Matriz inversa

Uma matriz quadrada é dita invertível (ou não singular) quando existe outra matriz denotada tal que

e

onde é a matriz identidade.

Propriedades

Considerando-se uma matriz invertível, esta possui as seguintes propriedades:

  1. A matriz inversa é única. Esta propriedade é decorrente de o conjunto das matrizes quadradas nxn com a operação binária de multiplicação de matrizes formar um monoide.
  2. A matriz inversa de uma matriz invertível é também invertível, sendo que a inversa da inversa de uma matriz é igual à própria matriz: [1]
  3. A matriz transposta de uma matriz invertível é também invertível, e a inversa da transposta é a transposta da inversa: , ou seja, [2]
  4. A inversa de uma matriz multiplicada por um número (diferente de zero) é igual à matriz inversa multiplicada pelo inverso desse número, ou seja,
  5. O inverso do produto de matrizes invertíveis é igual aos produtos das inversas dessas matrizes com a ordem trocada, ou seja, [2]
  6. Em geral, uma matriz quadrada sobre um anel comutativo é invertível se e somente se o seu determinante é uma unidade do anel (se )

Pré-multiplicação

A pré-multiplicação é útil quando se quer isolar uma matriz em um lado de uma equação. Por exemplo, sejam A, B e C matrizes, com A invertível, tais que

Para expressar a matriz B em termos das outras duas, basta multiplicar ambos os membros da igualdade pela inversa de A:[3]

Inversa da matriz identidade

Ver artigo principal: Matriz identidade

A matriz inversa de uma matriz identidade é sempre igual à própria matriz identidade.

Isso ocorre pois:

Determinação da inversa

Aplicação da definição de inversa

Este método de procura da inversa consiste em partir de uma matriz quadrada genérica, com incógnitas em vez de valores e aplicar a seguinte propriedade:

Exemplo
Se queremos descobrir a inversa da matriz de dimensões 2 x 2 representada abaixo recorremos a uma matriz genérica que nos permitirá multiplicar as matrizes:
[4]

Associamos símbolos arbitrariamente à inversa da nossa matriz original – nosso objectivo é determinar os valores de a, b, c e d. Para isso aplicaremos a definição de inversa:

Resolvendo essa multiplicação de matrizes somos conduzidos a um sistema de equações:

Logo:

No caso de a matriz que queremos inverter não ser na realidade invertível, chegaríamos a um sistema impossível.

Solução analítica

Ver artigo principal: Matriz adjunta

Escrever a transposta da matriz dos cofatores, conhecida como matriz adjunta, também pode ser uma forma eficiente de se calcular a inversa de matrizes pequenas, mas esse método recursivo é ineficiente para matrizes grandes. Para obter a inversa, calcula-se a matriz dos cofatores:

em que |A| é o determinante de A, Cij é a matriz dos cofatores, e CT representa a matriz transposta da matriz dos cofatores (matriz adjunta).

Para a maioria das aplicações práticas, não é necessário inverter uma matriz para resolver um sistema de equações lineares; no entanto, para que haja uma solução única, é preciso que a matriz envolvida seja invertível.

Técnicas de decomposição tais como a decomposição LU são muito mais rápidas do que a inversão, e foram desenvolvidos diversos algoritmos para tipos especiais de sistemas lineares.

Inversão de matrizes 2×2

A equação de cofatores listada acima produz o seguinte resultado no caso particular das matrizes invertíveis de ordem 2. A inversão dessas matrizes pode ser feita facilmente como segue:[5]

Logo, inverte-se a ordem dos elementos da diagonal principal e troca-se o sinal dos elementos da diagonal secundária. Isso é possível porque 1/(ad-bc) é o inverso do determinante da matriz em questão, e a mesma estratégia pode ser usada para matrizes de outros tamanhos.

Aplicação da eliminação de Gauss-Jordan

Uma outra forma de determinar a inversa duma matriz é utilizando a eliminação de Gauss-Jordan .

Escrevem-se lado a lado a matriz que queremos inverter e a matriz identidade. De seguida, aplicam-se sucessivas operações elementares sobre as linhas da matriz a inverter, de modo a transformá-la na matriz identidade, aplicando as mesmas operações à matriz identidade. No final do processo, a matriz identidade tornou-se a matriz inversa procurada. Simbolicamente:

Exemplo: Partimos da mesma matriz do exemplo anterior:

A última matriz é a inversa procurada:

Determinação da matriz inversa pela matriz adjunta

Existe uma maneira de calcular a matriz inversa utilizando-se da matriz adjunta (que é a transposta da matriz de cofatores). Este método não é muito eficiente, porém pode vir a ser útil quando se conhece os determinantes das submatrizes.

