O triedro de Frenet foi criado por Jean Frédéric Frenet (Périgueux, 7 de fevereiro de 1816 — Périgueux, 12 de junho de 1900) professor, astrônomo, matemático e meteorologista francês.

É um conjunto abstrato de três vetores^[1] (T, N e B) que diz respeito a propriedades cinemáticas de uma partícula que se move em uma trajetória curvilínea, usado em cálculo vetorial. No triedro, o vetor T representa a tangente à curva, o vetor N é a derivada de T, e o vetor B é o produto vetorial de T e N.

Em resumo, as formulas do triedro de Frenet-Serret são:

${\displaystyle {d{\vec {\mathrm {T} }} \over ds}=\kappa {\vec {\mathrm {N} }},{d{\vec {\mathrm {N} }} \over ds}=-\kappa {\vec {\mathrm {T} }}+\tau {\vec {\mathrm {B} }},{d{\vec {\mathrm {B} }} \over ds}=-\tau {\vec {\mathrm {N} }},}$

Onde d/ds é o derivativo com respeito ao comprimento de arco, κ é a curvatura e τ é a torção da curva. Os esclares κ e τ definem efetivamente a curvatura e a torção em uma curva no espaço. Intuitivamente, curvatura mede a falha de uma curva em ser uma linha reta, enquanto a torção mede a falha de uma curva em ser planar.

Em cálculo vetorial, as fórmulas de Frenet–Serret descrevem as propriedades cinemáticas de uma partícula que se move ao longo de uma curva contínua e diferenciável, num espaço euclidiano tridimensional R³, ou as propriedades geométricas da própria curva independentemente do movimento. Mais especificamente, as fórmulas descrevem as derivadas dos vetores unitários tangente, normal, e binormal uns em relação aos outros. Diferentemente dos vetores unitários ${\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}}}$ e ${\displaystyle {\vec {k}}}$ , os vetores ${\displaystyle {\vec {T}},{\vec {N}}}$ e ${\displaystyle {\vec {B}}}$ acompanham toda a trajetória através da curva.

As fórmulas de Jean Frédéric Frenet foram apresentadas na sua tese de 1847, e por Joseph Alfred Serret em 1851. A notação dos vetores e de álgebra linear usada hoje para estas fórmulas não estava ainda em uso aquando da sua exposição por estes matemáticos.

Os vetores unitários tangente, normal, e binormal, designados por ${\displaystyle {\vec {T}},{\vec {N}}}$ e ${\displaystyle {\vec {B}}}$, ou triedro de Frenet–Serret, são definidos por:

• ${\displaystyle {\vec {T}}}$ é o vetor unitário e tangente à curva, e aponta na direção do movimento.
• ${\displaystyle {\vec {N}}}$ é a derivada de ${\displaystyle {\vec {T}}}$ em relação ao arco-comprimento, dividida pela curvatura.
• ${\displaystyle {\vec {B}}}$ é o produto vetorial de ${\displaystyle {\vec {T}}}$ e ${\displaystyle {\vec {N}}}$.

Seja C uma curva representada por ${\displaystyle {\vec {r}}(t)=x(t){\vec {i}}+y(t){\vec {j}}+z(t){\vec {k}}}$ no espaço euclidiano, representando o vetor posição da partícula em função do tempo. As fórmulas de Frenet-Serret aplicam-se a curvas não degeneradas, o que significa que elas têm curvatura diferente de zero. Mais formalmente, nesta situação, o vetor de velocidade ${\displaystyle {\vec {r}}}$'(t) e o vetor de aceleração ${\displaystyle {\vec {r}}}$''(t) são necessariamente não-proporcionais.

Com s(t) representando o comprimento de arco que a partícula moveu ao longo da curva no tempo t. A quantidade s é usada para dar a curva traçada pela trajetória da partícula uma parametrização natural pelo comprimento do arco, uma vez que muitos caminhos diferentes de partículas podem traçar a mesma curva geométrica percorrendo-a em diferentes taxas. Em detalhe, s é dado por

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\lVert r'(\sigma )\rVert d\sigma }$

Além disso, como assumimos que ${\displaystyle {\vec {r}}}$′ ${\textstyle \neq }$ 0, segue que s(t) é uma função estritamente monotonicamente crescente. Portanto, é possível resolver t como uma função de s e, assim, escrever ${\displaystyle {\vec {r}}}$(s) = ${\displaystyle {\vec {r}}}$(t(s)). A curva é assim parametrizada de uma maneira preferida: pelo seu comprimento de arco.

