Punct de întoarcere

Punct de întoarcere în (0, 1/2)

În matematică, un punct de întoarcere,[1][2] este un punct de pe o curbă unde un punct în mișcare trebuie să-și inverseze direcția. Un exemplu tipic este dat în figura alăturată. Un punct de întoarcere este astfel un tip de punct singular al unei curbe.

Pentru o curbă plană definită analitic printr-o ecuație parametrică

un punct de întoarcere este un punct în care ambele derivate ale lui f și g sunt zero, iar derivata direcțională, în direcția tangentei, își schimbă semnul (direcția tangentei este direcția pantei,  ). Punctele de întoarcere sunt singularități locale în sensul că implică o singură valoare a parametrului t, spre deosebire de punctele de autointersectare care implică mai multe valori. În unele contexte, condiția asupra derivatei direcționale poate fi omisă, deși în acest caz singularitatea poate arăta ca un punct regulat.

Pentru o curbă definită printr-o ecuație implicită

care este netedă⁠(d), punctele de întoarcere sunt punctele în care termenii de cel mai mic grad ai dezvoltării în serie Taylor a lui F sunt o putere a unui polinom liniar. Totuși, nu toate punctele singulare care au această proprietate sunt puncte de întoarcere. Teoria seriilor Puiseux⁠(d) implică faptul că dacă F este o funcție analitică (de exemplu un polinom), o schimbare liniară a coordonatelor permite curba să fie parametrizată într-o vecinătate a punctului de întoarcere ca

unde a este un număr real, m este un întreg par pozitiv, iar S(t) este o serie de puteri de ordinul k mai mare decât m. Numărul m este uneori numit ordinul sau multiplicitatea punctului de întoarcere și este egal cu gradul părții nenule de gradul cel mai mic a lui F. În unele contexte definiția unui punct de întoarcere este limitată la cazul punctelor de întoarcere de ordinul doi, adică cazul în care m = 2.

Definițiile pentru curbele plane și curbele definite implicit au fost generalizate de René Thom și Vladimir Arnold la curbele definite prin funcții derivabile: o curbă are un punct de întoarcere într-un punct dacă există un difeomorfism al unei vecinătăți a punctului din spațiul ambiant, care aplică curba pe unul dintre punctele de întoarcere definite mai sus.

Clasificarea în geometria diferențială

Fie o funcție reală netedă de două variabile, f (x, y) unde x și y sunt numere reale. Deci f este o funcție care aplică un plan pe o linie. Spațiul tuturor acestor funcții netede acționează asupra grupului de difeomorfisme ale planului și difeomorfismele dreptei, adică modificări difeomorfe ale coordonatelor atât la sursă cât și la țintă. Această acțiune împarte întregul spațiu funcțional în clase de echivalență⁠(d), adică orbite ale unei acțiuni de grup⁠(d).

O astfel de familie de clase de echivalență este notată unde k este un număr întreg nenegativ. Se spune că o funcție f este de tip dacă se află pe orbita lui adică există o schimbare difeomorfă a coordonatei în sursă și țintă care coespunde uneia dintre aceste forme ale lui f. Se spune că aceste forme simple dau forme normale⁠(d) pentru singularitățile de tipul . Se observă că sunt aceleași cu deoarece schimbarea difeomorfă a coordonatei din sursă ia la Deci se poate elimina ± din notația .

Exemple

Un punct de întoarcere în parabola semicubică
  • Un punct de întoarcere ordinar este dat de adică mulțimea de nivel zero a singularităților de tip A2. Fie f (x, y) o funcție netedă de x și y și să presupunem, pentru simplitate, că f (0, 0) = 0. Atunci, o singularitate de tip A2 a lui f în (0, 0) poate fi caracterizată prin:
    1. Are o parte pătratică degenerată, adică termenii pătratici din seria Taylor a lui f formează un pătrat perfect, de exemplu L(x, y)2, unde L(x, y) este liniar în x și y, și
    2. L(x, y) nu divide termenii cubici din seria Taylor a lui f (x, y).
  • Un punct de întoarcere ramfoid (din greacă ράμφος = cioc) a desemnat inițial un punct de întoarcere la care ambele ramuri erau de aceeași parte a tangentei, cum ar fi curba ecuației Deoarece o astfel de singularitate se află în aceeași clasă diferențială ca și punctul de întoarcere al ecuației care este o singularitate de tip A4, termenul a fost extins la toate singularitățile de acest fel. Punctele de întoarcere ordinare și ramfoide nu sunt difeomorfe. O formă parametrică este

Pentru o singularitate de tip A4 este nevoie ca f să aibă o parte pătratică degenerată (aceasta dă tipul A≥2, căci L trebuie să dividă termenii cubici (aceasta dă tipul A≥3), altă condiție de divizibilitate (dând tipul A≥4) și o condiție finală de nedivizibilitate (dând exact tipul A4).