Para calcular um cofator, utilizaremos da seguinte fórmula:

Onde i é a linha, j a coluna, e é o determinante da submatriz que exclui a linha i e a coluna j.

Após criarmos uma matriz de cofatores, calculamos sua adjunta, que nada mais é que a transposta da matriz de cofatores. Em linguagem matemática, temos:

e então aplicamos a seguinte fórmula:

então teremos a matriz inversa de A. Exemplo:

Seja :

Seus cofatores serão:

Então teremos a matriz de cofatores

e sua adjunta será a transposta dessa matriz, portanto:
e como temos:
.

Matriz em blocos

Estas fórmulas, desenvolvidas por Hans Bolz (1923) e Tadeusz Banachiewicz (1937), permitem inverter uma matriz escrita em forma de blocos:

ou:

Os blocos podem ser de qualquer tamanho, desde que A e D sejam matrizes quadradas.

Referências

  1. Ricon, Mauro; Fampa, Márcia (2016). «Álgebra Linear. Aula 9: matriz inversa» (PDF). UFRJ. Consultado em 27 de setembro de 2017 
  2. a b «Álgebra Linear - Matriz Inversa». Consultado em 13 de março de 2019 
  3. Wolfram Alpha. Disponível em: http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html. Acesso em: 24 de junho de 2011.
  4. «Matriz Inversa, Desmonstrações e Exemplos». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estátistica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 17 de julho de 2018 
  5. Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra 3rd ed. [S.l.]: SIAM. p. 71. ISBN 0-961-40889-8 , Chapter 2, page 71

Read other articles:

Kadena Air Base adalah sebuah basis udara Amerika Serikat yang terletak di Kadena dan Chatan dan kota Okinawa, di Prefektur Okinawa, Jepang. Basis ini digunakan selama Perang Dunia II dan Perang Korea. Pranala luar Kadena's official site globalsecurity.org on Kadena 498th Tactical Missile Group at Kadena Artikel bertopik Jepang ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.lbs Artikel bertopik militer ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikiped...

 

 

مين تيرا هيروमैं तेरा हीरो (بالهندية) ملصق الفيلممعلومات عامةتاريخ الصدور 3 أبريل 2014[1] مدة العرض 128 دقيقة[2] اللغة الأصلية الهندية البلد  الهند الطاقمالمخرج ديفيد دهاوان[3][4] السيناريو Tushar Hiranandani (en) الراوي فارون دهاوان البطولة  القائمة ... فارون دها...

 

 

Huruf KirilPe dengan kait tengah Alfabet KirilHuruf SlaviaАА́А̀А̂А̄ӒБВГҐДЂЃЕЕ́ÈЕ̂ЁЄЖЗЗ́ЅИИ́ЍИ̂ЙІЇЈКЛЉМНЊОŌПРСС́ТЋЌУУ́ У̀У̂ӮЎФХЦЧЏШЩЪЫЬЭЮЯHuruf non-SlaviaӐА̊А̃Ӓ̄ӔӘӘ́Ә̃ӚВ̌ҒГ̑Г̣Г̌ҔӺҒ̌ӶД̌Д̣Д̆ӖЕ̄Е̃Ё̄Є̈ӁҖӜҘӞЗ̌З̱З̣ԐԐ̈ӠӢИ̃ҊӤҚӃҠҞҜК̣ԚӅԮԒӍӉҢԨӇҤО́О̀О̆О̂О̃ӦӦ̄ӨӨ̄Ө́Ө̆ӪҨԤР̌ҎҪС̣С̱Т̌Т̣ҬУ̃Ӱ Ӱ́Ӱ̄ӲҮҮ́ҰХ̣Х̱...

Il quadriportico della basilica di Sant'Ambrogio a Milano Il quadriportico in architettura è uno spazio aperto, circondato sui quattro lati da portici. Nell'architettura romana prende questo nome lo spazio porticato dietro la scena del teatro, aperto agli spettatori durante le pause degli spettacoli, ma adibito a volte anche ad altri usi. Nelle prime basiliche cristiane, costituisce lo spazio, per lo più quadrato o rettangolare, circondato da un portico lungo i lati interni e chiuso verso l...

