Na matemática, a curvatura média ${\displaystyle H}$ de uma superfície ${\displaystyle S}$ é uma medida extrínseca da curvatura que vem da geometria diferencial e descreve localmente a curvatura de uma superfície incorporada em algum ambiente espacial, como o espaço euclidiano.

O conceito foi usado por Sophie Germain em seu trabalho sobre a teoria da elasticidade.^[1][2] Jean Baptiste Marie Meusnier o usou em 1776, em seus estudos sobre superfícies mínimas. É importante na análise de superfícies mínimas, que possuem curvatura média zero, e na análise de interfaces físicas entre fluidos (como filmes de sabão ) que, por exemplo, apresentam curvatura média constante em fluxos estáticos, pela equação de Young-Laplace.

Deixe ${\displaystyle p}$ ser um ponto na superfície ${\displaystyle S}$. Cada plano através de ${\displaystyle p}$ contendo a linha normal para ${\displaystyle S}$ corta ${\displaystyle S}$ em uma curva (plana). Fixando uma opção de unidade normal fornece uma curvatura específica para essa curva. Como o plano é rotacionado por um ângulo ${\displaystyle \theta }$ (sempre contendo a linha normal), a curvatura pode variar. A curvatura máxima ${\displaystyle \kappa _{1}}$ e a curvatura mínima ${\displaystyle \kappa _{2}}$ são conhecidas como as curvaturas principais de ${\displaystyle S}$.

A curvatura média em ${\displaystyle p\in S}$ é então a média das curvaturas específicas por todos os ângulos ${\displaystyle \theta }$ :

${\displaystyle H={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\;d\theta }$.

Aplicando o teorema de Euler, vemos que isso é igual à média das curvaturas principais (Spivak 1999, Volume 3, Chapter 2)  :

${\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).}$

De maneira mais geral (Spivak 1999, Volume 4, Chapter 7) , para uma Hípersuperfície ${\displaystyle T}$ a curvatura média é dada como

${\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.}$

Mais abstratamente, a curvatura média é o traço da segunda forma fundamental dividida por n (ou equivalente, o operador de forma).

Além disso, a curvatura média ${\displaystyle H}$ pode ser escrita em termos do derivada covariante ${\displaystyle \nabla }$ como

${\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,}$

usando as relações de Gauss-Weingarten, onde ${\displaystyle X(x)}$ é uma hipersuperfície suavemente incorporada, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ um vetor normal unitário e ${\displaystyle g_{ij}}$ o tensor métrico.

Uma superfície é uma superfície mínima se e somente se a curvatura média for zero. Além disso, uma superfície que se desenvolve sob a curvatura média da superfície ${\displaystyle S}$, diz-se que obedece a uma equação do tipo calor chamada equação de fluxo de curvatura média.

A esfera é a única superfície incorporada de curvatura média positiva constante, sem limites ou singularidades. No entanto, o resultado não é verdadeiro quando a condição "superfície incorporada" é enfraquecida para "superfície imersa".^[3]

Para uma superfície definida no espaço 3D, a curvatura média está relacionada a uma unidade normal da superfície:

${\displaystyle 2H=-\nabla \cdot {\hat {n}}}$

onde a normal escolhida afeta o sinal da curvatura. O sinal da curvatura depende da escolha da normal: a curvatura é positiva se a superfície se curva "em direção" à normal. A fórmula acima vale para superfícies no espaço 3D definidas de qualquer maneira, desde que a divergência da unidade normal possa ser calculada. A curvatura média também pode ser calculada

${\displaystyle 2H={\text{Traço}}((II)(I^{-1}))}$

onde I e II denotam primeira e segunda matrizes quadráticas, respectivamente.

Para o caso especial de uma superfície definida como uma função de duas coordenadas, por exemplo ${\displaystyle z=S(x,y)}$ , e usando a normal apontando para cima, a expressão da curvatura média (dobrada) é

${\displaystyle {\begin{aligned}2H&=-\nabla \cdot \left({\frac {\nabla (z-S)}{|\nabla (z-S)|}}\right)\\&=\nabla \cdot \left({\frac {\nabla S-\nabla z}{\sqrt {1+|\nabla S|^{2}}}}\right)\\&={\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}}$

Em particular em um ponto em que ${\displaystyle \nabla S=0}$, a curvatura média é metade do traço da matriz Hessiana de ${\displaystyle S}$ .

Se a superfície é adicionalmente conhecida por ser simétrica em relação ao eixo com ${\displaystyle z=S(r)}$ ,

${\displaystyle 2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}+{\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{1/2}}},}$

Onde ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r}}}$ vem da derivada de ${\displaystyle z=S(r)=S\left(\scriptstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$ .

A curvatura média de uma superfície especificada por uma equação implícita ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$ pode ser calculada usando o gradiente ${\displaystyle \nabla F=\left({\frac {\partial F}{\partial x}},{\frac {\partial F}{\partial y}},{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)}$ e a matriz Hessiana

${\displaystyle \textstyle {\mbox{Hess}}(F)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}\end{pmatrix}}.}$

A curvatura média é dada por:^[4][5]

${\displaystyle H={\frac {\nabla F\ {\mbox{Hess}}(F)\ \nabla F^{\mathsf {T}}-|\nabla F|^{2}\,{\text{Trace}}({\mbox{Hess}}(F))}{2|\nabla F|^{3}}}}$

Outra forma é a divergência da unidade normal. Uma unidade normal é dada por ${\displaystyle {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}}$ e a curvatura média é

${\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}\right).}$

Uma definição alternativa é ocasionalmente usada na mecânica de fluidos para evitar fatores de dois:

${\displaystyle H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\,}$ .

Isso resulta na pressão de acordo com a equação de Young-Laplace dentro de uma gota esférica de equilíbrio, sendo a tensão superficial vezes ${\displaystyle H_{f}}$ ; as duas curvaturas são iguais ao recíproco do raio da gota

${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}\,}$ .

Uma superfície mínima é uma superfície que possui curvatura média zero em todos os pontos. Exemplos clássicos incluem o catenóide, o helicoide e a superfície Enneper . Descobertas recentes incluem a superfície mínima de Costa e o Gyroid.

Uma extensão da ideia de uma superfície mínima são superfícies de curvatura média constante. As superfícies de unidade de curvatura média constante do espaço hiperbólico são chamadas superfícies de Bryant .^[6]

• Curvatura gaussiana
• Fluxo médio da curvatura
• Fluxo médio inverso da curvatura
• Primeira variação da fórmula da área
• Método de grade esticada.

Referências

• Spivak, Michael (1999), A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4), ISBN 978-0-914098-72-0 3rd ed. , Publish or Perish Press, (Volume 3), (Volume 4) .
• P.Grinfeld (2014). Introduction to Tensor Analysis and the Calculus of Moving Surfaces. Springer. [S.l.: s.n.] ISBN 978-1-4614-7866-9