Теймур Раджабов родился в Баку12 марта1987 года. Отец — Борис Ефимович Шейнин — инженер-нефтяник, кандидат технических наук, автор ряда изобретений[6][7]. В детстве жил по соседству с Гарри Каспаровым и ходил с ним в один и тот же шахматный кружок. Мать — Лейла — окончила Институт иностранных языков, переводчица с английского. Теймур носит фамилию матери. Научился играть в шахматы в четырёхлетнем возрасте. Когда Теймуру было 12, он выиграл чемпионат Европы в возрастной группе до 18-и, где он был самым юным участником. Раджабов один из самых молодых игроков в мире, кто достиг звания гроссмейстера. Это случилось в 2001 году в возрасте 14 лет и 14 дней[8].
С 2001 года Раджабов играет в турнирах с участием сильнейших гроссмейстеров.
В январе 2002 года, будучи ещё 14-летним, попал в рейтинг 100 лучших шахматистов ФИДЕ, на 93-е место[9].
В январе 2021 года Теймур Раджабов обыграв на финальном матче шахматного турнира Airthings MastersЛевона Ароняна одержал победу и стал чемпионом турнира[13].
