Время свободного падения

Время свободного падения — характерное время, которое потребуется телу для коллапса под действием силы тяготения, если никакие другие силы не противодействуют коллапсу. Играет важную роль при определении временных шкал ряда астрофизических процессов, таких как звездообразование, вспышки сверхновых звёзд.

Вывод формул

Падение на точечный источник гравитации

Несложно вывести формулу для времени свободного падения, применяя третий закон Кеплера к движению объекта по вырожденной эллиптической орбите. Рассмотрим точку массы на расстоянии от точечного источника массы , на который падает точка по радиусу. Формула третьего закона Кеплера зависит от большой полуоси и не зависит от эксцентриситета. Радиальная траектория является примером вырожденного эллипса с эксцентриситетом 1 и большой полуосью, равной . Следовательно, время, которое потребуется телу для падения, поворота и возврата к изначальному положению, равно периоду обращения по круговой орбите радиуса :

Для того чтобы пояснить, почему большая полуось равна , исследуем свойства орбит при увеличении эллиптичности. Первый закон Кеплера утверждает, что орбита планеты является эллипсом с фокусом, расположенным в центре масс. В случае падения очень малой массы на очень большую массу центр масс системы расположен внутри тела массы . С увеличением эллиптичности фокус эллипса смещается всё дальше от центра системы. В предельном случае вырожденного эллипса с эксцентриситетом, равным единице, орбита превращается в отрезок от точки начального расположения объекта () до точки расположения массы . Другими словами, эллипс превращается в отрезок длины . Большая полуось является половиной длины эллипса вдоль длинной оси; в данном случае большая полуось равна .

Если бы падающее тело совершило полный оборот по орбите, то движение началось бы на расстоянии от тела , затем тело падало бы к телу , обогнуло его и вернулось к изначальному положению. В реальных системах точечный источник не является точкой и падающее тело испытает столкновение с поверхностью. Следовательно, падающее тело совершит только половину оборота по орбите. Поскольку часть орбиты, соответствующая падению, симметрична части орбиты, по которой происходит гипотетический возврат к начальной точке, то для получения времени свободного падения требуется разделить период обращения по полной орбите пополам:

.

Заметим, что в формуле является временем падения массы по орбите с большим эксцентриситетом, в рамках которой совершается быстрый поворот вокруг притягивающего центра почти на нулевом расстоянии от него, а затем происходит возврат в начальное положение на расстоянии , где снова происходит быстрый поворот. Подобная орбита соответствует почти прямолинейному движению от точки на расстоянии от притягивающего центра до точки расположения притягивающего центра. Как указано выше, большая полуось орбиты равна половине радиуса круговой орбиты, соответствующей расстоянию . Период орбиты соответствует прохождению пути, равного удвоенному значению . Тогда по третьему закону Кеплера с учётом того, что большая полуось является половиной радиуса круговой орбиты, получается, что период обращения по вытянутой орбите равен (1/2)3/2 = (1/8)1/2 периода обращения по круговой орбите, причем радиус круговой орбиты равен длине максимального радиус-вектора вытянутой орбиты.

Падение на сферически-симметричное распределение массы

Рассмотрим случай, когда представляет собой не точку, а протяженное сферически-симметричное тело, обладающее средней плотностью ,

,

где объём сферы равен

Предположим, что единственной действующей силой является сила тяготения. Тогда, как было показано ещё Ньютоном и может быть получено при применении формулы Остроградского-Гаусса, ускорение в точке на расстоянии от центра притягивающей массы зависит только от полной массы, содержащейся внутри сферы радиуса . Следствием является следующий факт: если разбить тело со сферически-симметричным распределением массы на сферические оболочки, то при коллапсе оболочки будут падать таким образом, что каждая последующая не будет при движении пересекать предыдущие. Также время падения точки нулевой массы с расстояния можно выразить в терминах полной массы внутри оболочки радиуса :[1]

в последней формуле величины выражены в системе СИ.

Примечания

  1. Stellar Structure and Evolution Kippenhahn, Rudolf; Weigert, Alfred. Springer-Verlag, 1994, 3rd Ed. p.257 ISBN 3-540-58013-1

Read other articles:

قرية غريت نيك     الإحداثيات 40°48′10″N 73°43′53″W / 40.8028°N 73.7314°W / 40.8028; -73.7314  تقسيم إداري  البلد الولايات المتحدة[1][2]  التقسيم الأعلى نورث هيمبستيد  خصائص جغرافية  المساحة 1.4 ميل مربع  ارتفاع 33 متر  عدد السكان  عدد السكان 9989 (2010)  ال�...

