Grup discret

Numerele întregi cu topologia lor obișnuită sunt un subgrup discret al numerelor reale

În matematică un grup topologic⁠(d) precum G este numit grup discret dacă nu există un punct de acumulare în el (adică, pentru fiecare element din G, există o vecinătate care conține doar acel element). În mod echivalent, grupul G este discret dacă și numai dacă elementul său neutru este izolat.[1]

Un subgrup H al unui grup topologic G este un subgrup discret dacă H este discret atunci când este dotat cu o topologie de subspațiu din G. Cu alte cuvinte, există o vecinătate a identității în G care nu conține niciun alt element din H. De exemplu, numerele întregi, Z, formează un subgrup discret al numerelor reale, R (cu topologie metrică), dar numerele raționale, Q, nu.

Orice grup poate fi dotat cu topologie discretă⁠(d), făcându-l un grup topologic discret. Deoarece fiecare aplicație dintr-un spațiu discret este continuă, omomorfismele topologice dintre grupurile discrete sunt exact omomorfismele de grup dintre grupurile subiacente. Prin urmare, există un izomorfism între categoriile de grup și categoria de grupuri discrete. Prin urmare, grupurile discrete pot fi identificate cu grupurile lor subiacente (netopologice).

Există unele cazuri în care un grup topologic⁠(d) sau un grup Lie este înzestrat util cu topologia discretă, „împotriva naturii”. Acest lucru se întâmplă, de exemplu, în teoria compactificării Bohr⁠(d) și în coomologiei de grup⁠(d) din teoria grupurilor Lie.

Un grup de izometrie discret este un grup de izometrie astfel încât pentru fiecare punct al spațiului metric mulțimea imaginilor punctului sub izometrii este o mulțime discretă. Un grup de simetrie discret este un grup de simetrie care este un grup de izometrie discret.

Proprietăți

Deoarece grupurile topologice sunt omogene⁠(d), trebuie privit doar un singur punct pentru a determina dacă grupul topologic este discret. În special, un grup topologic este discret numai dacă singletonul care conține elementul neutru este o mulțime deschisă.

Un grup discret este același lucru cu un grup Lie zerodimensional (grupurile discrete nenumărabile nu au baza numărabilă, astfel încât autorii care solicită grupurilor Lie să satisfacă această axiomă nu le acceptă ca grupuri Lie). Elementul neutru al unui grup discret este subgrupul trivial.

Deoarece singura topologie Hausdorff pe o mulțime finită este cea discretă, un grup topologic Hausdorff finit trebuie să fie în mod necesar discret. Rezultă că fiecare subgrup finit al unui grup Hausdorff este discret.

Un subgrup discret H din G este cocompact dacă există o submulțime compactă K din G astfel încât HK = G.

Subgrupurile normale⁠(d) discrete joacă un rol important în teoria grupurilor de acoperire⁠(d) și grupurilor izomorfe local. Un subgrup normal discret al unui grup conex G se află în mod necesar în centrul⁠(d) lui G, prin urmare, este abelian.

Alte proprietăți:

  • Orice grup discret este total deconectat.
  • Orice subgrup al unui grup discret este discret.
  • Orice grup factor dintr-un grup discret este discret.
  • Produsul unui număr finit de grupuri discrete este discret.
  • Un grup discret este compact dacă și numai dacă este finit.
  • Orice grup discret este compact local.
  • Orice subgrup discret al unui grup Hausdorff este închis.
  • Orice subgrup discret al unui grup Hausdorff compact este finit.

