Vârf (curbă)

Acest articol se referă la niște puncte ale curbelor. Pentru alte sensuri, vedeți vârf.
O elipsă (cu roșu) și evoluta sa (cu albastru). Punctele sunt vârfurile curbei (elipsei), fiecare corespunzând unui Punct de întoarcere al evolutei

În geometria curbelor plane, un vârf este un punct în care prima derivată a curburii este zero.[1] Acesta este de obicei un maxim sau minim al curburii,[2] iar unii autori definesc mai precis un vârf ca fiind un punct extrem local al curburii.[3] Totuși, pot apărea și alte cazuri particulare, de exemplu atunci când derivata a doua este și ea zero, sau când curbura este constantă. Pe de altă parte, la curbele în spațiu, un vârf este un punct în care torsiunea este nulă (dispare).

Exemple

O hiperbolă are două vârfuri, câte unul pe fiecare ramură; sunt cele mai apropiate dintre oricare două puncte situate pe ramuri opuse ale hiperbolei și se află pe axa principală. Pe o parabolă, singurul vârf se află pe axa de simetrie și într-o expresie de gradul al doilea de forma:

poate fi găsit prin completarea pătratului⁠(d) sau prin derivare.[2] Pe o elipsă, două dintre cele patru vârfuri se află pe axa majoră și două pe axa minoră.[4]

La un cerc, care are curbura constantă, orice punct este un vârf.

Puncte de întoarcere și cercuri osculatoare

Vârfurile sunt puncte în care curba are contact în 4 puncte cu cercul osculator în acel punct.[5][6] Prin contrast, punctele generice de pe o curbă au de obicei doar contact în 3 puncte cu cercul lor osculator. Generic, evoluta unei curbe va avea un punct de întoarcere când curba are un vârf;[6] alte singularități mai degenerate și mai stabile pot apărea la vârfuri de ordin superior, unde cercul osculator are un contact de ordin mai mare decât patru.[5] Deși o singură curbă generică nu va are vârfuri de ordin superior, generic acestea vor apărea într-o familie de curbe cu un parametru, la curba din familie la care două vârfuri generice se unesc pentru a forma un vârf superior și apoi se anihilează.

Mulțimea simetricelor unei curbe are puncte de capăt în punctele de întoarcere corespunzătoare vârfurilor, iar axa mediană, o submulțime a mulțimii simetricelor, are și ea punctele de capăt în punctele de întoarcere.

Alte proprietăți

Conform clasicei teoreme ale celor patru vârfuri⁠(d), fiecare curbă plană simplă netedă și închisă trebuie să aibă cel puțin patru vârfuri.[7] Un fapt mai general este că fiecare curbă simplă în spațiu închisă care se află pe frontiera unui corp convex, sau chiar mărginește un disc local convex, trebuie să aibă patru vârfuri.[8] Orice curbă de lățime constantă⁠(d) trebuie să aibă cel puțin șase vârfuri.[9]

Dacă o curbă plană este simetrică bilateral, aceasta va avea un vârf în punctul sau punctele în care axa de simetrie intersectează curba. Astfel, noțiunea de vârf al unei curbe este strâns legată de punctul în care o axă optică traversează suprafața unei lentile.

Note

  1. ^ Agoston (2005), p. 570; Gibson (2001), p. 126.
  2. ^ a b Gibson (2001), p. 127.
  3. ^ Fuchs & Tabachnikov (2007), p. 141.
  4. ^ Agoston (2005), p. 570; Gibson (2001), p. 127.
  5. ^ a b Gibson (2001), p. 126.
  6. ^ a b Fuchs & Tabachnikov (2007), p. 142.
  7. ^ Agoston (2005), Theorem 9.3.9, p. 570; Gibson (2001), Section 9.3, "The Four Vertex Theorem", pp. 133–136; Fuchs & Tabachnikov (2007), Theorem 10.3, p. 149.
  8. ^ Sedykh (1994); Ghomi (2015)
  9. ^ Martinez-Maure (1996); Craizer, Teixeira & Balestro (2018)

