация» классических (вещественных) математических объектов по аналогии с поисками симплектических аналогий римановой геометрии, которые он предложил до этого в 1970-х годах. Кроме примеров из дифференциальной топологии (таких как характеристические классы), Арнольд рассматривает три симметрии правильных многогранников (тетраэдральная, октаэдральная, икосаэдральная) как соответствующие вещественным числам, комплексным числам и кватернионам, которые связаны с дальнейшими алгебраическими соответствиями Маккея.

Проще всего поддаются описанию соответствия Маккея[англ.]. Во-первых, расширенные диаграммы Дынкина (соответствующие тетраэдральной, октаэдральной и икосаэдральной симметрий) имеют группы симметрии , соответственно, и ассоциированные свёртки — диаграммы (при менее аккуратной записи признак расширения — тильда — часто опускается). Что более существенно, Маккей предположил соответствие между вершинами диаграмм и некоторыми классами смежности монстра, что известно как замечание Маккея о [15][16]. Маккей далее соотносит вершины с классами смежности в (расширение порядка 2 группы Бэби-Монстр[англ.]), а вершины с классами смежности в (расширение порядка 3 группы Фишера)[16]. Это три самые большие спорадические группы, притом порядок расширения соответствует симметриям диаграммы.

Если перейти от больших простых групп к малым, группы, соответствующие правильным многогранникам, и имеют связь с проективными специальными группами , и (порядка 60, 168 и 660)[17][13]. Эти группы являются единственными (простыми) группами со значением , таким, что действует нетривиально на точек, факт, который восходит к работам Эвариста Галуа 1830-х годов. Фактически, группы разлагаются на произведение множеств (но не произведение групп) следующим образом: и Эти группы связаны также с различными геометриями (начиная с работ Феликса Клейна 1870-х годов)[18]. Ассоциированные геометрии (мозаики на римановых поверхностях), в которых можно видеть действие на точек, следующие: является группой симметрий икосаэдра (род 0) на соединении пяти тетраэдров как 5-элементном множестве, является группой симметрий квартики Клейна[англ.] (род 3) на вложенной плоскости Фано как 7-элементном множестве (двойная плоскость порядка 2) и является группой симметрий поверхности бакминстерфуллерена (род 70) на вложенной двойной плоскости Палея[англ.] как 11-элементном множестве (двойная плоскость порядка 3)[19]. Из перечисленных икосаэдры известны ещё с древности, квартики Клейна были введены Клейном в 1870-х годах, а бакибо́л-поверхности введены Пабло Мартином и Сигерманом в 2008 году.

Маккей связывает также , и соответственно с 27 прямыми на кубической поверхности[англ.], 28 двойными касательными квартики[англ.] и 120 трижды касательными плоскостями канонической кривой шестого порядка с родом 4[20][21].

См. также

Примечание

  1. Arnold, 1976.
  2. Dickson, 1959.
  3. Stekolshchik, 2008.
  4. Proctor, 1993, с. 937–941.
  5. Proctor, 1993, с. 940.
  6. Kac, 1990, с. 47–54.
  7. Бурбаки, 1972.
  8. Cameron, Goethals, Seidel, Shult, 1976, с. 305—327.
  9. Chris, Royle, 2001.
  10. Владимир Арнольд, 1997, Лекции в Тороното, Lecture 2: Symplectization, Complexification and Mathematical Trinities Архивная копия от 9 декабря 2015 на Wayback Machine, June 1997 (last updated August, 1998). TeX Архивная копия от 24 сентября 2015 на Wayback Machine, PostScript Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine, PDF Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
  11. Polymathematics: is mathematics a single science or a set of arts? Архивная копия от 9 декабря 2015 на Wayback Machine На сервере с 10/03/99, Abstract Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine, TeX Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine, PostScript Архивная копия от 24 сентября 2015 на Wayback Machine, PDF Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine; см. таблицу на стр. 8
  12. Les trinités remarquables Архивная копия от 23 апреля 2015 на Wayback Machine, Frédéric Chapoton Архивная копия от 10 марта 2015 на Wayback Machine  (фр.)
  13. 1 2 le Bruyn, 2008.
  14. le Bruyn, 2008—2.
  15. Duncan, 2009.
  16. 1 2 le Bruyn, 2009.
  17. Kostant, 1995, с. 959–968.
  18. Kostant, 1995.
  19. Martin, Singerman, 17/04/2008.
  20. Arnold 1997, стр. 13
  21. McKay, Sebbar, 2007, с. 373–386.

