În matematică noțiunea de divizor a apărut inițial în contextul aritmeticii numerelor întregi. Odată cu dezvoltarea inelelor, dintre care întregii sunt arhetipul, noțiunea originală de divizor a fost extinsă natural.

Divizibilitatea este un concept util pentru analiza structurii inelelor comutative din cauza relației sale cu structura idealelor unor astfel de inele.

În inelul numerelor întregi ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ fie elementele ${\displaystyle a,b}$.

• ${\displaystyle a=4}$ este un divizor al lui ${\displaystyle b=12}$, deoarece la ${\displaystyle 12/4=3}$ cu restul ${\displaystyle 0}$ sau, exprimat diferit și mai potrivit pentru generalizare, există ${\displaystyle x=3\in R}$ astfel încât ${\displaystyle ax=b}$.
• ${\displaystyle a=4}$ nu este un divizor al lui ${\displaystyle b=13}$, deoarece la ${\displaystyle 13/4=3}$ cu restul ${\displaystyle 1}$ nu există nici un ${\displaystyle x\in R}$ astfel încât ${\displaystyle ax=b}$.

În corpul numerelor reale ${\displaystyle S=\mathbb {R} }$, o extindere a numerelor întregi, avem

• ${\displaystyle a=4}$ încă este un divizor al lui ${\displaystyle b=12}$, deoarece la ${\displaystyle 12/4=3}$ există ${\displaystyle x=3\in S}$ astfel încât ${\displaystyle ax=b}$.
• ${\displaystyle a=4}$ devine un divizor al lui ${\displaystyle b=13}$, deoarece la ${\displaystyle 13/4=3,25}$, acesta este acum un număr real în ${\displaystyle S}$ respectiv există ${\displaystyle x=3,25\in S}$ astfel încât ${\displaystyle ax=b}$.

În inelul de polinoame cu coeficienți întregi ${\displaystyle R'=\mathbb {Z} [X]}$ avem

• ${\displaystyle a=X+1}$ este un divizor al lui ${\displaystyle b=X^{2}-1}$, deoarece prin împărțirea polinomială ${\displaystyle (X^{2}-1)/(X+1)=X-1}$ cu restul ${\displaystyle 0}$ există ${\displaystyle x=X-1\in R'}$ astfel încât ${\displaystyle ax=b}$.
• ${\displaystyle a=X+3}$ nu este un divizor al lui ${\displaystyle b=X^{2}-3}$, deoarece la ${\displaystyle (X^{2}-3)/(X+3)=X-3}$ cu restul ${\displaystyle 6}$ nu există nici un ${\displaystyle x\in R'}$ astfel încât ${\displaystyle ax=b}$. De fapt, se poate arăta că ${\displaystyle b=X^{2}-3}$ nu are niciun divizor netrivial, ceea ce în acest caz înseamnă că polinomul de gradul al doilea ${\displaystyle b}$ nu are divizori liniari, cum ar fi ${\displaystyle a=X+3}$.

În inelul de polinoame cu coeficienți reali ${\displaystyle S'=\mathbb {R} [X]}$, o extindere a polinoamelor cu coeficienți întregi, avem

• ${\displaystyle a=X+1}$ încă este un divizor al lui ${\displaystyle b=X^{2}-1}$, deoarece la ${\displaystyle (X^{2}-1)/(X+1)=X-1}$ există ${\displaystyle x=X-1\in S'}$ astfel încât ${\displaystyle ax=b}$.
• ${\displaystyle b=X^{2}-3}$ are divizori netriviali, explicit ${\displaystyle {\tilde {a}}=X+{\sqrt {3}}}$, deoarece la ${\displaystyle (X^{2}-3)/(X+{\sqrt {3}})=X-{\sqrt {3}}}$ există ${\displaystyle {\tilde {x}}=X-{\sqrt {3}}\in S'}$ astfel încât ${\displaystyle {\tilde {a}}{\tilde {x}}=b}$. De observat că ${\displaystyle a=X+3}$ tot nu este un divizor al lui ${\displaystyle b=X^{2}-3}$, din același motiv ca la ${\displaystyle R'=\mathbb {Z} [X]}$ de mai sus.

Aceste exemple ilustrează faptul că noțiunea de divizibilitate nu depinde numai de elementele ${\displaystyle a}$ și ${\displaystyle b}$ în sine, ci și de contextul structurii algebrice a unui inel de care aparțin ${\displaystyle a,b}$ și operația de înmulțire. În general, divizibilitatea se conservă în extinderi, unde poate fi dobândită mai multă divizibilitate.

Fie R un inel (în acest articol, se presupune că inelele au elementul 1) și a și b elemente ale lui R . Dacă există un element x în R cu ax = b, se spune că a este un divizor la stânga al lui b, iar acel b este un multiplu la dreapta al lui a.^[1] Similar, dacă există un element y în R cu ya = b, se spune că a este un divizor la dreapta al lui b, iar acel b este un multiplu la stânga lui a. Se spune că a este un divizor al lui b dacă este atât un divizor la stânga, cât și un divizor la dreapta al lui b; variabilele x și y de mai sus nu trebuie să fie egale.

Când R este comutativ, noțiunile de „divizor la stânga” și „divizor la dreapta” coincid, așa că se spune simplu că a este un „divizor” al lui b, sau că acel b este un multiplu al lui a, și se scrie ${\displaystyle a\mid b}$. Elementele a și b ale unui domeniu de integritate sunt asociate dacă există atât ${\displaystyle a\mid b}$ cât și ${\displaystyle b\mid a}$. Relația de asociere este o relație de echivalență pe R, deci împarte R în clase de echivalență^⁠(d) disjuncte.

Enunțurile despre divizibilitatea într-un inel comutativ R pot fi traduse în enunțuri despre ideale principale. De exemplu,

• ${\displaystyle a\mid b}$ dacă și numai dacă ${\displaystyle (b)\subseteq (a)}$.
• Elementele a și b sunt asociate dacă și numai dacă ${\displaystyle (a)=(b)}$.
• Un element u este o unitate^⁠(d) dacă și numai dacă u este un divizor al fiecărui element din R.
• Un element u este o unitate dacă și numai dacă ${\displaystyle (u)=R}$.
• Dacă ${\displaystyle a=bu}$ pentru o unitate u, atunci a și b sunt asociate. Dacă R este un domeniu de integritate, atunci reciproca este adevărată.
• Fie R un domeniu de integritate. Dacă elementele din R sunt total ordonate după divizibilitate, atunci R se numește inel de valuare^⁠(d).

Mai sus ${\displaystyle (a)}$ este idealul principal al ${\displaystyle R}$ generat de elementul ${\displaystyle a}$.

• Unii autori cer ca definiția divizorului a să conțină faptul că divizorul trebuie fie diferit de zero, dar acest lucru face ca unele dintre proprietățile de mai sus să eșueze.
• Dacă se interpretează definiția divizorului literal, orice a este un divizor al lui 0, deoarece se poate lua x = 0. Din această cauză tradițional se abuzează de terminologie făcând o excepție pentru divizorii lui zero: un element a dintr-un inel comutativ se numește divizor al lui zero dacă există un x nenul astfel încât ax = 0.^[2]

• en Bourbaki, N. (1989) [1970], Algebra I, Chapters 1–3, Springer-Verlag, ISBN 9783540642435 

• Divizor al lui zero

Portal Matematică