Exemple

  • Grupurile de frize și grupurile de tapet⁠(d) sunt subgrupuri discrete ale grupului de izometrie al planului euclidian. Grupurile de imagini de tapet sunt cocompacte, dar grupurile de frize nu.
  • Un grup cristalografic⁠(d) înseamnă de obicei un subgrup cocompact, discret al izometriilor unui spațiu euclidian. Totuși, uneori un grup cristalografic poate fi un subgrup discret cocompact al unui grup Lie rezolvabil sau nilpotent.
  • Orice grup al triunghiului⁠(d) T este un subgrup discret al grupului de izometrie al sferei (când T este finit), al planului euclidian (când T are un Z + Z subgrup de indice⁠(d) finit), sau al planului hiperbolic.
  • Grupurile fuchsiene⁠(d) sunt, prin definiție, subgrupuri discrete ale grupului de izometrie al planului hiperbolic.
    • Un grup fuchsian care conservă orientarea și acționează asupra modelului semiplanului superior al planului hiperbolic⁠(d) este un subgrup discret al grupului Lie PSL(2,R), grupul de izometrii care conservă orientarea modelului semiplanului superior al planului hiperbolic.
    • Un grup fuchsian este uneori considerat ca un caz particular al unui grup kleinian, prin încorporarea izometrică a planului hiperbolic în spațiul hiperbolic tridimensional și extinderea acțiunii grupului din plan la întreg spațiul.
    • Grupul modular⁠(d) PSL(2,Z) este gândit ca un subgrup discret al PSL(2,R). Grupul modular este o rețea în PSL(2,R), dar nu este cocompact.
  • Grupurile kleiniene⁠(d) sunt, prin definiție, subgrupuri discrete ale grupului de izometrie al spațiului hiperbolic tridimensional. Acestea includ grupuri cvasifucsiene.
    • Un grup kleinian care conservă orientarea și acționează pe modelul semiplanului superior al spațiului hiperbolic tridimensional este un subgrup discret al grupului Lie PSL(2,C), grupul de izometrii care păstrează orientarea modelului semiplanului superior al spațiului hiperbolic tridimensional.
  • O rețea⁠(d) într-un grup Lie este un subgrup discret astfel încât măsura Haar⁠(d) a spațiului cât este finită.

Note

  1. ^ Pontrjagin 1946, p. 54.

Bibliografie

Read other articles:

Artikel ini memiliki beberapa masalah. Tolong bantu memperbaikinya atau diskusikan masalah-masalah ini di halaman pembicaraannya. (Pelajari bagaimana dan kapan saat yang tepat untuk menghapus templat pesan ini) Artikel atau bagian mungkin perlu ditulis ulang agar sesuai dengan standar kualitas Wikipedia. Anda dapat membantu memperbaikinya. Halaman pembicaraan dari artikel ini mungkin berisi beberapa saran. Artikel atau beberapa bagian di dalam artikel ini membingungkan atau bergaya propaganda...

 

70 Virginis 70 Virginis Data pengamatan Epos J2000.0      Ekuinoks J2000.0 Rasi bintang Virgo Asensio rekta  13j 28m 25.80819d[1] Deklinasi  +13° 46′ 43.6430″[1] Magnitudo tampak (V) +4.97[2] Ciri-ciri Kelas spektrum G4 V-IV[3] Indeks warna U−B 0.26 Indeks warna B−V 0,714±0,007[2] Indeks warna V−R 0.39 Indeks warna R−I 0.36 Jenis variabel none AstrometriK...

 

سالون     الإحداثيات 42°53′40″N 78°47′29″W / 42.8944°N 78.7914°W / 42.8944; -78.7914  [1] تقسيم إداري  البلد الولايات المتحدة[2][3]  التقسيم الأعلى مقاطعة إيري  خصائص جغرافية  المساحة 2.036362 كيلومتر مربع2.052093 كيلومتر مربع (1 أبريل 2010)  ارتفاع 187 متر  عدد ا...

Pour les articles homonymes, voir Diagonale (homonymie). Cet article est une ébauche concernant l’Union européenne. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Régionalisation indicative du rapport Europe 2000 + : Centre des capitales Nouveaux Länder allemands Arc alpin Diagonale continentale Arc latin Méditerranée centrale Arc atlantique Régions de la mer du Nord Arc baltique Diagonale contine...

 

Annual LGBT event in Halifax, Nova Scotia Halifax PrideThe official logo of Halifax PrideStatusActiveGenrePride festivalBeginsJuly 18, 2024 (2024-07-18)EndsJuly 28, 2024 (2024-07-28)FrequencyAnnually, mid to late JulyLocation(s)Halifax, Nova ScotiaCountryCanadaYears active35InauguratedJuly 1, 1988 (1988-07-01)[1]ChairAdam ReidOrganised byHalifax Pride Society[2]Filing statusNot-for-ProfitWebsiteHalifax Pride Halifax Pride is an...

