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Distribuição Qui-quadrado
A função densidade de probabilidade da distribuição χ²
A função distribuição acumulada da distribuição χ²
Parâmetros	${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{>0}}$ graus de liberdade
Suporte	${\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}$ if ${\displaystyle k=1}$, caso contrário ${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
f.d.p.	${\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;}$
f.d.a.	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;}$
Média	${\displaystyle k}$
Mediana	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}$
Moda	${\displaystyle \max(k-2,0)\;}$
Variância	${\displaystyle 2k\;}$
Obliquidade	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,}$
Curtose	${\displaystyle {\frac {12}{k}}}$
Entropia	${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {k}{2}}&+\log(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\end{aligned}}}$
Função Geradora de Momentos	${\displaystyle (1-2t)^{-k/2}{\text{ para }}t<{\frac {1}{2}}\;}$
Função Característica	${\displaystyle (1-2it)^{-k/2}}$ [1]

A distribuição χ² ou qui-quadrado é uma das distribuições mais utilizadas em estatística inferencial, principalmente para realizar testes de χ². Este teste serve para avaliar quantitativamente a relação entre o resultado de um experimento e a distribuição esperada para o fenômeno. Isto é, ele nos diz com quanta certeza os valores observados podem ser aceitos como regidos pela teoria em questão. Muitos outros testes de hipótese usam, também, a distribuição χ².

Dado um experimento onde foram realizadas N medidas de uma variável aleatória X. Em cada medida, a variável X assume os valores x₁, x₂, ...,x_N. Gostaríamos de testar se a distribuição experimental dos valores x₁, x₂, ..., x_k, ..., x_N é consistente com a distribuição esperada para o fenômeno, f(X). Em outras palavras, temos que avaliar como esperaríamos que as N medidas estivessem distribuídas e então comparar com a distribuição observada. Primeiramente, em geral x é uma variável contínua, de forma que não podemos nos referir ao valor esperado de medidas com um único valor de x^[2] (se x for contínuo, a probabilidade de X assumir um exato valor é zero). Logo, precisamos definir intervalos a ≤ x ≤ b e calcular o número esperado de medidas que devem estar dentro de cada intervalo j, em que j = 1, 2, …, n e n é o número de intervalos definidos. O número de medidas esperadas para o intervalo j, E_j, será, então,

${\displaystyle E_{j}=NPr_{j}}$,

onde Pr_j é a probabilidade de X assumir um valor dentro do intervalo j. Essa probabilidade obviamente depende da distribuição f(X) e é normalizada:

${\displaystyle \sum _{j}Pr_{j}=1.}$

É natural analisar a diferença entre o número de amostras observadas dentro de cada intervalo, O_j, e o número esperado:

${\displaystyle O_{j}-E_{j}}$,

de forma que quanto menor forem estes valores, melhores serão as chances de nossa hipótese para f(X) ser verdadeira. Porém, não podemos esperar que os dois valores O_j e E_j coincidam perfeitamente para qualquer número finito de medidas que realizarmos. Na verdade, se imaginarmos uma situação onde realizamos o procedimento de contar o número O_j muitas vezes, esperamos que a média de O_j seja E_j, com um desvio padrão σ_j=E_j^1/2.^[2] Logo, esperamos que

${\displaystyle {\frac {O_{j}-E_{j}}{\sigma _{j}}}}$

seja da ordem de unidade, se nossa hipótese for verdadeira. Definimos, portanto, a variável χ_k², com k graus de liberdade estatísticos, como sendo

${\displaystyle \chi _{k}^{2}\equiv \sum _{j=1}^{n}{\frac {(O_{j}-E_{j})^{2}}{E_{j}}},}$

indicando o quanto as distribuições experimental e teórica são parecidas. Se χ² ≤ n, há uma boa concordância entre as distribuições, e se χ² >> n é bem provável que a hipótese para f(X) seja falsa. Os graus de liberdade k são definidos como a diferença entre o número de medidas realizadas e o número de restrições feitas aos valores das medidas.^[2]

É possível estudar as discrepâncias em experimentos que envolvam duas variáveis, em diferentes níveis. Os valores observados podem ser anotados em um quadro da seguinte forma:

O objetivo é observar o nível de relação existente entre as variáveis estudadas. Nesse caso, a estatística de teste é dado por:

${\displaystyle \chi _{k}^{2}\equiv \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\frac {(O_{ij}-E_{ij})^{2}}{E_{ij}}},}$

onde as frequências esperadas são dadas por:

${\displaystyle E_{ij}={\frac {L_{i}C_{j}}{T}}}$

A probabilidade da distribuição qui quadrado não é simétrica como a da distribuição normal. Dessa forma, para aumentar seu estado de simetria, é necessário aumentar o seu grau de liberdade, portanto a relação entre simetria e grau de liberdade é diretamente proporcional.

A variável ${\displaystyle \chi _{k}^{2}}$, por si só, apresenta uma função densidade de probabilidade. Esta função apresenta qual a probabilidade de a variável ${\displaystyle \chi _{k}^{2}}$ assumir um valor entre ${\displaystyle \chi _{k}^{2}}$ e ${\displaystyle \chi _{k}^{2}+d\chi _{k}^{2}}$, e é dada por:

${\displaystyle f(\chi _{k}^{2})={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}(\chi _{k}^{2})^{k/2-1}e^{-\chi _{k}^{2}/2}.}$

Exemplos desta função para diversos k estão plotados na figura ao lado.

