Интервалы между простыми числами — это разности между двумя последовательными простыми числами. n-й интервал, обозначаемый ${\displaystyle g_{n}}$, — это разность между (n + 1)-м и n-м простыми числами, то есть

${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.}$

Мы имеем: ${\displaystyle g_{1}=1,g_{2}=g_{3}=2,g_{4}=4}$. Последовательность ${\displaystyle g_{n}}$ интервалов между простыми хорошо изучена. Иногда рассматривают функцию ${\displaystyle g(p_{n})}$ вместо ${\displaystyle g_{n}}$

Первые 30 интервалов между простыми числами следующие:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 последовательность A001223 в OEIS.

Для любого простого числа P, символом P# мы будем обозначать праймориал P, то есть произведение всех простых чисел, не превосходящих P. Если Q — это простое число, следующее за P, то последовательность

${\displaystyle P\#+2,P\#+3,\dots ,P\#+(Q-1)}$

является последовательностью из ${\displaystyle Q-2}$ последовательных составных чисел, поэтому существуют интервалы между простыми длины не меньше, чем ${\displaystyle Q-1}$. Следовательно, существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, и для любого простого P существует n такое, что ${\displaystyle g_{n}\geqslant P}$ (Очевидно, что для этого мы можем выбрать n таким, что ${\displaystyle p_{n}}$ будет наибольшим простым числом, не превосходящим ${\displaystyle P\#+2}$.). Другой способ увидеть, что существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, использует тот факт, что множество простых чисел имеет нулевую плотность, согласно теореме о распределении простых чисел.

На самом деле, интервал между простыми величины P может встретиться между простыми, гораздо меньшими, чем P#. Например, самая первая последовательность из 71 последовательных составных чисел находится между 31398 и 31468, в то время как 71# является 27-значным числом.

Уже среднее значение интервалов между простыми растёт как натуральный логарифм n.

С другой стороны, гипотеза о простых близнецах утверждает, что ${\displaystyle g_{n}=2}$ для бесконечно многих n.

Интервалы между простыми могут быть оценены сверху и снизу с помощью функции Якобсталя (последовательность A048670 в OEIS).

На 16 апреля 2022 года наибольший известный интервал между 208095-значными числами, определёнными как вероятно простые, имеет длину 7186572 и M = 14.9985. Он был найден Michiel Jansen с помощью программы, созданной J. K. Andersen.^[1][2]

На 8 марта 2013 года наибольший известный интервал между 18662-значными доказанными простыми числами имеет длину 1113106 и M = 25.90. Он был найден P. Cami, M. Jansen и J. K. Andersen.^[3][4]

Отношение M=g_n/ln(p_n) показывает, во сколько раз данный интервал g_n отличается от среднего интервала между простыми вблизи простого числа p_n. На 2017 год наибольшее известное значение M=41,93878373 обнаружено для интервала длиной 8350, следующего за 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Этот рекорд найден в процессе распределённых вычислений Gapcoin^[5].

Отношение S=g_n/ln²p_n (oтношение Крамера — Шенкса — Грэнвилля) изучают в связи с гипотезой Крамера, утверждающей, что ${\displaystyle g_{n}=O(\ln ^{2}p_{n})}$. Если не рассматривать аномально высокие значения S, наблюдающиеся для ${\displaystyle p_{n}=2,3,7,}$ то наибольшее известное значение S=0,9206386 обнаружено для интервала длиной 1132, следующего за 16-значным простым числом 1693182318746371. Этот рекорд нашёл в 1999 году Bertil Nyman^[6] (последовательность A111943 в OEIS содержит это и все предшествующие простые числа ${\displaystyle p_{n}\geq 23}$, соответствующие рекордным значениям S).

Будем говорить, что ${\displaystyle g_{n}}$ является максимальным интервалом, если для всех ${\displaystyle k<n}$ будет ${\displaystyle g_{k}<g_{n}}$. Между первыми ${\displaystyle n}$ простыми числами наблюдается приблизительно ${\displaystyle 2\ln n}$ максимальных интервалов^[7]; см. также последовательность A005250 в OEIS.

19 июня 2021 года Craig Loizides сообщил о нахождении 81-го кандидата (g_n=1552 p_n=18470057946260698231) и 15 июля 2021 года — о нахождении 82-го кандидата (g_n=1572 p_n=18571673432051830099), отметив, что эти результаты были получены с помощью его собственного кода для графического процессора, и не являются 100% достоверными.^[8]

25 августа 2023 года стартовал проект по проверке этих двух результатов с помощью программы Gapfinder для ОС Windows, работающей на центральном процессоре. Завершение проекта ожидается в 2024-м году.^[9]

83-й (g_n=1614 p_n=70835512978308848889799) и 84-й кандидаты (g_n=1638 p_n=70835517346711648260809) также были найдены Craig Loizides в 2021 году. Они состоят уже из 23 десятичных цифр, и их проверка потребует неопределенно долгого времени.^[10]

Сложность поиска и подтверждения рекордов выше 80-го заключается в переходе через пороговое значение 2⁶⁴ (разрядная сетка ЭВМ), что требует создания/использования специализированного программного обеспечения, при этом выполнение математических операций над числами длиннее 64 бит существенно замедляется.

Уже во второй тысяче имеется интервал, длиной 34 числа, в котором нет простых чисел — (1327—1361). Причём, этот интервал удерживает свой рекорд длины до десятой тысячи. Лишь в девятой тысяче имеется второй интервал такой же длины — (8467—8501), а в десятой — более длинный интервал (36 чисел) — (9551—9587), который и является самым длинным интервалом первых десяти тысяч. Имеется также интервал длиной 32 числа — (5591—5623).