Литература

  • Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. — Москва: «Мир», 1972. — (Элементы математики).
  • Vladimir Arnold. Mathematical developments arising from Hilbert problems / Felix E. Browder. — American Mathematical Society, 1976. — Т. 28. — (Proceedings of symposia in pure mathematics). (Problem VIII. The A-D-E classifications).
  • Leonard E. Dickson. XIII: Groups of the Regular Solids; Quintic Equations // Algebraic Theories. — New York: Dover Publications, 1959.
  • P.J. Cameron, J.M. Goethals, J.J. Seidel, E. E. Shult. Line graphs, root systems and elliptic geometry // Journal of Algebra. — 1976. — Вып. 43.
  • Pablo Martin, David Singerman. From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball. — 17/04/2008.
  • John F. Duncan. Groups and symmetries: from Neolithic Scots to John McKay / John Harnad, Pavel Winternitz. — Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2009. — Т. 47. — (CRM Proceedings & lecture notes). — ISBN 978-08218-4481-6.
  • Bertram Kostant. The Graph of the Truncated Icosahedron and the Last Letter of Galois. — Notices Amer. Math. Soc.. — 1995. — Т. 42. См. The Embedding of PSl(2, 5) into PSl(2, 11) and Galois’ Letter to Chevalier.
  • Lieven le Bruyn. Galois’ last letter. — 2008. Архивировано 15 августа 2010 года.
  • Michiel Hazewinkel, Hesseling, JD. Siersma, F. Veldkamp. The ubiquity of Coxeter Dynkin diagrams. (An introduction of the A-D-E problem) // Nieuw Archief v. Wiskunde. — 1977. — Т. 35, вып. 3. — С. 257–307.
  • John McKay. Graphs, singularities and finite groups // Proc. Symp. Pure Math.. — Amer. Math. Soc., 1980. — Т. 37. — С. 183-,265-.
  • John McKay. The Geometric Vein, Coxeter Festschrift. — Berlin: Springer-Verlag, 1982. — С. 549–.
  • Victor G. Kac. Infinite-Dimensional Lie Algebras. — 3rd. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990. — ISBN 0-521-46693-8.
  • John McKay. A Rapid Introduction to ADE Theory. — 01/01/2001.
  • R. A. Proctor. Two Amusing Dynkin Diagram Graph Classifications // The American Mathematical Monthly. — 1993. — Т. 100, вып. 10. — ISSN 0002-9890. — doi:10.2307/2324217. — JSTOR 2324217.
  • J. McKay, Abdellah Sebbar. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry, II. — Springer, 2007. — doi:10.1007/978-3-540-30308-4_10.
  • R. Stekolshchik. Notes on Coxeter Transformations and the McKay Correspondence. — 2008. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-77398-6. — doi:10.1007/978-3-540-77398-3.
  • Godsil Chris, Gordon Royle. Algebraic Graph Theory. — New York: Springer, 2001. — Т. 207. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-95241-1. Chapter 12
  • Lieven le Bruyn. Arnold’s trinities. — 2008—2.
  • Lieven le Bruyn. Arnold’s trinities version 2.0. — 2008—3.
  • Lieven le Bruyn. the monster graph and McKay’s observation. — 2009. Архивировано 14 августа 2010 года.
  • Joris van Hoboken. Platonic solids, binary polyhedral groups, Kleinian singularities and Lie algebras of type A,D,E. — University of Amsterdam, 2002. Архивировано 26 апреля 2012 года.

Ссылки

Read other articles:

Limassol Λεμεσός Lambang resmi LimassolLambangCountry CyprusDistrictLimassol DistrictPemerintahan • MayorAndreas Christou (AKEL)Luas • Kota34,87 km2 (1,346 sq mi)Populasi (2011) • Kota101.000 [3] • Perkotaan160.000−176.700 [1][2]Zona waktuUTC+2 (EET) • Musim panas (DST)UTC+3 (EEST)Postal code3010–3150Situs webwww.limassolmunicipal.com.cy Limassol (/ˈlɪməsɒl/; bahasa Yuna...

 

R. R. Patilआर.आर.पाटील Menteri Dalam Negeri MaharashtraMasa jabatan9 Oktober 2009 – 26 September 2014 PendahuluJayant PatilPenggantiDevendra FadnavisDaerah pemilihanTasgaonMasa jabatan25 Desember 2003 – 1 Desember 2008 PendahuluChhagan BhujbalPenggantiJayant PatilDaerah pemilihanTasgaonDeputi Ketua Menteri MaharashtraMasa jabatan1 November 2004 – 1 Desember 2008 PendahuluVijaysingh Mohite-PatilPenggantiChhagan BhujbalDaerah pemilihanTasgaon I...