Pentru a vedea de unde provin aceste condiții suplimentare de divizibilitate, să presupunem că f are o parte pătratică degenerată L2 și că L divide termenii cubici. Rezultă că seria Taylor de ordinul trei a lui f este dată de unde Q este pătratică în x și y. Se poate completa pătratul⁠(d) pentru a arăta că Acum se poate face o schimbare difeomorfă de variabilă (în acest caz pur și simplu se înlocuiesc polinoame cu părți liniare independente liniar⁠(d)) astfel încât unde P1 este polinom de gradul al patrulea în x1 și y1. Condiția de divizibilitate pentru tipul A≥4 este aceea că x1 divide P1. Dacă x1 nu divide P1 atunci se obține exact tipul A3 (mulțimea de nivel zero aici este un punct de osculație). Dacă x1 divide P1, se completează pătratul și se schimbă coordonatele astfel încât să existe unde P2 este polinom de gradul al cincilea în x2 și y2. Dacă x2 nu divide P2 atunci se obține exact tipul A4, adică mulțimea de nivel zero va fi un punct de întoarcere ramfoid.

Aplicații

Punctele de întoarcere apar în mod natural atunci când se proiectează pe un plan o curbă netedă din spațiul euclidian tridimensional. În general, o astfel de proiecție este o curbă ale cărei singularități sunt puncte de autointersectare și puncte de întoarcere obișnuite. Punctele de autointersectare apar atunci când două puncte diferite ale curbei au aceeași proiecție. Punctele de întoarcere apar atunci când tangenta la curbă este paralelă cu direcția de proiecție (adică atunci când tangenta se proiectează într-un singur punct). Singularități mai complicate apar atunci când mai multe fenomene apar simultan. De exemplu, punctele de întoarcere ramfoide apar în puncte de inflexiune (și în puncte de ondulare) pentru care tangenta este paralelă cu direcția de proiecție.

Note

  1. ^ Paul Georgescu, Elemente de calcul diferențial (curs, p. 197), Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași, accesat 2023-05-16
  2. ^ Analiză matematică XI (probleme propuse pentru admitere), Universitatea Politehnica Timișoara, 2006, p. 247, accesat 2023-05-16

Bibliografie

Vezi și

Legături externe

Read other articles:

Peppa PigGenre Prasekolah Pembuat Neville Astley Mark Baker Ditulis oleh Neville Astley Mark Baker Phillip Hall Sutradara Neville Astley Mark Baker Phillip Hall (2011) Joris van Hulzen (2011) Pemeran Lily Snowden-Fine (2004) Cecily Bloom (2006–2007) Harley Bird (2007–present) John Sparkes Morwenna Banks Richard Ridings Oliver May Alice May David Graham Frances White David Rintoul Hazel Rudd (2004) Daisy Rudd Bethan Lindsay (2006–2007) Meg Hall George Woolford Harrison Oldroyd Sian Tayl...

 

Model ruang terisi ferosena, tipikal senyawa sandwich Dalam kimia organologam, sebuah senyawa apit adalah senyawa kimia yang menampilkan logam yang diikat oleh ikatan kovalen haptik pada dua ligan arena. Arena memiliki rumus kimia CnHn, dan turunan tersubstitusinya (misalnya Cn(CH3)n) dan turunan heterosiklik (misalnya BCnHn+1). Oleh karena logam biasanya berada di antara dua cincin, maka logamnya disebut ter-apit. Kelompok khusus kompleks apit adalah metalosena. Istilah senyawa apit diperken...

 

Halston SageLahirHalston Jean Schrage[1][butuh sumber yang lebih baik]10 Mei 1993 (umur 30)Los Angeles, California, Amerika SerikatPekerjaanAktrisTahun aktif2011–sekarang Halston Jean Schrage (lahir 10 Mei 1993)[2] lebih dikenal dengan nama panggungnya Halston Sage, adalah seorang aktris asal Amerika Serikat. Dia dikenal karena perannya sebagai Grace di serial televisi Nickelodeon, How to Rock, sebagai Amber di serial televisi NBC, Crisis dan sebagai Lacey...