 

Government of India recognized deemed-to-be-university This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Vinayaka Mission's Research Foundation – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2023) (Learn how and when to remove this template message) Vinayaka Missions Research FoundationTypeDeemed Unive...

 

Fictional Australian character Fictional character Dame Edna EverageDame Edna in 2011First appearanceDecember 1955, Return FareLast appearance2023, The Queen’s Platinum Jubilee Celebrations - Video messageCreated byBarry HumphriesPortrayed byBarry HumphriesIn-universe informationNicknameDame EdnaMrs. Norm EverageMrs. Norman EverageGenderFemaleTitleDameOccupationTelevision personalitySpouseNorman Norm Stoddard Everage (until 1988; his death)ChildrenKenny EverageBruce EverageValmai GittisLois...

Filip Helander oleh Anders Henrikson, 2013Informasi pribadiNama lengkap Filip HelanderTanggal lahir 22 April 1993 (umur 30)Tempat lahir Malmö, SwediaTinggi 192 cm (6 ft 4 in)Posisi bermain BekInformasi klubKlub saat ini BolognaNomor 18Karier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2016 – Bologna 40 (1)Tim nasional2017 – Swedia 4 (0) * Penampilan dan gol di klub senior hanya dihitung dari liga domestik Filip Helander (lahir 22 April 1993) adalah seorang pemain sepak bola berkewa...

 

Mary Clubwala Jadhav MBE (1909–1975) adalah seorang filantropis asal India. Ia mendirikan sejumlah organisasi di Chennai dan belahan India, dan sering dikenal karena mendirikan badan-badan karya sosial terorganisir tertua di negara tersebut. Organisasinya Guild of Service mengoperasikan lebih dari puluhan unit terkait yatim piatu, melek huruf perempuan, perawatan dan rehabilitasi orang berkebutuhan khusus, dll.[1] Referensi ^ Guild of Service founder's role hailed. The Hindu. 30 Sep...

 

Untuk kegunaan lain, lihat Atheis (disambiguasi). Atheis Halaman sampul cetakan ke-32PengarangAchdiat Karta MihardjaNegaraIndonesiaBahasaBahasa IndonesiaGenreNovel, romanPenerbitBalai PustakaTanggal terbit1949Jenis mediaCetak (kulit keras & lunak)Halaman224 (cetakan ke-32)ISBNISBN 978-979-407-185-4 (cetakan ke-32) Invalid ISBNOCLC436358542 Atheis adalah sebuah novel karya Achdiat Karta Mihardja yang diterbitkan oleh Balai Pustaka pada 1949. Roman yang menggunakan tiga ...

Map all coordinates using OpenStreetMap Download coordinates as: KML GPX (all coordinates) GPX (primary coordinates) GPX (secondary coordinates) From List of National Natural Landmarks, these are the National Natural Landmarks in California. There are 37 in total.[1] Algodones DunesAmboy CraterAnza-BorregoAudubon CanyonAño Nuevo State ParkBlack Chasm CaveBlack Star CanyonBurney FallsCima DomeCosumnes River PreserveEmerald Bay State ParkFish SloughGuadalupe-Nipomo DunesIrvine RanchPy...

 

Rugby Brescia A.S.D.Rugby a 15 Uniformi di gara Coloribianco e blu Simbolileone Dati societariCittàBrescia Paese Italia Sedevia della Maggia, 18, 25124, Brescia (BS) Federazione  Federazione Italiana Rugby CampionatoSerie B Fondazione1928 Rifondazione1949 PresidenteErnesto Bruni Zani Palmarès Scudetti1 Stadio stadio Aldo Invernici(5 000 posti) Dati aggiornati al 1º luglio 2023 Modifica dati su Wikidata · Manuale Il Rugby Brescia A.S.D. o più semplicemente ...

 

Kurds in FinlandTotal population16,603 (0.3%)Regions with significant populationsUusimaa8,573 (0.5%)[1]Southwest Finland2,861 (0.6%)[1]Pirkanmaa871 (0.2%)[1]Päijät-Häme809 (0.4%)[1]Central Finland487 (0.2%)[1]LanguagesFinnish and KurdishReligionSunni Islam Christianity Atheism YazidismRelated ethnic groupsIranian peoples   Part of a series on: Kurdish history and Kurdish culture People List of Kurds Population Homeland Kurdistan Turkey (Northern...

Austronesian language spoken in Flores, Indonesia This article is about the Austronesian language spoken in Indonesia. For the Australian language, see Mangarrayi language. ManggaraiNative toIndonesiaRegionFloresEthnicityManggaraiNative speakers(undated figure of 900,000)[1]Language familyAustronesian Malayo-PolynesianCentral–Eastern MPSumba–FloresEnde–ManggaraiManggaraiWriting systemLatinLanguage codesISO 639-3mqyGlottologmang1405  Manggarai Location map of the regenc...