 

Francisco Fernández de la Cueva Viceré di CatalognaDurata mandato1615 –1619 MonarcaFilippo III PredecessoreFrancisco Hurtado de Mendoza SuccessoreFernando Afán de Ribera, duca di Alcalá Viceré di SiciliaDurata mandato1627 –1632 MonarcaFilippo IV PredecessoreAntonio Pimentel Enríquez de Guzmán y Toledo SuccessoreFernando Afán de Ribera, duca di Alcalá Francisco Fernández de la Cueva, VII duca di Alburquerque, IV marchese di Cuéllar, VII conte di Huelm...

2017 World Short Track Speed Skating ChampionshipsVenueRotterdam Ahoy, Rotterdam, NetherlandsDates10–12 MarchMedalist men Seo Yi-ra  South Korea Sjinkie Knegt  Netherlands Samuel Girard  CanadaMedalist women Elise Christie  Great Britain Marianne St-Gelais  Canada Shim Suk-hee  South Korea←20162018→ The 2017 World Short Track Speed Skating Championships took place from 10 to 12 March 2017 in Rotterdam, Netherlands and were the 42nd World Short Track Speed S...

 

Nationalist youth organization in Japanese Empire (1937–1945) Great Japan Youth Party大日本青年党Dai-Nippon Seinen-tōLeaderColonel Kingoro HashimotoFoundedOctober 17, 1937Dissolved1945HeadquartersTokyo, Empire of JapanIdeologyJapanese fascismMother partyImperial Rule Assistance Association (from 1940) Rally of Great Japan Youth Party in 1940 Colonel Kingoro Hashimoto wearing the Youth Party armband Pin from 15th meeting of Great Japan Youth Party The Great Japan Youth Party (大日�...

 

Buffer state between medieval Italy and France from the 9th–11th centuries This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources.Find sources: March of Ivrea – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2015) The March of Ivrea was a large frontier county (march) in the northwest of the medieval Italian k...

Japanese retired professional wrestler (born 1947) Animal HamaguchiHamaguchi in February 2011.Birth nameHeigo HamaguchiBorn (1947-08-31) August 31, 1947 (age 76)[1]Hamada, Shimane, JapanFamilyKyoko Hamaguchi (daughter)Professional wrestling careerRing name(s)Animal HamaguchiHeigo HamaguchiHigo HamaguchiBilled height178 cm (5 ft 10 in)Billed weight103 kg (227 lb)Trained byKarl GotchRusher KimuraTsutomu YoshiharaDebutSeptember 20, 1969[1]Retired1995...

 

Road in Kolkata, India Eastern Metropolitan BypassEM BypassEM Bypass with under-construction ramp of Parama Island FlyoverMaintained byKolkata Metropolitan Development AuthorityLength32 km (20 mi)LocationGreater Kolkata (Kolkata district and South 24 Parganas district), IndiaNearest Kolkata Metro stationBengal Chemical and Salt Lake Stadium (Kolkata Metro Line 2); Beliaghata (under construction) to Satyajit Ray (under construction) (Kolkata Metro Line 6)North endUltadangaSouth...

 

Skai JacksonJackson tahun 2018Lahir8 April 2002 (umur 22)New York City, Amerika SerikatPekerjaan Aktris YouTuber penulis Tahun aktif2007–sekarang Skai Jackson (lahir 8 April 2002)[1] adalah seorang aktris asal Amerika Serikat yang termasuk dalam daftar Time of Most Influential Teens pada tahun 2016.[2] Dia terkenal karena memerankan peran Zuri Ross dalam sitkom Disney Channel, Jessie (2011–2015), yang kemudian dia ulangi dalam sekuelnya Bunk'd (2015–2018). Jac...