Questa voce o sezione sull'argomento Lombardia non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. BrianzaIl lago di Annone e il monte Barro Stati Italia Regioni Lombardia (CO, LC, MB, MI) TerritorioTutta la provincia di Monza e della Brianza, la parte meridionale della provincia di Lecco, la pa...

 

Studio BattagliaPaeseItalia Anno2022 – in produzione Formatoserie TV Generecommedia drammatica, giudiziario Stagioni2 Episodi14 Durata50 min (episodio) Lingua originaleitaliano Rapporto1,78:1 CreditiRegiaSimone Spada Soggetto dalla serie britannica The Split soggetto di Lisa Nur Sultan SceneggiaturaLisa Nur Sultan, Federico Baccomo Interpreti e personaggi Barbora Bobuľová: Anna Battaglia Lunetta Savino: Marina Di Marco Miriam Dalmazio: Nina Battaglia Giorgio Marchesi: Massimo Munari M...

 

Dani Fahrizal Sucipto (lahir Garut, 31 Desember 1994) merupakan seorang Musisi dan Visual Effects Artist Project Manager di Bstudios. Kehidupan Awal Dani Fahrizal Sucipto, 2023 Dani Fahrizal Sucipto atau biasa dikenal dengan panggilan Dani ini dilahirkan di Garut, Jawa Barat pada 31 Desember 1994. Ia merupakan anak sulung dari empat bersaudara, dari pasangan Cipto Sugiarto dengan Atie Sulastri yang keturunan Sunda. Ketiga saudaranya bernama Billy Ramadhan Sucipto, Tiara Sherlyn Sucipto d...

Book by L. Frank Baum Father Goose: His Book First editionAuthorL. Frank BaumIllustratorW. W. DenslowCountryUnited StatesLanguageEnglishGenreChildren's literature Humor, FantasyPublisherGeorge M. Hill CompanyPublication date1899Media typePrint (Hardcover)Pages106 pp. Father Goose: His Book is a collection of nonsense poetry for children, written by L. Frank Baum and illustrated by W. W. Denslow, and first published in 1899. Though generally neglected a century later, the book was a groun...

 

У этого термина существуют и другие значения, см. Апостол Пётр (значения). Запрос «Святой Пётр» перенаправляется сюда; см. также другие значения. У этого термина существуют и другие значения, см. Кифа. Апостол ПётрСимон, сын Ионин Святой Пётр,икона VI века.Монастырь Святой...

 

Association football club in Wales Football clubGresford AthleticFull nameGresford Athletic Football ClubNickname(s)The ColliersThe AtticsFounded1946; 78 years ago (1946)GroundThe Rock,Rhosymedre, WrexhamCapacity3,000 (500 seated)ChairmanJulian DaviesManagerEddie Maurice-JonesLeagueCymru North2022–23Cymru North, 10th of 16WebsiteClub website Home colours Away colours Gresford Athletic Football Club is a football team based in Gresford, near Wrexham, Wales. They are members...

Israeli-Palestinian anti-occupation organization This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or tertiary sources. Find sources: Coalition of Women for Peace – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2011) (Learn how and when to remove this message) Coalition of Women for PeaceAbbreviationCWPFounded2000[1]TypeNon-profitNGOFocusbringing together women from a wide varie...

 

هنودمعلومات عامةنسبة التسمية الهند التعداد الكليالتعداد قرابة 1.21 مليار[1][2]تعداد الهند عام 2011ق. 1.32 مليار[3]تقديرات عام 2017ق. 30.8 مليون[4]مناطق الوجود المميزةبلد الأصل الهند البلد الهند  الهند نيبال 4,000,000[5] الولايات المتحدة 3,982,398[6] الإمار...

 

Indian religion Buddhadharma and Buddhist redirect here. For the magazine, see Buddhadharma: The Practitioner's Quarterly. For the racehorse, see Buddhist (horse). Part of a series onBuddhism Glossary Index Outline History Timeline The Buddha Pre-sectarian Buddhism Councils Silk Road transmission of Buddhism Decline in the Indian subcontinent Later Buddhists Buddhist modernism DharmaConcepts Four Noble Truths Noble Eightfold Path Dharma wheel Five Aggregates Impermanence Suffering Not-self De...