 

Radio station in PlymouthBBC Radio DevonPlymouthBroadcast areaDevonFrequencyFM: 94.8 MHz (Barnstaple)FM: 95.7 MHz (Plymouth)FM: 95.8 MHz (Exeter)FM: 96.0 MHz (Okehampton)FM: 103.4 MHz (Devon and East Cornwall)FM: 104.3 MHz (Torbay, Torquay and the South Hams)DAB: 10C (Central and North Devon)DAB: 11C (East Devon, Exeter and Torbay)DAB: 12D (Plymouth and South Devon)Freeview: 720ProgrammingLanguage(s)EnglishFormatLocal news, talk and musicOwnershipOwnerBBC Local Radio,BBC South WestHistoryFir...

 

Voce principale: Club Patí Voltregà. Il Club Patí Voltregà nella sua storia ha vinto in ambito nazionale due campionati nazionali e cinque Coppe del Re; in ambito internazionale vanta tre Coppe dei Campioni e due Coppe WSE. A questi trofei si aggiunge la finale persa di Coppa dei Campioni 1969-1970, le sconfitte in finale di Coppa delle Coppe (1977-1978, 1978-1979, 1991-1992, 1993-1994) e in Coppa CERS (1999-2000). Indice 1 Competizioni ufficiali 1.1 Competizioni nazionali 1.2 Competizio...

Comité Político y de Seguridad (CPS) Información generalJurisdicción Unión EuropeaTipo órgano permanente del ConsejoSede Bruselas, BélgicaOrganizaciónDirección Delphine Pronk[1]​ (Presidenta representante del AR)Depende de ConsejoHistoriaFundación 1999Comité Político y de Seguridad | consilium.europa.eu[editar datos en Wikidata] El Comité Político y de Seguridad (CPS) es el órgano interno permanente del Consejo de la Unión, que tiene encomendado el se...

 

Railway station in the West Midlands, England CoseleyGeneral informationLocationCoseley, DudleyEnglandGrid referenceSO942941Managed byWest Midlands RailwayTransit authorityTransport for West MidlandsPlatforms2Other informationStation codeCSYFare zone5ClassificationDfT category EHistoryOpened1902Passengers2018/19 0.563 million2019/20 0.551 million2020/21 0.105 million2021/22 0.374 million2022/23 0.516 million LocationNotesPassenger statistics from the Office of Rail and Road Coseley railway st...

 

Pour la commune, voir Bouzeron. Côte chalonnaise Désignation(s) Côte chalonnaise Appellation(s) principale(s) bouzeron Type d'appellation(s) AOC Reconnue depuis 1997 Pays France Région parente vignoble de Bourgogne Sous-région(s) vignobles de la côte chalonnaise Localisation Saône-et-Loire Climat tempéré océanique à tendance continentale Ensoleillement(moyenne annuelle) 1 900 à 2 100 heures/an Superficie plantée 51,44 hectares en 2008[1] Nombre de domaines viticoles 7 ...

1983年公開の日本映画については「暗室 (映画)」を、電波の進入・流出を防ぐ部屋については「電波暗室」をご覧ください。 この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方)出典検索?: 暗室 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii ...

 

Infografik perkawinan anak di Indonesia tahun 2020 Perkawinan anak adalah perkawinan formal atau informal di mana salah satu atau kedua pihak berusia di bawah 19 tahun. Sebagian besar perkawinan anak terjadi pada anak perempuan dengan laki-laki dewasa.[1] Pada Pasal 7 ayat (2) dan ayat (3) Undang-Undang Nomor 16 Tahun 2019 tentang Perubahan atas Undang-Undang Nomor 1 Tahun 1974 tentang Perkawinan (UU Perkawinan) dan Pasal 1 ayat (1) Undang-Undang Nomor 35 Tahun 2014 tentang Perubahan ...

 

This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Dragon Mob Records – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (July 2007) (Learn how and when to remove ...

This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources.Find sources: Madrigal poetry – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (July 2008) Madrigal (Italian: madrigale) is the name of a form of poetry, the exact nature of which has never been decided in English.[1] Definition and Characteristics The Ne...

 

سير الملوكمعلومات عامةالمؤلف نظام الملك اللغة الفارسية العنوان الأصلي سیاست نامہ (بالفارسية) الموضوع علوم سياسية — فلسفة سياسية تاريخ الإصدار 1092 تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات الصفحة الأولى من الكتاب. سير الملوك (بالفارسية: سياست نامه، كتاب الحكومة) كتاب في الآداب...