 

Ayam kaki-kasar Greater Sage-grouseCentrocercus urophasianus Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Chordata Kelas: Aves Subkelas: Neornithes Infrakelas: Galloanserae Ordo: Galliformes Famili: Phasianidae Subfamili: TetraoninaeVigors, 1825 Genera Bonasa Centrocercus Dendragapus Lagopus Tetrao Tympanuchus Sinonim Tetraonidae Vigors, 1825 Ayam kaki-kasar (Ruigpoothoenders) atau grouse adalah sekelompok burung dari orde Galliformes. Mereka sering kali dipertimbangkan masuk ke dalam famili...

Basilika Santo PatrickBasilika Minor Santo PatrickPurgatorium Santo PatrickIrlandia: Baisleac Naomh Pádraigcode: ga is deprecated Basilika Santo Patrick, Pettigo54°36′32.30″N 7°52′16.51″W / 54.6089722°N 7.8712528°W / 54.6089722; -7.8712528Koordinat: 54°36′32.30″N 7°52′16.51″W / 54.6089722°N 7.8712528°W / 54.6089722; -7.8712528LokasiLough Derg, County DonegalNegaraRepublik IrlandiaDenominasiGereja Katolik RomaSitus weblou...

 

Thomas GibsonGibson di lokasi syuting Criminal Minds tahun 2010Lahir3 Juli 1962 (umur 61)Charleston, South Carolina, USAPekerjaanAktor, sutradaraTahun aktif1987–sekarangSuami/istriChristine Gibson (1993–2011)Anak3 Thomas Ellis Gibson (lahir 3 Juli 1962 (umur 61)) adalah aktor dan sutradara berkebangsaan Amerika Serikat. Dia dikenal lewat peran-perannya sebagai Daniel Nyland dalam serial Chicago Hope, Greg Montgomery di serial Dharma & Greg, dan Aaron Hotchner dalam ser...

 

Mazmur 27Naskah Gulungan Mazmur 11Q5 di antara Naskah Laut Mati memuat salinan sejumlah besar mazmur Alkitab yang diperkirakan dibuat pada abad ke-2 SM.KitabKitab MazmurKategoriKetuvimBagian Alkitab KristenPerjanjian LamaUrutan dalamKitab Kristen19← Mazmur 26 Mazmur 28 → Mazmur 27 (disingkat Maz 27, Mzm 27 atau Mz 27; penomoran Septuaginta: Mazmur 26) adalah sebuah mazmur dalam Kitab Mazmur di Alkitab Ibrani dan Perjanjian Lama dalam Alkitab Kristen. Mazmur ini digubah oleh Daud. ...

追晉陸軍二級上將趙家驤將軍个人资料出生1910年 大清河南省衛輝府汲縣逝世1958年8月23日(1958歲—08—23)(47—48歲) † 中華民國福建省金門縣国籍 中華民國政党 中國國民黨获奖 青天白日勳章(追贈)军事背景效忠 中華民國服役 國民革命軍 中華民國陸軍服役时间1924年-1958年军衔 二級上將 (追晉)部队四十七師指挥東北剿匪總司令部參謀長陸軍�...

 

Katedral BoianoKatedral Santo Bartolomeusbahasa Italia: Duomo di AcerraKatedral BoianoLokasiBoianoNegaraItaliaDenominasiGereja Katolik RomaArsitekturStatusKatedralStatus fungsionalAktifAdministrasiKeuskupanKeuskupan Agung Campobasso-Boiano Katedral Boiano (bahasa Italia: Duomo di Boiano) yang bernama resmi Katedral Santo Bartolomeus adalah sebuah gereja katedral Katolik yang terletak di Boiano, Italia. Katedral ini merupakan pusat kedudukan dan takhta bagi Keuskupan Agung Campobasso-B...

 

この項目には、一部のコンピュータや閲覧ソフトで表示できない文字が含まれています(詳細)。 数字の大字(だいじ)は、漢数字の一種。通常用いる単純な字形の漢数字(小字)の代わりに同じ音の別の漢字を用いるものである。 概要 壱万円日本銀行券(「壱」が大字) 弐千円日本銀行券(「弐」が大字) 漢数字には「一」「二」「三」と続く小字と、「壱」「�...

