Evolută

Evoluta parabolei (cu albastru) este locul geometric al centrelor de curbură ale sale (cu roșu)
Evoluta acestei elipse este anvelopa normalelor la ea

În geometria diferențială a curbelor, evoluta unei curbe este locul geometric al tuturor centrelor de curbură. Adică, atunci când se trasează centrul de curbură al fiecărui punct de pe o curbă, forma rezultată va fi evoluta acelei curbe. Prin urmare, evoluta unui cerc este un singur punct, centrul său.[1] Echivalent, o evolută este anvelopa normalelor la o curbă.

Evolutele sunt strâns legate de evolvente: o curbă este evoluta oricărei evolvente a sa.

Istoric

Apoloniu din Perga (c. 200 î.Hr.) a discutat despre evolute în Cartea a V-a din Koniká (Conice). Totuși, Christiaan Huygens este uneori considerat că a fost primul care le-a studiat (1673). Huygens și-a formulat teoria evolutelor cândva în jurul anului 1659 pentru a ajuta la rezolvarea problemei găsirii curbei tautocrone, care, la rândul ei, l-a ajutat să construiască un pendul izocron. Acest lucru se datorează faptului că curba tautocronă este o cicloidă, iar cicloida are proprietatea unică că evoluta sa este și ea o cicloidă. Teoria evolutelor i-a permis lui Huygens să obțină multe rezultate care vor fi găsite ulterior folosind calculul infinitezimal.[2]

Evoluta unei curbe parametrice

Dacă este reprezentarea parametrică a unei curbe regulate în plan cu curbura nenulă peste tot, cu raza de curbură și versorul normal îndreptată spre centrul de curbură, atunci

descrie evoluta curbei date.

Pentru și se obține

și

.

Proprietățile evolutei

Normala în punctul P este tangenta în centrul de curbură C

Pentru a obține proprietățile unei curbe regulate este avantajos să se folosească lungimea arcului⁠(d) al curbei date ca parametru, din cauza și (v. formulele Frenet–Serret). Prin urmare, vectorul tangent al evolutei este:

Din această ecuație se obțin următoarele proprietăți ale evolutei:

  • În punctele cu evoluta este neregulată. Asta înseamnă că în punctele cu curbură maximă sau minimă (vârfuri ale curbei date) evoluta are puncte de întoarcere. (V. sus evoluta unei elipse.)
  • Pentru orice arc al evolutei care nu are un punct de întoarcere lungimea arcului este egală cu diferența dintre razele de curbură de la capetele sale. Acest fapt duce la o demonstrație ușoară a teoremei Tait–Kneser⁠(d) privind imbricarea cercurilor osculatoare.[3]
  • Normalele curbei date în puncte de curbură diferită de zero sunt tangente la evolută, iar normalele curbei în punctele de curbură zero sunt asimptote ale evolutei. Prin urmare: evoluta este anvelopa normalelor curbei date.
  • La secțiunile curbei cu sau , curba este o evolventă a evolutei sale. (În imagine: parabola albastră este o evolventă a parabolei roșii semicubice, care este evoluta parabolei albastre.)
  • Curbele paralele au aceeași evolută.

Exemple

Evoluta unei parabole

Pentru parabola cu reprezentarea parametrică din formulele de mai sus se obțin ecuațiile:

care reprezintă o parabolă semicubică.

Evoluta (cu roșu a) unei elipse

Evoluta unei elipse

Pentru elipsa cu reprezentarea parametrică se obține:[4]

Acestea sunt ecuațiile unei astroide nesimetrice. Eliminarea parametrului duce la reprezentarea implicită

O cicloidă (cu albastru), cercul său osculator (cu roșu) și evoluta sa (cu verde)

Evoluta unei cicloide

Pentru cicloida cu reprezentarea parametrică evoluta va fi:[5]

care este o copie a ei însăși.

Note

  1. ^ en Eric W. Weisstein, Circle Evolute la MathWorld.
  2. ^ en Yoder, Joella G. (). Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature. Cambridge University Press. 
  3. ^ en Ghys, Étienne; Tabachnikov, Sergei; Timorin, Vladlen (). „Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem”. The Mathematical Intelligencer. 35 (1): 61–66. arXiv:1207.5662Accesibil gratuit. doi:10.1007/s00283-012-9336-6. MR 3041992. 
  4. ^ de R.Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band 1, Springer-Verlag, 1955, S. 268.
  5. ^ en Eric W. Weisstein, Cycloid Evolute la MathWorld.

Bibliografie

Read other articles:

Gerbang Kleopatra (Turkish: Kleopatra Kapısıcode: tr is deprecated ) Gerbang Kleopatra adalah sebuah gerbang kota Tarsus, di Provinsi Mersin, Turki, yang mengambil nama dari ratu Mesir Kleopatra VII. Tinggi luar gerbang tersebut adalah 853 meter (2.799 ft) dan tinggi dalamnya adalah 617 meter (2.024 ft). Panjang perlintasan tersebut adalah 648 meter (2.126 ft) [1] Referensi ^ İçel, (Pub. by Mersin City council) 1992, p 34 Koordinat: 36°54′46.9″N 34°53′31.4�...