Em posse desta expressão, pode-se calcular a probabilidade de, num teste de χ², obter-se um valor igual ou maior ao valor encontrado, ${\displaystyle (\chi ^{2})'}$, calculando a integral

${\displaystyle \int _{(\chi ^{2})'}^{\infty }f(\chi ^{2})\,d\chi ^{2}.}$

Desta forma, encontramos um modo quantitativo para determinar a concordância entre distribuição experimental e teórica. Em geral, para evitar o cálculo desta integral, se recorre a tabelas que apresentam os valores das probabilidades para cada intervalo de confiança e para cada grau de liberdade.

É interessante analisar que a média da distribuição χ² é k. Isto é se repetirmos o teste de χ² muitas vezes (para várias medidas coletadas diferentes), esperamos que a média dos valores de χ² encontrados tenda para o número de graus de liberdade estatísticos.

A distribuição qui-quadrado pode ser simulada a partir da distribuição normal. Por definição, se ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},\ldots Z_{k}\,}$ forem k distribuições normais padronizadas (ou seja, média 0 e desvio padrão 1) independentes, então a soma de seus quadrados é uma distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade:

${\displaystyle \chi _{k}^{2}=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\ldots +Z_{k}^{2}\,}$

a definição é que a soma de duas qui-quadrado independentes também é uma qui-quadrado:

${\displaystyle \chi _{a}^{2}+\chi _{b}^{2}=\chi _{a+b}^{2}.}$

Podemos aplicar o teste de χ² para analisar quão boa é a concordância entre um conjunto de medidas ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ e a relação esperada ${\displaystyle y=y(x)}$.^[2] Por exemplo, suponhamos que desejamos testar a hipótese de que a trajetória do lançamento de um projétil é uma parábola. O projétil sairá de uma altura de ${\displaystyle h=100m}$, com uma velocidade inicial horizontal de ${\displaystyle v_{i}=100m/s}$ e num local onde a gravidade vale ${\displaystyle g=9.8m/s^{2}}$. Esperamos, portanto, que a altura do projétil em função da sua distância em relação ao ponto de partida seja:

${\displaystyle y(x)=h-{\frac {g}{2v_{i}^{2}}}x^{2}.}$

Para testar a hipótese, fazemos 10 medidas de x e de y em tempos específicos. A tabela abaixo mostra os valores encontrados.

Para os valores encontrados, a incerteza na medida de x é desprezível e a de y é ${\displaystyle \sigma =3}$. Como não calculamos nenhum parâmetro a partir dos valores medidos, o número de graus de liberdade é o mesmo do número de medidas, 10. Com estes valores, podemos calcular o valor de χ²:

${\displaystyle \chi _{10}^{2}=\sum _{i=1}^{10}{\frac {(y_{i}-y(x_{i}))^{2}}{\sigma ^{2}}}=20,24,}$

ou, ainda:

${\displaystyle {\frac {\chi _{10}^{2}}{k}}=2,024.}$

De posse do valor "normalizado" de ${\displaystyle \chi ^{2}}$, podemos usar uma tabela para descobrir a probabilidade de se obter este valor ou mais, e assim saber com quanta certeza podemos dizer que os valores encontradas realmente estão distribuídos como esperado. Neste caso, para 10 graus de liberdade:

${\displaystyle Pr(\chi _{10}^{2}\geq 2,024)=2,9\%.}$

O que descobrimos foi que a probabilidade de que as medidas obtidas realmente estejam sendo governadas pela lei prevista é de apenas 2,9%, ou seja, deveríamos rejeitar esta hipótese. Isto é, temos apenas 2,9% de certeza que a trajetória do projétil foi realmente uma parábola e que os grandes desvios observados foram apenas flutuações estatísticas.

Poderíamos ter avaliado a concordância experimental com a teórica fazendo os gráficos e comparando-os "à olho". Teríamos visto que o projétil caiu bem antes do que o previsto, sugerindo que estejamos esquecendo fatores de resistência do ar (no modelo previsto, consideramos apenas a força da gravidade, e ignoramos qualquer atrito que pudesse haver entre ar e projétil, que de fato existe, principalmente para velocidades grandes como 100 m/s).

• Se U for uma distribuição uniforme no intervalo (0,1), então -2 log U é uma distribuição qui-quadrado com 2 graus de liberdade.

O símbolo χ², a segunda potência de χ (ou ${\displaystyle \chi }$), envolve a forma minúscula de letra do alfabeto grego chamada qui^[3] (também chamada, menos frequentemente, chi em português^[4]). Devido a semelhança da letra grega com a letra xis x do alfabeto latino é comum a ocorrência de confusões, motivo pelo qual alguns autores optam por utilizar o nome da letra por extenso, em expressões como qui-quadrado. Essa é a forma recomendada pelo Glossário Inglês-Português de Estatística da Sociedade Portuguesa de Estatística e da Associação Brasileira de Estatística.^[5]

Referências

• Portal da matemática