Matriz flecha

Na álgebra linear, uma matriz flecha ou matriz ponta de flecha é uma matriz quadrada que contém zeros em todas as entradas, exceto na primeira linha, primeira coluna e diagonal principal, essas entradas podem ser qualquer número.[1][2] Em outras palavras, a matriz tem a forma

Qualquer permutação simétrica da matriz ponta de flecha, , onde é uma matriz de permutação, é uma matriz ponta de flecha (permutada). Matrizes ponta de flecha reais simétricas são usadas em alguns algoritmos para encontrar autovalores e autovetores.[3]

Matrizes flecha reais simétricas

Seja uma matriz ponta de flecha real simétrica (permutada) da forma

onde é a matriz diagonal de ordem n-1,

é um vetor e é um escalar. Seja

a decomposição de autovalores de , onde

é uma matriz diagonal cujos elementos diagonais são os autovalores de , e

é uma matriz ortonormal cujas colunas são os autovetores correspondentes. O seguinte é válido:

  • Se para algum , então o par , onde é o i-ésimo vetor de base canônica, é um par próprio de . Assim, todas essas linhas e colunas podem ser excluídas, deixando a matriz com todos .
  • O teorema do entrelaçamento de Cauchy implica que os autovalores classificados de entrelaçam os elementos classificados : se (isso pode ser alcançado por permutação simétrica de linhas e colunas sem perda de generalidade), e se os s são classificados de acordo, então .
  • Se , para algum , a desigualdade acima implica que é um valor próprio de . O tamanho do problema pode ser reduzido pela aniquilação de com uma rotação de Givens no plano- e procedendo como acima.

Matrizes pontas de flecha simétricas surgem em descrições de transições sem radiação em moléculas isoladas e osciladores vibracionalmente acoplados a um líquido de Fermi.[4]

Autovalores e autovetores

Uma matriz ponta de flecha simétrica é irredutível se para todo e para todo . Os valores próprios de uma matriz ponta de flecha real simétrica irredutível são os zeros da equação secular

que pode ser, por exemplo, calculado pelo método da bisseção. Os autovetores correspondentes são iguais a

A aplicação direta da fórmula acima pode produzir autovetores que não são numericamente suficientemente ortogonais.[1] O algoritmo progressivo estável que calcula cada autovalor e cada componente do autovetor correspondente com precisão quase total está descrito.[2] A versão Julia do software está disponível.[5]

Inversas

Seja uma matriz irredutível ponta de flecha simétrica real. E se para algum , a inversa é uma matriz ponta de seta simétrica real irredutível permutada:

onde

Se para todo , a inversa é uma modificação de posto-um de uma matriz diagonal (diagonal-mais-posto-um ou DMP1):

onde

Referências

  1. a b O'Leary, D. P.; Stewart, G. W. (1990). «Computing the eigenvalues and eigenvectors of symmetric arrowhead matrices». Journal of Computational Physics. 90 (2): 497–505. Bibcode:1990JCoPh..90..497O. doi:10.1016/0021-9991(90)90177-3 
  2. a b Jakovcevic Stor, Nevena; Slapnicar, Ivan; Barlow, Jesse L. (2015). «Accurate eigenvalue decomposition of real symmetric arrowhead matrices and applications». Linear Algebra and Its Applications. 464: 62–89. arXiv:1302.7203Acessível livremente. doi:10.1016/j.laa.2013.10.007 
  3. Gu, Ming; Eisenstat, Stanley C. (1995). «A Divide-and-Conquer Algorithm for the Symmetric Tridiagonal Eigenproblem». SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 16: 172–191. doi:10.1137/S0895479892241287 
  4. O'Leary, D.P.; Stewart, G.W. (outubro de 1990). «Computing the eigenvalues and eigenvectors of symmetric arrowhead matrices» (PDF). Journal of Computational Physics. 90 (2): 497–505. Bibcode:1990JCoPh..90..497O. doi:10.1016/0021-9991(90)90177-3 
  5. "Arrowhead.jl"