 

 

artikel ini tidak memiliki pranala ke artikel lain. Tidak ada alasan yang diberikan. Bantu kami untuk mengembangkannya dengan memberikan pranala ke artikel lain secukupnya. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini) Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Januari 2023. Berkas:1019...

 

 

PsikologiGreek letter 'psi' Garis besar Sejarah Cabang Dasar ilmu Abnormal Eksperimental Evolusi Kepribadian Kognitif Matematika Neuropsikologi Neurosains perilaku Perkembangan Positif Psikofisik Sosial Terapan Forensik Kesehatan Klinis Industri dan organisasi Pendidikan Okupasi kesehatan Olahraga Sekolah Daftar Ikhtisar Publikasi Terapi Topik  Portal Psikologilbs Psikologi abnormal adalah salah satu cabang psikologi yang berupaya untuk memahami pola perilaku abnormal dan cara menolo...

Coppa Italia Dilettanti 1990-1991 Competizione Coppa Italia Dilettanti Sport Calcio Edizione 25ª Organizzatore Lega Nazionale Dilettanti Date dal 23 agosto 1990al 23 giugno 1991 Luogo  Italia Formula Eliminazione diretta Risultati Vincitore Savona(1º titolo) Secondo Sestrese Semi-finalisti Avezzano e Castrovillari Cronologia della competizione 1989-1990 1991-1992 Manuale La Coppa Italia Dilettanti 1990-1991 è stata la 25ª edizione di questa competizione calcistica italiana. ...

 

 

Aksara Kawi𑼒𑼮𑼶Jenis aksara Abugida BahasaJawa Kuno, Sunda KunoPeriodeabad ke-8 hingga 16Aksara terkaitSilsilahMenurut hipotesis hubungan antara abjad Aramea dengan Brahmi, maka silsilahnya sebagai berikut: Abjad Proto-Sinai Abjad Fenisia Abjad Aramea Aksara Brahmi Dari aksara Brahmi diturunkanlah:Aksara Brahmi TamilAksara PallawaAksara KawiAksara turunanAksara BudaAksara kerabatBaliBatakBaybayinBugisIncungJawaLampungMakassarRejangSunda Artikel ini mengandung transkripsi fonetik ...

 

 

Petri Pasanen Informasi pribadiTanggal lahir 24 September 1980 (umur 43)Tempat lahir Lahti, FinlandiaTinggi 1,87 m (6 ft 1+1⁄2 in)Posisi bermain DefenderInformasi klubKlub saat ini Red Bull SalzburgNomor 8Karier senior*Tahun Tim Tampil (Gol) 19961996–2000199719982000–200420042004–20112011- Kuusysi LahtiLahti→ Hämeenlinna (pinjam)→ Hämeenlinna (pinjam)Ajax→ Portsmouth (pinjam)Werder BremenRed Bull Salzburg 02 0(0)71 0(2)04 0(0)01 0(0)52 0(7)12 0(0)94 0(...

إسرائيل روكاح عضو الكنيست الإسرائيلي الأول، الثاني، الثالث [الإنجليزية]. وزير الشؤون الداخلية لإسرائيل [الإنجليزية] معلومات شخصية الميلاد 31 ديسمبر 1886يافا  الوفاة 13 سبتمبر 1959 (72 سنة)إسرائيل مكان الدفن مقبرة ترومبلدور  مواطنة إسرائيل  الحياة العملية المهنة سيا...

 

 

OxynotusRentang fosil: 23–0 jtyl[1] PreЄ Є O S D C P T J K Pg N Miosen bawah–sekarang Oxynotus japonicus Klasifikasi ilmiah Domain: Eukaryota Kerajaan: Animalia Filum: Chordata Kelas: Chondrichthyes Superordo: Selachimorpha Ordo: Squaliformes Famili: OxynotidaeT. N. Gill, 1912 Genus: OxynotusRafinesque, 1810 Spesies tipe Oxynotus centrinaRafinesque, 1810 Spesies Oxynotus bruniensis Ogilby, 1893 Oxynotus caribbaeus Cervigón, 1961 Oxynotus crochardi (punah) Oxynotus centrin...

 

 

For the waltz by Frédéric Chopin, see Waltz in A-flat major. For other uses, see Farewell Waltz (disambiguation). The Farewell Waltz First English editionAuthorMilan KunderaOriginal titleValčík na rozloučenouTranslatorPeter KussiCountryCzechoslovakiaLanguageCzechPublisherAlfred A. KnopfPublication date1972Published in English1976ISBN0-06-099700-1OCLC37663187Dewey Decimal891.8/6354 21LC ClassPG5039.21.U6 V313 1998 The Farewell Waltz (Czech: Valčík na rozloučenou) is a Cz...