Bibliografie

  • en Agoston, Max K. (), Computer Graphics and Geometric Modelling: Mathematics, Springer, ISBN 9781852338176 .
  • en Craizer, Marcos; Teixeira, Ralph; Balestro, Vitor (), „Closed cycloids in a normed plane”, Monatshefte für Mathematik, 185 (1): 43–60, arXiv:1608.01651Accesibil gratuit, doi:10.1007/s00605-017-1030-5, MR 3745700 .
  • en Fuchs, D. B.; Tabachnikov, Serge (), Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 9780821843161 
  • en Ghomi, Mohammad (), Boundary torsion and convex caps of locally convex surfaces, arXiv:1501.07626Accesibil gratuit, Bibcode:2015arXiv150107626G 
  • en Gibson, C. G. (), Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, ISBN 9780521011075 .
  • en Martinez-Maure, Yves (), „A note on the tennis ball theorem”, American Mathematical Monthly, 103 (4): 338–340, doi:10.2307/2975192, JSTOR 2975192, MR 1383672 .
  • en Sedykh, V.D. (), „Four vertices of a convex space curve”, Bull. London Math. Soc., 26 (2): 177–180 

Read other articles:

DiemenMunisipalitasRumah tua di Diemen BenderaLambang kebesaranLokasi DiemenNegaraBelandaProvinsiHolland UtaraPemerintahan • Wali kotaAmy Koopmanschap (GroenLinks)Luas • Total14,03 km2 (542 sq mi) • Luas daratan12,02 km2 (464 sq mi) • Luas perairan2,01 km2 (78 sq mi)Populasi • Total24.630 • Kepadatan1.756/km2 (4,550/sq mi)Zona waktuUTC+1 (CET) • Musim panas (DS...

 

Terdapat delapan ibu kota di Australia, kesemuanya berfungsi di tingkat sub-nasional level. Canberra juga berperan sebagai ibu kota negara. Melbourne pernah menjadi ibu kota negara sejak Federasi Australia tahun 1901 hingga 1927, ketika kedudukan pemerintah negara dipindahkan ke kota baru Canberra. Di setiap ibu kota, tugas lembaga yudisial, administratif dan legislatif lokal dilaksanakan untuk yurisdiksi. Mengenai ibu kota negara bagian dan teritori, kesemuanya juga merupakan kota terpadat d...

 

Untuk orang lain dengan nama yang sama, lihat David Gross. David Gross David Jonathan Gross (lahir 19 Februari 1941) adalah seorang fisikawan Amerika Serikat dan teoretis string. Bersama dengan Frank Wilczek dan David Politzer, dia dianugrahkan penghargaan Penghargaan Nobel dalam Fisika 2004 untuk penemuan kebebasan asimtotik. Pada 1973 Gross bekerja dengan mahasiswa pasca-sarjananya yang pertama, Frank Wilczek, di Universitas Princeton, menemukan kebebasan asimtotik, yang memegang bahwa quar...

Portuguese general, admiral, and statesman (1453–1515) Afonso de Albuquerque2nd Viceroy of Portuguese IndiaIn office4 November 1509 – 8 September 1515MonarchManuel IPreceded byFrancisco de AlmeidaSucceeded byLopo Soares de Albergaria Personal detailsPronunciationPortuguese: [ɐˈfõsu ði alβuˈkɛɾkɨ]BornAfonso de Albuquerquec. 1453Alhandra, Kingdom of PortugalDied16 December 1515 (aged c. 62)Goa, Portuguese India, Portuguese Empire (now in India)ChildrenB...

 

Santo PausGelasius IAwal masa kepausan492Akhir masa kepausan19 November 496PendahuluFelix IIIPenerusAnastasius IIInformasi pribadiNama lahirGelasiusLahirtidak diketahuiRoma, ItaliaWafat19 November 496Roma, ItaliaPaus lainnya yang bernama Gelasius Paus Gelasius I (???-19 November 496) adalah Paus Gereja Katolik Roma sejak tahun 492 hingga 19 November 496). Dalam sejarah Katolik, ia dikenal sebagai paus yang berasal dari Afrika (tepatnya Kabilia). Sebelum menjabat sebagai Paus, Gelasius bekerja...

