PROFILPELAJAR.COM

Координа́тное представле́ние — такое представление операторов квантовой механики, в котором операторы и волновая функция $\psi$ зависят от пространственных координат. В этом представлении оператор координаты диагонален. В наиболее общем трехмерном случае квадрат модуля волновой функции $|\psi ({\vec {r}})|^{2}$ в координатном представлении определяет плотность вероятности обнаружить частицу в конкретной точке пространства ${\vec {r}}$ , а сама функция имеет размерность м^-3/2 (в одномерном случае м^-1/2).

Уравнение Шрёдингера

В данном представлении уравнение Шрёдингера имеет вид:

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U({\vec {r}})\right)\psi =i{\hbar }{\frac {\partial \psi }{\partial t}}

- зависящее от времени, и

\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U({\vec {r}})\right)\psi =E\psi

- не зависящее от времени.

Здесь ${\vec {r}}$ — радиус-вектор точки, где берётся волновая функция $\psi ({\vec {r}},t)$ , $E$ — полная энергия рассматриваемой частицы, $U$ — потенциальная энергия этой частицы, $m$ — масса частицы, $\nabla$ — дифференциальный оператор набла, $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка, $t$ — время, $i$ — мнимая единица.

Некоторые операторы в координатном представлении

{\vec {r}}

— координата;

-i{\hbar }\nabla

— импульс;

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U({\vec {r}})

— гамильтониан.

Связь с другими представлениями

Чтобы перейти в импульсное представление ( $p$ — импульс), нужно осуществить один из двух вариантов действий:

1) решить задачу в координатном представлении и перейти к импульсному с помощью суперпозиционного соотношения

\psi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi {\hbar }}}}\int \psi (x)e^{-ipx/\hbar }dx

,

при этом переход обратно к координатному представлению можно записать как

\psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi {\hbar }}}}\int \psi (p)e^{ipx/\hbar }dp

.

Видно, что это прямое и обратное преобразования Фурье. В трехмерном пространстве множитель при интеграле нужно заменить на ${\frac {1}{\sqrt {(2\pi \hbar )^{3}}}}$ .