This article contains content that is written like an advertisement. Please help improve it by removing promotional content and inappropriate external links, and by adding encyclopedic content written from a neutral point of view. (July 2020) (Learn how and when to remove this message) The European Marine Energy Centre (EMEC) Ltd is a UKAS accredited test and research center focused on wave and tidal power development, based in the Orkney Islands, UK. The centre provides developers with the ...

 

Федеральное агентство по делам Содружества Независимых Государств, соотечественников, проживающих за рубежом, и по международному гуманитарному сотрудничествусокращённо: Россотрудничество Общая информация Страна  Россия Юрисдикция Россия Дата создания 6 сентября...

 

Pour les articles homonymes, voir Parti national, PNF et Parti fasciste. Parti national fascistePartito Nazionale Fascista Logotype officiel. Présentation Duce Benito Mussolini Fondation 9 novembre 1921 Fusion de Faisceaux italiens de combatAssociation nationaliste italienne Disparition 27 juillet 1943 Siège Via della Lungara, 230Palazzo della FarnesinaRome Secrétaires Voir la liste Journal Il Popolo d'Italia Organisation de jeunesse Avanguardia Giovanile Fascista (1921-1926)Opera Naziona...

Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (mai 2017). Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références ». En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comme...

 

Administrative subdivision in France Departments of FranceDépartements (French)Also known as:Departamant gall (Breton) Dèpartament francês (Arpitan) Departament francés (Occitan) Frantziako departamendu (Basque) Departament francès (Catalan)LocationFranceFound inRegionsNumber101 (not including Metropolis of Lyon) (as of January 2021)Possible typesMetropolitan DepartmentsOverseas DepartmentsPopulationsLargest: Nord, Hauts-de-France—2,613,000 (2022 cens...

 

Questa voce o sezione sull'argomento arte non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Questa voce sull'argomento arte è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Questa voce o sezione sull'argomento art...

Native American tribe in Oklahoma, United States Ethnic group Shawnee TribeShawnee Tribal flagTotal population2,226[1]Regions with significant populations United States ( Oklahoma)LanguagesShawnee, EnglishReligionChristianity, Native American Church, traditional tribal religionRelated ethnic groupsother Shawnee tribes and Sac and Fox The Shawnee Tribe is a federally recognized Native American tribe in Oklahoma. Formerly known as the Loyal Shawnee, they are one of three feder...

 

Traditional English side dish Yorkshire puddingYorkshire puddingsAlternative namesYorkshireTypePuddingPlace of originEnglandRegion or stateNorthern EnglandMain ingredientsMilk or water, flour and eggs  Media: Yorkshire pudding Yorkshire puddings Yorkshire pudding is a baked pudding made from a batter of eggs, flour, and milk or water.[1] A common British side dish, it is a versatile food that can be served in numerous ways depending on its ingredients, size, and the accompany...

 

Borough in Pennsylvania, United StatesNewton Hamilton, PennsylvaniaBoroughHouse on Water StreetLocation of Newton Hamilton in Mifflin County, Pennsylvania.Newton HamiltonShow map of PennsylvaniaNewton HamiltonShow map of the United StatesCoordinates: 40°23′34″N 77°50′06″W / 40.39278°N 77.83500°W / 40.39278; -77.83500CountryUnited StatesStatePennsylvaniaCountyMifflinSettled1802Incorporated1843Government • TypeBorough Council • MayorTh...

Untuk Kota di Turki, lihat Batman (Turki). BatmanSampul cetakan kedua Batman #608 (Oktober 2002), oleh Jim Lee dan tinta oleh Scott Williams.Informasi publikasiPenerbitDC ComicsPenampilan pertamaDetective Comics #27(sampul Mei 1939 /tanggal rilis Maret 1939)Dibuat oleh Bob Kane Bill Finger[1][2] Informasi dalam ceritaAlter egoBruce WayneTempat asalGotham City (Bumi)Afiliasi tim Keluarga Batman Justice League Outsiders Batmen of All Nations Batman Incorporated Kemitraan Robin (...

 

Cet article est une ébauche concernant l’Amérique précolombienne. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Consultez la liste des tâches à accomplir en page de discussion. SeibalEl Ceibal, Ceibal Localisation Pays Guatemala Département Petén Coordonnées 16° 18′ 15″ nord, 90° 02′ 02″ ouest Géolocalisation sur la carte : Guatemala SeibalSeibal modifier...