Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на сфере ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ в трёхмерном пространстве:

${\displaystyle \langle Y_{l}^{m};Y_{l}^{m}\rangle =\iint |Y_{l}^{m}|^{2}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =1}$

${\displaystyle \langle Y_{l}^{m};Y_{l'}^{m'}\rangle =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }Y_{l'}^{m'*}Y_{l}^{m}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$,

где ^* обозначает комплексное сопряжение, ${\displaystyle \delta _{ll'}}$ — символ Кронекера.

Сферические функции имеют вид

${\displaystyle Y_{l}^{m}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }\Theta _{lm}(\theta )}$,

где функции ${\displaystyle \Theta _{lm}(\theta )}$ являются решениями уравнения

${\displaystyle {\frac {1}{\sin {\theta }}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {d\Theta _{lm}}{d\theta }}\right)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}}\Theta _{lm}+l(l+1)\Theta _{l}^{m}=0}$

и имеют вид

${\displaystyle \Theta _{l}^{m}={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )}$

Здесь ${\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}$ — присоединённые многочлены Лежандра, а ${\displaystyle m!}$ — факториал.

Присоединенные многочлены Лежандра с отрицательным ${\displaystyle m}$ здесь вводятся как

${\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x)}$

Решение уравнения Лапласа в сферических координатах есть так называемая шаровая функция, получаемая умножением сферической функции на решение радиального уравнения.

Для сферических функций форма зависимости от угла ${\displaystyle \varphi }$ — комплексная экспонента. Используя формулу Эйлера, можно ввести вещественные сферические функции. Иногда их удобнее использовать в связи с тем, что они могут быть наглядно показаны на иллюстрациях, в отличие от комплексных. Однако значимое удобство комплексных функций (утрачиваемое при переходе к вещественным) состоит в независимости квадрата их модуля ${\displaystyle |Y_{l}^{m}|^{2}}$ от угла ${\displaystyle \varphi }$.

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}\displaystyle {i \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatorname {Im} [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell }^{0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\operatorname {Re} [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Обратное преобразование:

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}\displaystyle {1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m<0\\\displaystyle Y_{\ell 0}&{\text{ }}\ m=0\\\displaystyle {(-1)^{m} \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{ }}\ m>0.\end{cases}}}$

Иногда вещественные сферические функции называют зональными, тессеральными и секториальными^[1]. Функции с m > 0 зависят от угла как косинус, а с m < 0 — как синус.

${\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}\ P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\mbox{ }}m<0\\\displaystyle {\sqrt {2\ell +1 \over 4\pi }}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\mbox{ }}m=0\\\displaystyle (-1)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{2\ell +1 \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\mbox{ }}m>0\,.\end{cases}}}$

Рассмотрим поворот системы координат ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, на Углы Эйлера ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,}$ который преобрaзует единичный вектор ${\displaystyle \mathbf {r} }$ в вектор ${\displaystyle {\mathbf {r} }'}$. При этом углы ${\displaystyle \theta ',\varphi '}$ вектора ${\displaystyle {\mathbf {r} }'}$ в новой системе координат выражаются через углы в старой системе координат следующим образом

${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos(\varphi -\alpha )}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\varphi ^{\prime }+\gamma \right)=\operatorname {ctg} (\varphi -\alpha )\cos \beta -{\frac {\operatorname {ctg} \theta \sin \beta }{\sin(\varphi -\alpha )}}}$

В новой системе координат сферическая функция с индексами ${\displaystyle \ell }$ и ${\displaystyle m}$ будет представима в виде линейной комбинации всех функций с тем же номером ${\displaystyle \ell }$ и различными ${\displaystyle m}$. Коэффициентами в линейной комбинации являются комплексно- сопряженные D-матрицы Вигнера^[2]

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{\ell }^{m}(\theta ',\varphi ')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}Y_{\ell }^{m'}(\theta ,\varphi ),}$

Сферические функции с номером ${\displaystyle \ell }$ образуют базис неприводимого представления размерности ${\displaystyle (2\ell +1)}$ группы вращений SO(3).

Комплексная экспонента может быть представлена в виде разложения по сферическим функциям

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{l=0}^{\infty }i^{l}j_{l}(kr)\sum _{m=-l}^{l}Y_{l}^{m*}\left({\frac {\mathbf {r} }{|r|}}\right)Y_{l}^{m}\left({\frac {\mathbf {k} }{|k|}}\right)}$

Здесь ${\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}$ — сферическая функция Бесселя

Разложения Клебша-Гордана для произведений двух сферических функций выглядят следующим образом ^[3]:

${\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )}$

• Список сферических функций

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5. — математические дополнения
• Пальцев Б.В. Сферические функции // Методич. матер. каф. ВМ МФТИ.

• SHTOOLS: Fortran 95 software archive
• HEALPIX: Fortran 90 and C++ software archive
• SpherePack: Fortran 77 software archive
• SpharmonicKit: C software archive
• Frederik J Simons: Matlab software archive
• NFFT: C subroutine library (fast spherical Fourier transform for arbitrary nodes)
• Shansyn: spherical harmonics package for GMT/netcdf grd files
• SHAPE: Spherical HArmonic Parameterization Explorer

• Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio’s research page
• Spherical Harmonics by Stephen Wolfram and Nodal Domains of Spherical Harmonics by Michael Trott, The Wolfram Demonstrations Project
• An accessible introduction to spherical harmonics (by J. B. Calvert)
• Spherical harmonics entry at Citizendium