Постулат Бертрана утверждает, что для любого k всегда существует хотя бы одно простое число между k и 2k, поэтому, в частности, ${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}$, откуда ${\displaystyle g_{n}<p_{n}}$.

Теорема о распределении простых чисел говорит, что «средняя длина» интервалов между простым p и следующим простым числом имеет порядок ${\displaystyle \ln p}$. Фактическая длина интервалов может быть больше или меньше этого значения. Однако, из теоремы о распределении простых чисел можно вывести, верхнюю оценку для длины интервалов простых чисел: для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое N, что для всех ${\displaystyle n>N}$ будет ${\displaystyle g_{n}<\varepsilon p_{n}}$.

Хохайзель первым показал^[11] что существует такое постоянное ${\displaystyle \theta <1}$

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\ln x}}}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$

отсюда следует, что

${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta },}$

для достаточно большого n.

Отсюда следует, что интервалы между простыми становятся сколь угодно меньше по отношению к простым: частное ${\displaystyle {\frac {g_{n}}{p_{n}}}}$ стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

Hoheisel получил возможное значение 32999/33000 для ${\displaystyle \theta }$. Эта оценка была улучшена до 249/250 Хайльброном^[12], и до ${\displaystyle \theta ={\frac {3}{4}}+\varepsilon }$ для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ Чудаковым^[13].

Основное улучшение было получено Ингемом^[14], который показал, что если

${\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})}$

для некоторой константы ${\displaystyle c>0}$, где O используется в смысле нотации O большое, то

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\ln x}}}$

для любого ${\displaystyle \theta >{\frac {1+4c}{2+4c}}}$. Здесь, как обычно, ${\displaystyle \zeta }$ обозначает дзета функцию Римана, а ${\displaystyle \pi (x)}$ — функция распределения простых чисел не превосходящих x. Известно, что допускается ${\displaystyle c>{\frac {1}{6}}}$, откуда в качестве ${\displaystyle \theta }$ можно взять любое число, большее ${\displaystyle {\frac {5}{8}}}$. Из результата Ингама сразу следует, что всегда существует простое число между числами ${\displaystyle n^{3}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ для достаточно больших n. Заметим, что ещё не доказана гипотеза Линделёфа, которая утверждает, что в качестве c может быть выбрано любое положительное число, но из неё следует, что всегда существует простое число между ${\displaystyle n^{2}}$ и ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ для достаточно больших n (см. также Гипотеза Лежандра). Если эта гипотеза верна, то возможно, что необходима ещё более строгая гипотеза Крамера. Одним из достигнутых приближений к гипотезе Лежандра является доказанный факт о том, что ${\displaystyle g(p_{n})=O({p_{n}}^{\frac {21}{40}})}$.^[15]

Мартин Хаксли показал, что можно выбрать ${\displaystyle \theta ={\frac {7}{12}}}$^[16].

Последний результат принадлежит Бакеру, Харману и Пинцу, показавшим, что ${\displaystyle \theta }$ может быть взято равным 0,525.^[15]

В 2005, Дэниел Голдстон, Янос Пинц и Джем Йылдырым доказали, что

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}{\ln p_{n}}}=0}$

и позже улучшили это^[17] до

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\ln p_{n}}}(\ln \ln p_{n})^{2}}}<\infty }$

В 2013 Чжан Итан представил статью, где доказывается, что^[18]

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }g_{n}<70\,000\,000.}$

Этот результат многократно улучшался вплоть до

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }g_{n}<247.}$

В частности, отсюда следует, что множество всех пар простых чисел, разницы между которыми не превосходит 246, бесконечно^[19][20].

Роберт Ранкин доказал, что существует константа ${\displaystyle c>0}$ такая, что неравенство

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\cdot \ln n\cdot \ln \ln n\cdot \ln \ln \ln \ln n}{(\ln \ln \ln n)^{2}}}}$

сохраняется для бесконечно многих значений n. Наилучшее известное значение для c на текущий момент — это ${\displaystyle c=2e^{\gamma }}$, где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера-Маскерони.^[21] Пауль Эрдёш предложил приз в $5000 за доказательство или опровержение того, что константа c в неравенстве выше может быть сколь угодно большой.^[22]

Здесь возможны ещё лучшие результаты, чем те, которые могут быть получены при предположении истинности гипотезы Римана. Харальд Крамер доказал, что если гипотеза Римана верна, то интервалы ${\displaystyle g(p_{n})}$ удовлетворяют соотношению

${\displaystyle g(p_{n})=O({\sqrt {p_{n}}}\ln p_{n}),}$

(здесь используется нотация O большое). Позже он предположил, что интервалы растут гораздо меньше. Грубо говоря, он предположил, что

${\displaystyle g(p_{n})=O(\ln ^{2}p_{n}).}$

В данный момент на это указывают численные расчёты. Для более детальной информации см. Гипотеза Крамера.

Гипотеза Андрицы утверждает, что

${\displaystyle g(p_{n})<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}$

Это слабое усиление гипотезы Лежандра, которая утверждает, что между любой парой квадратов натуральных чисел существует хотя бы одно простое число.

Интервал ${\displaystyle g_{n}}$ между n-м и (n + 1)-м простым числом является примером арифметической функции. В таком контексте обычно её обозначают ${\displaystyle d_{n}}$ и называют разностью между простыми^[22]. Разность между простыми не является ни мультипликативной, ни аддитивной арифметической функцией^[фр.].

• Гипотеза Римана
• Гипотеза Крамера
• Гипотеза Лежандра
• Гипотеза Фирузбэхт
• Гипотеза Харди — Литтлвуда
• Открытые проблемы в теории чисел

• Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers — Computational Number Theory. This reference web site includes a list of all first known occurrence prime gaps.
• Weisstein, Eric W. Prime Difference Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3143
• Chris Caldwell, Gaps Between Primes