В статистике степенной закон (англ. power law) — это такая функциональная зависимость между двумя величинами, при которой относительное изменение одной величины приводит к пропорциональному относительному изменению другой величины, независимо от исходных значений этих величин: зависимость одной величины от другой представляет собой степенную функцию. Например, рассмотрим зависимость площади квадрата от длины его стороны. Если длина будет увеличена вдвое, то площадь увеличится вчетверо.^[1]

Во многих физических, биологических и искусственных явлениях наблюдаются распределения, приблизительно соответствующие степенному закону в различных масштабах: например, размеры лунных кратеров и солнечных вспышек^[2], закономерности питания разных видов^[3], активность популяций нейронов^[4], частота употребления слов в большинстве языков, распространённость фамилий, число видов в кладах организмов^[5], масштабы аварий в энергосистемах, число уголовных обвинений на одного преступника, количество извержений вулканов^[6], человеческие оценки интенсивности стимулов^[7][8] и многие другие величины^[9]. Эмпирические распределения могут соответствовать степенному закону во всём диапазоне своих значений, либо, например, в хвосте. Затухание звуковых колебаний следует степенному закону в широких полосах частот во многих сложных средах. Аллометрические закономерности для отношений между биологическими переменными являются одними из самых известных примеров степенных законов в природе.

Для степенного закона характерна масштабная инвариантность. Если выполняется ${\displaystyle f(x)=ax^{-k}}$, то масштабирование аргумента ${\displaystyle x}$ на постоянный коэффициент ${\displaystyle c}$ приведёт к пропорциональному масштабированию самой функции. То есть:

${\displaystyle f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!}$

где ${\displaystyle \propto }$ обозначает прямую пропорциональность. Иными словами, умножение аргумента на постоянную величину ${\displaystyle c}$ приводит просто к умножению значения функции на постоянную величину ${\displaystyle c^{-k}}$. Таким образом, все степенные законы с заданным показателем степени эквивалентны с точностью до умножения на константу, поскольку все они представляют собой лишь масштабированные версии друг друга. Это порождает линейную зависимость между логарифмами величин ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle x}$, и прямую линию на графике в двойном логарифмическом масштабе (log-log), которую часто считают характерным признаком степенного закона. В реальных данных это признак является необходимым, но не достаточным, чтобы сделать вывод о наличии степенного закона. Существует много способов сгенерировать конечные объёмы данных, имитирующих соответствие степенному закону, но отклоняющихся от него в асимптотическом пределе (например, если процесс генерации данных следует логнормальному распределению). Проверка моделей на соответствие степенному закону является актуальной областью исследований в статистике, см. ниже.

Степенной закон ${\displaystyle x^{-k}}$ имеет строго определённое среднее значение при ${\displaystyle x\in [1,\infty )}$, только если ${\displaystyle k>2}$, и имеет конечную дисперсию, только если ${\displaystyle k>3}$. Для большинства известных степенных законов в природе значения показателя степени таковы, что среднее значение является строго определённым, а дисперсия нет, поэтому для них существует возможность возникновения событий типа «чёрный лебедь».^[10] Это можно показать на примере следующего мысленного эксперимента:^[11] представьте себя в комнате с друзьями и оцените среднемесячный доход в этой комнате. Теперь представьте, что в эту комнату вошёл самый богатый человек в мире с месячным доходом около 1 миллиарда US$. Как изменится значение среднемесячного дохода в комнате? Распределение доходов следует степенному закону, известному как распределение Парето (например, капиталы американцев распределены по степенному закону с показателем степени 2).

С одной стороны, это не позволяет корректно применять традиционную статистику, основанную на дисперсии и среднеквадратическом отклонении (например, регрессионный анализ). С другой стороны, это позволяет осуществлять эффективное по затратам вмешательство.^[11] К примеру, пусть выхлопные газы автомобилей распределены по степенному закону среди автомобилей (то есть большинство загрязнений осуществляется очень небольшим числом автомобилей). Тогда будет достаточно убрать с дорог это небольшое число автомобилей, чтобы существенно снизить общее количество выбросов.^[12]

Медиана существует: для степенного закона x ^-k с показателем степени ${\displaystyle k>1}$ она принимает значение 2^{1/(k — 1)}x_min, где x_min — это минимальное значение, для которого выполняется степенной закон^[13]

Хотя степенной закон привлекателен по многим теоретическим причинам, доказательство того, что данные и в самом деле следуют степенному закону, требует больше, чем простого подбора параметров модели.^[14] Важно понимать механизм возникновения распределения: внешне похожие распределения могут возникать по существенно различным причинам, а разные модели дают разные прогнозы, например при экстраполяции.^[15][16]

• Bak, Per (1997) How nature works, Oxford University Press ISBN 0-19-850164-1
• Clauset, A.; Shalizi, C. R.; Newman, M. E. J. Power-Law Distributions in Empirical Data (англ.) // SIAM Review. — 2009. — Vol. 51, no. 4. — P. 661—703. — doi:10.1137/070710111. — Bibcode: 2009SIAMR..51..661C. — arXiv:0706.1062.
• Laherrère, J.; Sornette, D. Stretched exponential distributions in nature and economy: "fat tails" with characteristic scales (англ.) // The European Physical Journal B^[англ.] : journal. — 1998. — Vol. 2, no. 4. — P. 525—539. — doi:10.1007/s100510050276. — Bibcode: 1998EPJB....2..525L. — arXiv:cond-mat/9801293.

• Zipf’s law Архивная копия от 3 июня 2006 на Wayback Machine
• Zipf, Power-laws, and Pareto — a ranking tutorial
• Stream Morphometry and Horton’s Laws
• Clay Shirky on Institutions & Collaboration: Power law in relation to the internet-based social networks