 

 

ХристианствоБиблия Ветхий Завет Новый Завет Евангелие Десять заповедей Нагорная проповедь Апокрифы Бог, Троица Бог Отец Иисус Христос Святой Дух История христианства Апостолы Хронология христианства Раннее христианство Гностическое христианство Вселенские соборы Н...

 

 

2020年夏季奥林匹克运动会波兰代表團波兰国旗IOC編碼POLNOC波蘭奧林匹克委員會網站olimpijski.pl(英文)(波兰文)2020年夏季奥林匹克运动会(東京)2021年7月23日至8月8日(受2019冠状病毒病疫情影响推迟,但仍保留原定名称)運動員206參賽項目24个大项旗手开幕式:帕维尔·科热尼奥夫斯基(游泳)和马娅·沃什乔夫斯卡(自行车)[1]闭幕式:卡罗利娜·纳亚(皮划艇)&#...

阿尔弗雷德·金赛1955年11月在法蘭克福的金賽出生阿爾弗雷德·查爾斯·金賽1894年6月23日[1] 美國新泽西州霍博肯[1]逝世1956年8月25日(1956歲—08—25)(62歲) 美國印第安納州布卢明顿[1]国籍 美國母校史蒂文斯理工學院鲍登学院哈佛大学知名于針對人類的性學研究:金赛报告、金賽性、性別與生殖研究中心、金賽量表科学生涯研究领域生物学机构印第...

 

 

Bầu cử tổng thống Hoa Kỳ 1992 ← 1988 3 tháng 11 năm 1992 (1992-11-03) 1996 → 538 thành viên trong Đại cử tri ĐoànCần 270 phiếu để đắc cửThăm dòSố người đi bầu58.1%[1] 5.3 Điểm phần trăm   Đề cử Bill Clinton George H. W. Bush Ross Perot Đảng Dân chủ Cộng hòa Độc lập Quê nhà Arkansas Texas Texas Đồng ứng cử Al Gore Dan Quayle James Bond Stockdale Phiếu đạ...

 

 

Частина серії проФілософіяLeft to right: Plato, Kant, Nietzsche, Buddha, Confucius, AverroesПлатонКантНіцшеБуддаКонфуційАверроес Філософи Епістемологи Естетики Етики Логіки Метафізики Соціально-політичні філософи Традиції Аналітична Арістотелівська Африканська Близькосхідна іранська Буддій�...

Эта статья — о деревне. Об улице в Москве см. Большая Семёновская улица. ДеревняБольшая Семёновская 59°59′56″ с. ш. 42°45′20″ в. д.HGЯO Страна  Россия Субъект Федерации Вологодская область Муниципальный район Тотемский Сельское поселение Пятовское Ист�...

 

 

Parliamentary constituency in the United Kingdom since 1983 WitneyCounty constituencyfor the House of CommonsBoundary of Witney in OxfordshireLocation of Oxfordshire within EnglandCountyOxfordshireElectorate78,220 (December 2010)[1]Major settlementsWitney, Carterton, Chipping Norton and CharlburyCurrent constituencyCreated1983Member of ParliamentRobert Courts (Conservative)SeatsOneCreated fromMid Oxfordshire and Banbury[2] Witney is a county constituency in Oxfordshire represe...

 

 

Dan GurneyLahir(1931-04-13)13 April 1931Port Jefferson, New York, AS[1]Meninggal14 Januari 2018(2018-01-14) (umur 86)Newport Beach, California, ASKarier Kejuaraan Dunia Formula SatuKebangsaan Amerika SerikatTahun aktif1959 - 1968, 1970TimFerrari, BRM, Porsche, Lotus, Brabham, Eagle, McLarenJumlah lomba87 (86 starts)Juara Dunia0Menang4Podium19Total poin133Posisi pole3Lap tercepat6Lomba pertamaGrand Prix Prancis 1959Menang pertamaGrand Prix Prancis 1962Menang terakhirGrand Prix Pra...