Com uma curva não-degenerada r(s), parametrizada pelo seu comprimento de arco, é possível, então, definir o Triedro de Frenet–Serret (ou triedro TNB):

O vetor tangente unitário ${\displaystyle {\vec {T}}(t)}$ é definido como o vetor com a mesma direção do vetor tangente ${\displaystyle {\vec {r}}\,'(t)}$ e módulo 1.^[2]

${\displaystyle {\vec {T}}(t)={\frac {dr \over ds}{\lVert {dr \over ds}\rVert }}={\frac {{\vec {r}}(t)\,'}{|{\vec {r}}(t)\,'|}}}$

Este vetor será definido a partir da condição de ortogonalidade entre ${\displaystyle {\vec {T}}}$ e ${\displaystyle {\vec {N}}}$, ou seja, ${\displaystyle {\vec {T}}(t)\cdot {\vec {N}}(t)=0.}$ Assim, para que se comprove a definição proposta, se estabelece o seguinte teorema que embasa a demonstração.

Se o vetor ${\displaystyle {\vec {T}}(t)}$ é um vetor de módulo constante e igual a 1, então ${\displaystyle {\vec {T}}(t)\cdot {\vec {T}}(t)\,'=0}$ e, portanto, ${\displaystyle {\vec {T}}(t)\,'}$ é ortogonal a ${\displaystyle {\vec {T}}(t)}$.

Considerando ${\displaystyle \mid {\overrightarrow {T}}(t)\mid }$ como constante, conforme o proposto, tem-se como o resultado do produto escalar entre as funções vetoriais ${\displaystyle {\overrightarrow {T}}(t)\cdot {\overrightarrow {T}}(t)}$ uma constante. Desta forma, fazendo-se o uso do método de derivação de um produto escalar, a Regra da cadeia, obtem-se a equação:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {T'}}(t)\cdot {\overrightarrow {T}}(t)+{\overrightarrow {T}}\cdot {\overrightarrow {T'}}(t)=0\\2{\overrightarrow {T}}(t)\cdot {\overrightarrow {T'}}(t)=0\end{aligned}}}$

Por conseguinte, é notável a veracidade da ortogonalidade dos vetores ${\displaystyle {\overrightarrow {T'}}(t)}$ e ${\displaystyle {\overrightarrow {T}}(t)}$. Então, o vetor normal fica definido como:

${\displaystyle {\vec {N}}(t)={\frac {d{\vec {T}} \over ds}{\lVert {d{\vec {T}} \over ds}\rVert }}={\frac {{\vec {T}}(t)\,'}{|{\vec {T}}(t)\,'|}}}$

O vetor normal unitário possui a mesma direção de ${\displaystyle {\vec {T}}(t)\,'}$ e aponta para o interior da curva, ou seja, para o lado côncavo de C, sendo ortogonal não só ao tangente mas também ao vetor binormal apresentado a seguir.

O vetor binormal é um vetor unitário perpendicular a ${\displaystyle {\vec {T}}(t)}$ e ${\displaystyle {\vec {N}}(t)}$, logo

${\displaystyle {\vec {B}}(t)={\vec {T}}(t)\times {\vec {N}}(t)}$^[3]

O vetor binormal pode ser expresso, de maneira alternativa, pela seguinte equação

${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {{\vec {r}}'(t)\times {\vec {r}}''(t)}{\lVert {\vec {r}}'(t)\times {\vec {r}}''(t)\rVert }}}$^[3]

Além disso, forma, juntamente com ${\displaystyle {\vec {T}}}$ e ${\displaystyle {\vec {N}}}$, um sistema dextrogiro.^[4]

${\displaystyle {d{\vec {T}} \over ds}=\quad \qquad \quad \kappa {\vec {N}}}$

${\displaystyle {d{\vec {N}} \over ds}=\ -\kappa {\vec {T}}\quad \qquad +\tau {\vec {B}}}$

${\displaystyle {d{\vec {B}} \over ds}=\ \qquad \quad -\tau {\vec {N}}}$

onde ${\textstyle \kappa }$ é a curvatura e ${\textstyle \tau }$ é a torção.