 

Untuk film yang didasarkan pertempuran ini, lihat pula Chibi (film) Artikel ini bukan mengenai ChiBi. Pertempuran ChibiBagian dari perang pada saat berakhirnya Dinasti HanUkiran pada sisi tebing yang menandakan salah satu situs Chibi yang diterima luas, dekat Kota Chibi saat ini, Hubei. Ukiran ini sedikitnya berusia seribu tahun.TanggalMusim dingin 208 SM (Belahan Bumi Utara)LokasiDekat Sungai Yangtze, Tiongkok.Lokasi yang tepat diperdebatkan. Disebut sebagai Chibi (Tebing Merah), di tepi sel...

МечетьСалаватская соборная мечетьбашк. Салауат йәмиғ мәсете 53°21′08″ с. ш. 55°56′59″ в. д.HGЯO Страна  Россия Город Салават Конфессия ислам Строительство 1985—2004 годы Состояние действующая  Медиафайлы на Викискладе Соборная Мечеть Масжид Ан-Наби (башк. Са...

 

American basketball player (born 1965) Mitch RichmondRichmond in 2010Personal informationBorn (1965-06-30) June 30, 1965 (age 58)Fort Lauderdale, Florida, U.S.Listed height6 ft 5 in (1.96 m)Listed weight220 lb (100 kg)Career informationHigh schoolBoyd Anderson(Lauderdale Lakes, Florida)College Moberly Area CC (1984–1986) Kansas State (1986–1988) NBA draft1988: 1st round, 5th overall pickSelected by the Golden State WarriorsPlaying career1988–2002PositionSho...

 

GJB2 التراكيب المتوفرة بنك بيانات البروتينOrtholog search: PDBe RCSB قائمة رموز معرفات بنك بيانات البروتين 2ZW3, 3IZ1, 3IZ2, 5ERA, 5ER7 المعرفات الأسماء المستعارة GJB2, CX26, DFNA3, DFNA3A, DFNB1, DFNB1A, HID, KID, NSRD1, PPK, gap junction protein beta 2, BAPS معرفات خارجية الوراثة المندلية البشرية عبر الإنترنت 121011 MGI: MGI:95720 HomoloGene: 2975 GeneCards:...

Palais royal de QueluzPalácio Real de QueluzLa façade de cérémonie du palais de Queluz, édifice de caractère néo-classique, avec une fontaine rococo au premier plan.PrésentationType Palais royalStyle Style rococoArchitecte Mateus Vicente de OliveiraConstruction 1747Commanditaire Pierre III de PortugalPropriétaire État portugaisPatrimonialité Monument national (1910)[1].Site web www.pnqueluz.imc-ip.ptLocalisationPays PortugalCommune Queluz (Sintra)Coordonnées 38° 45′ 0...

 

Lima solaReformasi Protestan Sola scriptura Sola fide Sola gratia Solus Christus Soli Deo glorialbs Martin Luther, pencetus sola scriptura Bagian dari seri tentangGereja LutheranMawar Luther Concordia Pengakuan Iman Rasuli Pengakuan Iman Nicea Pengakuan Iman Atanasius Pengakuan Iman Augsburg Apologia Pengakuan Iman Augsburg Katekismus Besar Katekismus Kecil Pokok-Pokok Iman Schmalkalden Risalah Tentang Kewenangan dan Keutamaan Paus Rumusan Concordia Teologi Teologi Martin Luther Pembenaran Hu...

 

此條目可能包含不适用或被曲解的引用资料,部分内容的准确性无法被证實。 (2023年1月5日)请协助校核其中的错误以改善这篇条目。详情请参见条目的讨论页。 各国相关 主題列表 索引 国内生产总值 石油储量 国防预算 武装部队(军事) 官方语言 人口統計 人口密度 生育率 出生率 死亡率 自杀率 谋杀率 失业率 储蓄率 识字率 出口额 进口额 煤产量 发电量 监禁率 死刑 国债 ...