Human settlement in EnglandBrightlingseaBrightlingsea and harbourBrightlingseaLocation within EssexPopulation8,076 (2011 Census)[1]OS grid referenceTM087168Civil parishBrightlingseaDistrictTendringShire countyEssexRegionEastCountryEnglandSovereign stateUnited KingdomPost townCOLCHESTERPostcode districtCO7Dialling code01206PoliceEssexFireEssexAmbulanceEast of England UK ParliamentHarwich and North Essex List of places UK England Essex 51°49′N...

 

 

1990 film by Steve Barron Teenage Mutant Ninja TurtlesTheatrical release posterDirected bySteve BarronScreenplay by Todd W. Langen Bobby Herbeck Story byBobby HerbeckBased onCharactersby Kevin EastmanPeter LairdProduced by Kim Dawson Simon Fields David Chan Starring Judith Hoag Elias Koteas CinematographyJohn FennerEdited by William D. Gordean Sally Menke James R. Symons Music byJohn Du PrezProductioncompanies Golden Harvest Entertainment Company[1] Limelight Productions[1] 88...

 

 

Découpage cantonal du département du Puy-de-Dôme, avec en surimpression les arrondissements (en nuances de bleu) - Carte arrêtée au 1er janvier 2019. Le département du Puy-de-Dôme compte 31 cantons depuis 2015, à la suite du redécoupage cantonal de 2014. Histoire Découpage antérieur à 2014 Liste des 61 cantons du département du Puy-de-Dôme, par arrondissement, en 2013 : arrondissement d'Ambert - 8 cantons, chef-lieu : Ambert :canton d'Ambert - canton d'Arlanc - ca...

Mayor Jenderal TNI (Purn.)H.Soewardi Prawiranegara Gubernur Jawa Tengah Ke-11Masa jabatan1993–1998PendahuluMuhammad IsmailPenggantiMardiyantoDuta Besar Indonesia untuk Malaysia Ke-8Masa jabatan1984–1988PresidenSoehartoPendahuluRais AbinPenggantiSunarso Djajusman Informasi pribadiLahir(1938-04-13)13 April 1938Singaraja, BaliMeninggal31 Maret 2015(2015-03-31) (umur 76)Semarang, Jawa Tengah, IndonesiaKebangsaanIndonesiaPartai politikPartai Golongan KaryaAlma materAkademi Militer...

 

 

Commuter rail lines in Massachusetts, US For the former railroad, see Old Colony Railroad. Old Colony LinesAn outbound Middleborough/Lakeville train arriving at Holbrook/Randolph in 2017OverviewOwnerMassachusetts Bay Transportation AuthorityLocaleSoutheastern MassachusettsTerminiSouth StationMiddleborough/​Lakeville, KingstonStations4 (mainline)6 (Middleborough/Lakeville)7 (Kingston/Plymouth)ServiceTypeCommuter railSystemMBTA Commuter RailTrain number(s)2–65 (weekday)1002-1057 (Saturday)2...

 

 

Para otros usos de este término, véase Ibicuy (desambiguación). Río Ibicuy Rio Ibicuí Foto de Uruguay tomada desde satélite. Se aprecian claramente los límites actuales de Uruguay con Brasil en rojo, y el río Ibicuy en celeste.Ubicación geográficaCuenca Cuenca del PlataNacimiento n/dDesembocadura río UruguayCoordenadas 29°25′16″S 56°46′20″O / -29.42111111, -56.77222222Ubicación administrativaPaís Brasil BrasilDivisión Río Grande del SurCuerpo de ...

تكيفية النمط الظاهري (بالإنجليزية: Phenotypic plasticity)‏ هي قدرة الكائن الحي على تغيير نمطه الظاهري كاستجابة للتغييرات التي تحدث في بيئته.[1] تكيفية النمط الظاهري تشمل كل أنواع التغيرات المحدثة بواسطة البيئة (مثل التغيرات الشكلية، الفيزيولوجية، السلوكية والفينولوجية) التي قد...

 

 

Municipality in North Rhine-Westphalia, GermanyLadbergen MunicipalityLadbergen Dorfstraße Coat of armsLocation of Ladbergen within Steinfurt district Ladbergen Show map of GermanyLadbergen Show map of North Rhine-WestphaliaCoordinates: 52°08′12″N 7°44′14″E / 52.13667°N 7.73722°E / 52.13667; 7.73722CountryGermanyStateNorth Rhine-WestphaliaAdmin. regionMünster DistrictSteinfurt SubdivisionsVillage (centre), Hölter, Wester and OverbeckGovernment •&#...