As fórmulas Frenet–Serret são também conhecidas como teoremas de Frenet–Serret, e podem ser apresentadas de forma mais concisa usando a notação matricial:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}{\vec {T}}'\\{\vec {N}}'\\{\vec {B}}'\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}{\vec {T}}\\{\vec {N}}\\{\vec {B}}\end{matrix}}\right]}$

Essa matriz é antissimétrica.

Considere a matriz:

${\displaystyle Q=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{matrix}}\right]}$

As linhas dessa matriz são vetores unitários mutualmente perpendiculares: uma base ortonormal ℝ³. Como resultado, a transposta de Q é igual a inversa de Q: Q é uma matriz ortogonal. É suficiente mostrar que:

${\displaystyle \left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{T}=\left[{\begin{matrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{matrix}}\right]}$

Note que na primeira linha a equação já se sustenta pela definição da normal ${\displaystyle {\vec {N}}}$ e da curvatura ${\displaystyle \kappa }$. Então é suficiente mostrar que ${\displaystyle \left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{T}}$ é uma matriz antissimétrica. Já que ${\displaystyle I=QQ^{T}}$, tomando a derivada e aplicando a regra do produto resulta em:

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI}{ds}}=\left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{T}+Q\left({\frac {dQ}{ds}}\right)^{T}\implies \left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{T}=-\left(\left({\frac {dQ}{ds}}\right)Q^{T}\right)^{T}\\\end{aligned}}}$

que estabelece a antissimetria necessária.^[5]

A curvatura ${\displaystyle \kappa }$ em um ponto de uma curva mede a velocidade em que o vetor tangente ${\displaystyle {\vec {T}}(t)\,}$varia em relação ao comprimento de arco s. Ou seja, a curvatura é uma função escalar de s, definida como:

${\displaystyle \kappa (s)={\frac {|dT|}{|ds|}}}$ (1)

Porém o parâmetro s não é muito prático. Transformamos, então, ${\displaystyle \kappa }$(s) em ${\displaystyle \kappa }$(t), onde o parâmetro t pode ser um ângulo ou a variável tempo.

Usando a regra da cadeia:

${\displaystyle {\frac {|dT|}{|ds|}}={\frac {\frac {d{\vec {T}}}{dt}}{\frac {ds}{dt}}}=}$ ${\displaystyle {\frac {\vec {T'(t)}}{\frac {ds}{dt}}}}$ (2)

e

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}={\sqrt {{\vec {r'}}.{\vec {r'}}}}=|{\vec {r'(t)}}|}$ (3)

Substituindo (3) em (2) e esta na definição (1), teremos:

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {\vec {T'(t)}}{|{\vec {r'(t)}}|}}}$ , ${\displaystyle |{\vec {r'(t)}}|\neq 0}$

O raio de curvatura ${\displaystyle \rho }$ está associada com a curvatura ${\displaystyle \kappa }$ e é definido como

${\displaystyle \rho (t)={\frac {1}{\kappa (t)}}}$

Podemos então concluir que quanto maior a curvatura ${\displaystyle \kappa }$(t) em um certo ponto, menor será seu raio de curvatura ${\displaystyle \rho (t)}$. Em geral, se uma curva no espaço bidimensional tem curvatura ${\displaystyle \kappa }$ no ponto P(x,y), então o círculo de raio ${\displaystyle \rho =1/\kappa }$ que seja tangente a essa curva em P e que tenha centro no lado côncavo da curva em P é chamado de círculo de curvatura ou círculo osculador em P.

O círculo osculador e a curva não só se tocam em P como também têm a mesma curvatura naquele ponto. Dessa maneira, o círculo osculador é o círculo que melhor aproxima a curva na vizinhança de P. Por sua vez, o raio ${\displaystyle \rho }$ de um círculo osculador em P é chamado de raio de curvatura em P e o centro do círculo é chamado de centro de curvatura em P^[6].

O centro do círculo osculador é dado pela equação ${\displaystyle {\vec {O}}={\vec {P}}+\rho {\vec {N}}}$.

Sendo ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ a curva da trajetória de uma partícula, onde ${\displaystyle t}$ representa o parâmetro tempo, definimos a velocidade da partícula como ${\displaystyle {\vec {v}}(t)={d{\vec {r}} \over dt}=v{\vec {T}}}$, sendo ${\displaystyle v=|{\vec {v}}(t)|}$.

