Арройо выпускник футбольной академии клуба «Эмелек». В 2006 году он дебютировал за клуб в эквадорской Серии А. Он не смог пробиться в основу и через два года покинул команду. В 2009 году Майкл перешёл в «Депортиво Кито». В составе нового клуба Арройо уже в первом сезоне выиграл чемпионат Эквадора.
В 2010 году Майкл перешёл в мексиканский «Сан-Луис». 25 июля в матче против «Монтеррея» он дебютировал в мексиканской Примере[4]. 21 августа в поединке против «Эстудиантес Текос» Майкл забил свой первый гол за «Сан-Луис»[5]. В 2012 году Арройо перешёл в «Атланте». 8 января во встрече против «Гвадалахары» он дебютировал за новую команду[6]. В этом поединке он забил свой первый гол за команду из Канкуна. Летом того же года на правах аренды Майкл вернулся на родину в «Барселону» из своего родного города. Он помог клубу выиграть чемпионат после чего вернулся в «Атланте».
Летом 2014 года Майкл перешёл в столичную «Америку». Сумма трансфера составила 4 млн евро. 27 июля в матче против «Тихуаны» он дебютировал за клуб их Мехико, заменив во втором тайме Луиса Рея[7]. 20 октября в поединке против «Веракрус» Арройо забил свой первый гол за «Америку»[8]. В своём первом же сезоне он стал чемпионом Мексики. В 2015 году Майкл помог «Америке» впервые в истории выиграть Лигу чемпионов КОНКАКАФ. В 2016 году он во второй раз подряд стал победителем Лиги чемпионов КОНКАКАФ, забив гол в финале против УАНЛ Тигрес[9].
29 июня 2017 года перешёл в бразильский «Гремио»[10]. 31 июля в матче против «Сантоса» он дебютировал в бразильской Серии A[11]. До конца года сыграл в семи матчах бразильской Серии A, а также два раза попадал в заявку на матчи Кубка Либертадорес, выигранного командой 29 ноября, но на поле не выходил. В начале 2018 года Арройо вернулся в гуаякильскую «Барселону». В 2020 году он завершил карьеру, став чемпионом Эквадора.
В 2016 году Арройо во второй раз принял участие в Кубке Америки в США. На турнире он сыграл в матче против команды США[18]. В этом же поединке Майкл отметился голом.
.svg){kind=small}