此條目需要补充更多来源。 (2021年7月4日)请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目,无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。致使用者:请搜索一下条目的标题(来源搜索:美国众议院 — 网页、新闻、书籍、学术、图像),以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源(判定指引)。 美國眾議院 United States House of Representatives第118届美国国会众议院徽章 众议院旗...

 

Économie de la Tchéquie Quartier d'affaires de Prague Monnaie couronne tchèque Année fiscale calendaire Organisations internationales Union européenne, OMC, OCDE Statistiques Produit intérieur brut (parité nominale) 193 milliards $ (2016)[1] Produit intérieur brut en PPA 350,7 milliards $ (2016) Rang pour le PIB en PPA en volume : 51e[2] par tête : 57e[3] Croissance du PIB 2,4 % (2016)[1],[4] PIB par habitant en PPA 33 200 $ (2016) PIB par secteur agriculture...

 

Artikel ini bukan mengenai Siprus. Cyperus Cyperus albostriatusTaksonomiDivisiTracheophytaSubdivisiSpermatophytesKladAngiospermaeKladmonocotsKladcommelinidsOrdoPoalesFamiliCyperaceaeSubfamiliCyperoideaeTribusCypereaeGenusCyperus Linnaeus, 1753 Tipe taksonomiCyperus esculentus Tata namaSinonim taksonDaftar  Acorellus Palla ex Kneuck. Adupla Bosc ex Juss. Aliniella J.Raynal, nom. illeg., non Skvortzow Alinula J.Raynal Anosporum Nees Atomostylis Steud. Borabora Steud. Chlorocyperus Rikli Co...

University in Newcastle upon Tyne, United Kingdom Northumbria UniversityCoat of ArmsMottoLatin: Aetas Discendi[1]Motto in EnglishA lifetime of learningTypePublicEstablished 1877: Rutherford College of Technology 1969: Newcastle Polytechnic 1992: gained university status Endowment£1.21 million (2023)[2]Budget£338.3 million (2022/23)[2]ChancellorBaroness Tanni Grey-ThompsonVice-ChancellorAndy LongAcademic staff1,617 (as at December 2021)[3]Administrative s...

 

Award1956 Summer Olympics medalsLocation Melbourne,  Australia / Stockholm,  Sweden HighlightsMost gold medals Soviet Union (37)Most total medals Soviet Union (98) ← 1952 · Olympics medal tables · 1960 → This is the full table of the medal table of the 1956 Summer Olympics in Melbourne, Australia and Stockholm, Sweden (equestrian events). These rankings sort by the number of gold medals earned by a country. The number of silvers...

 

  Grand Prix Argentina 2017Detail lombaLomba ke 2 dari 18Grand Prix Sepeda Motor musim 2017Tanggal9 April 2017Nama resmiGran Premio Motul de la República Argentina[1]LokasiAutódromo Termas de Río HondoSirkuitFasilitas balapan permanen4.806 km (2.986 mi)MotoGPPole positionPembalap Marc Márquez HondaCatatan waktu 1:47.512 Putaran tercepatPembalap Maverick Viñales YamahaCatatan waktu 1:39.694 di lap 12 PodiumPertama Maverick Viñales YamahaKedua Valentino Rossi Y...

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada November 2022. The Village of No ReturnPoster filmNama lainTionghoa健忘村 SutradaraChen Yu-hsunProduserYeh Jufeng Lee LiehDitulis olehChen Yu-hsunChang Yao-shengPemeranShu QiWang QianyuanJoseph ChangEric Tsang Tony YangPenata musikOwen WangSinematogra...

 

Robert BruceSigillo di Robert BruceSignore di AnnandaleStemma In carica27 ottobre 1292 –15 marzo 1304 PredecessoreRobert Bruce, V signore di Annandale SuccessoreRobert Bruce, VII signore di Annandale Nome completoRobert de Brus Altri titoli Conte di Carrick (jure uxoris, 1271-1292) Castellano di Carlisle (1295-1304) NascitaWrittle, 11 luglio 1243 MorteHolme Abbey, 15 marzo 1304 (60 anni) Luogo di sepolturaAbbazia di Holme Cultram DinastiaClan Bruce PadreRobert Bruce, V signo...