Partindo da definição ${\displaystyle {\vec {a}}(t)={d{\vec {v}} \over dt}}$, obtemos ${\displaystyle {d(v{\vec {T}}) \over dt}={dv \over dt}{\vec {T}}+v{d{\vec {T}} \over dt}}$.

O primeiro termo ${\displaystyle {dv \over dt}}$é definido como a componente tangencial da aceleração ${\displaystyle a_{T}}$, que pode ser interpretado como a variação do módulo da velocidade da partícula.

Utilizando as equações ${\displaystyle {\vec {N}}(t)={\frac {{\vec {T}}(t)\,'}{|{\vec {T}}(t)\,'|}}}$, ${\displaystyle \kappa (t)={1 \over \rho }}$ e ${\displaystyle \kappa (t)={\frac {\vec {T'(t)}}{|{\vec {r'(t)}}|}}}$, podendo esta última ser escrita como ${\displaystyle \kappa (t)={\frac {|{\vec {T'(t)|}}}{v}}}$, reescrevemos o segundo termo ${\displaystyle v{d{\vec {T}} \over dt}}$ como ${\displaystyle v{\vec {T}}'(t)=v|{\vec {T}}|{\vec {N}}=\kappa v^{2}{\vec {N}}={v^{2} \over \rho }{\vec {N}}}$. Assim, definimos a componente normal da aceleração como ${\displaystyle a_{N}={\frac {v^{2}}{\rho }}}$. Essa componente do vetor aceleração pode ser interpretada como a variação da direção da velocidade da partícula.

Dessa forma, foi demonstrado que ${\displaystyle {\vec {a}}=a_{T}{\vec {T}}+a_{N}{\vec {N}}}$. Conclui-se que, mesmo para curvas em três dimensões, o vetor aceleração sempre estará contido no plano formado por ${\displaystyle {\vec {T}}}$ e ${\displaystyle {\vec {N}}}$.

A torção ${\displaystyle \tau }$ mede a capacidade de uma curva se torcer e é definida como:

${\displaystyle \tau (s)={\frac {|d{\vec {B}}|}{|ds|}}}$

E assim como na curvatura, transformamos ${\displaystyle \tau (s)}$ em ${\displaystyle \tau (t)}$, pois s não é um parâmetro muito prático.

Pela regra da cadeia:

${\displaystyle |\tau (t)|={\frac {\frac {|d{\vec {B}}|}{|dt|}}{\frac {|ds|}{|dt|}}}={\frac {|{\vec {B'(t)}}|}{|{\vec {r'(t)}}|}}}$

Pode-se atribuir ao conceito de torção ${\displaystyle \tau }$, a ideia de raio de torção,^[7] denotado por σ, definido da forma:

${\displaystyle \sigma (t)={\frac {1}{\tau (t)}}}$

Diferenciando repetidamente a curva e aplicando as fórmulas de Frenet-Serret resulta na seguinte aproximação de Taylor para a curva próximo de s=0.^[8]

${\displaystyle \mathbf {r} (s)=\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3}).}$

Para uma curva genérica com torsão não nula, a projeção da curva em vários planos coordenados no sistema de coordenadas T, N, B em s=0 tem as seguintes interpretações:

• O plano osculante é plano contendo T e N. A projeção da curva neste plano tem a forma:

${\displaystyle \mathbf {r} (0)+s\mathbf {T} (0)+{\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}\mathbf {N} (0)+o(s^{2}).}$

Isso é uma parábola a termos de (s²), cuja curvatura em 0 é igual a k(0).n

• O plano normal é o plano contendo B e N. A projeção da curva neste plano tem a forma:

${\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})}$

que é uma parábola semicúbica de ordem o(s³).

• O plano retificador é o plano contendo T e B. A projeção da curva nesse plano tem a forma:

${\displaystyle \mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})}$

Caso a curvatura (k(t)) for igual a zero, então a curva será uma linha reta, e os vetores N e B não estarão definidos.

Caso a torção (𝜏(t)) for igual a zero, então a curva estará em um plano.

Hélices possuem curva e torção constantes, entretanto uma curva pode ter torção nula e curvatura não nula: é o caso de círculos, parábolas, e diversas outras formas bidimensionais. O contrário não ocorre para curvas regulares.

Referências

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