Glacial erosion of bedrock Zone of plucking in the formation of tarns and cirques Glacially-plucked granitic bedrock near Mariehamn, Åland Plucking, also referred to as quarrying, is a glacial phenomenon that is responsible for the weathering and erosion of pieces of bedrock, especially large joint blocks. This occurs in a type of glacier called a valley glacier. As a glacier moves down a valley, friction causes the basal ice of the glacier to melt and infiltrate joints (cracks) in the bedro...

 

Uruguayan footballer (born 1992) In this Spanish name, the first or paternal surname is Luna and the second or maternal family name is Retamar. Adrián Luna Luna with Kerala Blasters in 2021Personal informationFull name Adrián Nicolás Luna RetamarDate of birth (1992-04-12) 12 April 1992 (age 32)Place of birth Tacuarembó, UruguayHeight 1.69 m (5 ft 7 in)Position(s) Attacking midfielder, winger, forwardTeam informationCurrent team Kerala BlastersNumber 10Youth car...

 

Airport in Utah, United StatesProvo AirportIATA: PVUICAO: KPVUFAA LID: PVUSummaryAirport typePublicOwnerCity of ProvoServesSalt Lake City metropolitan areaLocationProvo, UtahUnited StatesOperating base forAllegiant AirBreeze AirwaysTime zoneMountain Time Zone (UTC-07:00 MST UTC-06:00 MDT)Elevation AMSL4,497 ft / 1,370.7 mCoordinates40°13′09.1″N 111°43′24.1″W / 40.219194°N 111.723361°W / 40.219194; -111.723361Websitehttp://flyprovo.comMapsFAA ...

Conflict from 1983 to 2005 for South Sudanese independence Second Sudanese Civil WarPart of the Sudanese civil warsSudan People's Liberation Army (SPLA) guerrillas celebrate around a disabled T-55 tank.Date5 June 1983 – 9 January 2005 (21 years, 7 months and 4 days)LocationBlue Nile, Nuba Mountains, Southern SudanResult Stalemate[27] Comprehensive Peace Agreement Eastern Sudan Peace Agreement Independence of the Republic of South Sudan following a 2011 referendum Unre...

 

Dutch badminton player (born 1985) In this Dutch name, the surname is van Dooremalen, not Dooremalen. Badminton playerPaulien van DooremalenPersonal informationCountryNetherlandsBorn (1985-07-04) 4 July 1985 (age 39)Deventer, NetherlandsHeight1.70 m (5 ft 7 in)HandednessRightWomen's & mixed doublesHighest ranking10 (WD 2 December 2010)23 (XD 15 October 2009) Medal record Women's badminton Representing  Netherlands Uber Cup 2006 Sendai & Tokyo Women's team Euro...

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada November 2022. Johann Durand Informasi pribadiNama lengkap Johann DurandTanggal lahir 17 Juni 1981 (umur 43)Tempat lahir Évian-les-Bains, PrancisTinggi 1,82 m (5 ft 11+1⁄2 in)Posisi bermain Penjaga gawangInformasi klubKlub saat ini EvianNo...

1971 German Grand Prix Race detailsDate 1 August 1971Official name XXXIII Großer Preis von DeutschlandLocation Nürburgring, Nürburg, West GermanyCourse Permanent racing facilityCourse length 22.835 km (14.189 miles)Distance 12 laps, 274.02 km (170.268 miles)Pole positionDriver Jackie Stewart Tyrrell-FordTime 7:19.0Fastest lapDriver François Cevert Tyrrell-FordTime 7:20.1PodiumFirst Jackie Stewart Tyrrell-FordSecond François Cevert Tyrrell-FordThird Clay Regazzoni Ferrari Lap leaders Mot...

 

喬治四世George IV由托馬斯·勞倫斯爵士繪於1822年聯合王國國王漢諾威國王統治1820年1月29日-1830年6月26日(10年148天)加冕1821年7月19日(1821歲—07—19)(58歲)前任喬治三世繼任威廉四世出生(1762-08-12)1762年8月12日 英國英格兰伦敦聖詹姆士宮逝世1830年6月26日(1830歲—06—26)(67歲) 英國英格兰伯克郡溫莎堡安葬1830年7月15日溫莎堡聖喬治禮拜堂配偶不伦瑞克的卡羅琳子嗣�...