У этого термина существуют и другие значения, см. Согдиана (значения). Историческая областьСогдиана Другие названия Согд Географический регион Центральная Азия Период начало I тысячелетие до н. э. — IX век Локализация совр. Узбекистан, Таджикистан, Кыргызстан Насе...

 

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (ديسمبر 2019) تحتوي هذه المقالة على قائمة الهيئات الحكومية الجزائرية بأنواعها والتي تم إنشاؤها في الجزائر، والتي تخص الهيئات الدستورية والوطنية والإدارية. الحالية الهي...

 

 

Flag Officer CommandingMaharashtra Naval Area(FOMA)Flag of the FOMA (Rear Admiral's flag)IncumbentRear Admiral Manish Chadha, VSMsince 10 November 2023Indian NavyAbbreviationFOMAReports toFlag Officer Commanding-in-Chief Western Naval CommandSeatMumbaiFirst holderRear Admiral S. W. Lakhkar, NM, VSM Flag Officer Commanding Maharashtra Naval Area (FOMA) is a senior appointment in the Indian Navy. One of the five Area Commanders of the Indian Navy, the FOMA is a two star admiral holding the...

Menara PriceMenara Price, Bartlesville, OklahomaInformasi umumJenisMultifungsiLokasi510 Dewey AvenueBartlesville, Oklahoma, A.S.Mulai dibangun1952Rampung1956TinggiMenara antena221 ft (67 m)Data teknisJumlah lantai19Luas lantai42.000 square feet (3.900 m2)Lift4Desain dan konstruksiArsitekFrank Lloyd WrightKontraktor utamaHaskell CaldwellMenara PriceDaftar Kawasan Bersejarah Nasional di ASU.S. National Historic LandmarkFrank Lloyd Wright, Price TowerLetak:Bartlesville, OklahomaKo...

 

 

Workers' social revolution This article is about the 20th century anarchist revolution. For disambiguation, see Spanish Revolution (disambiguation). For the 19th century liberal uprising, see Glorious Revolution (Spain). Spanish RevolutionPart of the Spanish Civil WarWomen training for a militia outside Barcelona, August 1936DateJuly 19, 1936LocationVarious regions of Spain – primarily Madrid, Catalonia, Aragon, Andalusia, and parts of Levante, Spain.GoalsElimination of all ins...

 

 

American historian (died 1722) For other people named Robert Beverley, see Robert Beverley (disambiguation). Robert Beverley Jr.Member of the House of Burgesses for JamestownIn office1699–1702Preceded byLewis BurwellSucceeded byNathaniel BurwellMember of the House of Burgesses for King and Queen CountyIn office1720–1720Serving with George BraxtonPreceded byJohn BaylorSucceeded byRichard Johnson Personal detailsBorn1667 (1667)Jamestown, Colony of Virginia, British AmericaDiedA...

Species of chestnut tree American chestnut American chestnut leaves and nuts Conservation status Critically Endangered  (IUCN 3.1)[1] Vulnerable  (NatureServe)[2] Scientific classification Kingdom: Plantae Clade: Tracheophytes Clade: Angiosperms Clade: Eudicots Clade: Rosids Order: Fagales Family: Fagaceae Genus: Castanea Species: C. dentata Binomial name Castanea dentata(Marsh.) Borkh. Natural range of Castanea dentata The American chestnut (Castanea dentata) i...

 

 

Italian race car Racing car model Tatuus FA010[1][2]CategoryFormula 3/Formula 4ConstructorTatuusTechnical specificationsChassisCarbon-fiber monocoque, fiberglass bodySuspension (front)Push-rod with twin non-adjustable shock absorbers, adjustable anti-roll bar and third elementSuspension (rear)Push-rod with twin non-adjustable shock absorbers, adjustable anti-roll bar and third elementHeight950 mm (37 in)Axle track1,490 mm (59 in) (front) 1,455 mm (57&#...

 

 

Київська духовна академія в іменах — 1819—1924 (енциклопедія). Енциклопедія Київська духовна академія в іменах: 1819—1924 — українська енциклопедія, стосується Київської духовної академії. Енциклопедія містить: ексклюзивний нарис історії КДА; 648 біографічних статей і 8 д...

شعار فرنسا {{{alt}}}الشعار الحالي التفاصيل المستعمل الجمهورية الفرنسية البلد فرنسا  الاعتماد 1912-1953 الدرع درع عريض ينتهي برأس أسد من ناحية، وبرأس نسر من ناحية أخرى الدعامات إكليل الغار، وفرع من البلوط، وفأس كلمات مكتوبة RF اختصارًا لRépublique française (الجمهورية الفرنسية) تعديل مص...

 

 

Politics of the Soviet Union   Leadership Leaders President list Vice President Collective leadership State Council Presidential Council Communist Party Congress Central Committee History General Secretary Politburo Secretariat Orgburo Legislature Congress of Soviets Central Executive Committee Supreme Soviet Soviet of the Union Soviet of Nationalities Presidium Congress of People's Deputies Speaker 1989 Legislative election Governance Constitution Official names 1924 1936 1977 Governme...