Historical event Bombing of VicenzaPart of World War IIA bomb-damaged street in VicenzaDateDecember 1943-April 1945LocationVicenza, ItalyBelligerents  United States United Kingdom  Italian Social Republic The bombing of Vicenza was a series of attacks by the United States Army Air Force and the Royal Air Force on the Italian city of Vicenza, Veneto, during World War II. The purpose of these raids was to disable the city's marshalling yard and airport, but the bombing also cause...

 

Georg Henrik von Wright Georg Henrik von Wright en 1972Información personalNacimiento 14 de junio de 1916HelsinkiFallecimiento 16 de junio de 2003Helsinki (Finlandia) Nacionalidad FinlandesaCiudadanía  FinlandiaLengua materna Sueco FamiliaFamiliares Hermano de Marianne Frankenhaeuser, catedrática en psicologíaEducaciónEducado en Universidad de HelsinkiSupervisor doctoral Eino Kaila Información profesionalOcupación filósofoEmpleador Universidades de Helsinki, Cambridge y CornellEs...

 

第三十二届夏季奥林匹克运动会女子53公斤級自由式摔跤比賽比賽場館千葉市幕張展覽館日期2021年8月5日至6日参赛选手16位選手,來自16個國家和地區奖牌获得者01 ! 向田真优  日本02 ! 庞倩玉  中国03 ! 娃涅萨·卡拉济恩斯卡娅  白俄罗斯03 ! Bat-Ochiryn Bolortuyaa(英语:Bat-Ochiryn Bolortuyaa)  蒙古← 20162024 → 2020年夏季奥林匹克运动会摔跤比�...

Hutan gugur daun tropika di Trinidad dan Tobago di musim kemarau Bermula dari Hutan gugur daun tropika, hutan musim tropika atau hutan monsun (monsoon forest) adalah suatu bioma berupa hutan di wilayah tropika dan subtropika yang memiliki iklim hangat sepanjang tahun, namun mengalami musim kering (kemarau) yang nyata. Hutan Monsoon Tropis umumnya mempunyai curah hujan yang tinggi. Namun, curah hujan tersebut terkonsentrasi pada beberapa bulan saja dan mempunyai musim kemarau yang nyata. Hutan...

 

Set genes encoding proteins and enzymes for lactose metabolism The lactose operon (lac operon) is an operon required for the transport and metabolism of lactose in E. coli and many other enteric bacteria. Although glucose is the preferred carbon source for most enteric bacteria, the lac operon allows for the effective digestion of lactose when glucose is not available through the activity of β-galactosidase.[1] Gene regulation of the lac operon was the first genetic regulatory mechan...

 

徐巧芯 中華民國第11屆立法委員现任就任日期2024年2月1日 前任費鴻泰选区臺北市第七選舉區 臺北市議會第13-14屆議員任期2018年12月25日—2024年1月31日辭職 选区第三選舉區(松山區、信義區) 个人资料出生徐美鳳 (1989-11-18) 1989年11月18日(34歲) 中華民國臺北市国籍 中華民國政党 中國國民黨配偶劉彥澧(2018年结婚)居住地臺北市信義區母校國立政治大學政治...

C4は、フランスの自動車メーカーシトロエンが製造する中型乗用車で、欧州規格のボディサイズはCセグメントである。 概要 2004年9月のパリモーターショーで公開、同年11月発売。クサラの後継車として開発され、PSAグループのプジョー・307とはプラットフォームやエンジンなどの基本コンポーネントを共有している。 フロントグリルはダブルシェブロン(やまば歯車)�...

 

Senegalia ferrugineaTình trạng bảo tồnSắp nguy cấp  (IUCN 2.3)Phân loại khoa họcGiới (regnum)Plantae(không phân hạng)Angiospermae(không phân hạng)Eudicots(không phân hạng)RosidsBộ (ordo)FabalesHọ (familia)FabaceaeChi (genus)SenegaliaLoài (species)S. ferrugineaDanh pháp hai phầnSenegalia ferruginea(DC.) Pedley Danh pháp đồng nghĩa Acacia ferruginea DC. Senegalia ferruginea là một loài rau đậu thuộc họ Fabaceae. Loài này chỉ có ở...