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Na matemática, geometria euclidiana é a geometria, em duas e três dimensões, baseada nos postulados de Euclides de Alexandria.

A geometria euclidiana teve sua origem com o grande matemático Euclides de Alexandria^[1]. Nascido aproximadamente em 330 a.C. na Síria, ele realizou seus estudos na cidade de Atenas onde frequentou a Academia de Platão. A pedido do rei, Ptolomeu I governante do Egito entre 323 a.C. à 283 a.C. foi convidado a estudar Matemática na academia de Alexandria também conhecida como “Museu”. Com o passar do tempo ganhou destaque pela forma que ele ensinava Geometria e Álgebra. Essas disciplinas já eram de conhecimento pelos matemáticos anteriores a Euclides, porém ele fez um estudo mais aprofundado dos conteúdos, os organizou de forma lógica e as condensou, instituindo a característica grega do Rigor Científico e criando uma das maiores obras primas da Matemática, denominada “Os Elementos”. Esta obra é constituída por treze livros que contemplam tópicos como aritmética, geometria e álgebra.^[2]

O texto de "Os elementos"^[3] foi a primeira discussão sistemática sobre a geometria e o primeiro texto a falar sobre teoria dos números. Foi também um dos livros mais influentes na história, tanto pelo seu método quanto pelo seu conteúdo matemático. O método consiste em assumir um pequeno conjunto de axiomas intuitivos e, então, provar várias outras proposições (teoremas) a partir desses axiomas. Muitos dos resultados de Euclides já haviam sido afirmados por matemáticos gregos anteriores, porém ele foi o primeiro a demonstrar como essas proposições poderiam ser reunidas juntas em um abrangente sistema dedutivo.

A teoria desenvolvida através deste livro foi uma das mais importantes da Matemática, ela foi adotada por muitos como base para estudar a Geometria. A partir do final do Século XIX para o inicio do Século XX foi instituída a disciplina de Geometria Euclidiana seguindo a axiomática instituída por Euclides que se distingue por apresentar um espaço que não se modifica em momento algum, revela uma estrita simetria, se uma relação for verdadeira para “a” e “b” tomadas nessa ordem também será para “b” e “a” nesta ordem. Essa teoria atravessou a Idade Média e o Renascimento como representação do conhecimento clássico, a partir da Idade Moderna o modelo euclidiano foi substituído por outras geometrias.

A geometria euclidiana tem sua base em axiomas e postulados. Para Aristóteles, axiomas são verdades incontestáveis aplicadas a todas as ciências e os postulados eram verdades sobre um determinado tema (neste caso, a geometria) e foi assim também usado por Euclides. Ao todo, são dez proposições que utilizam os conceitos de ponto, intermediação e congruência. Toda geometria que satisfaz a todos eles é considerada euclidiana.

Os axiomas^[2] são:

• Axioma 1: Coisas que são iguais a uma mesma coisa, são iguais entre si.
• Axioma 2: Se iguais são adicionados a iguais, os resultados são iguais.
• Axioma 3: Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais.
• Axioma 4: Coisas que coincidem uma com a outra, são iguais.
• Axioma 5: O todo é maior do que qualquer uma das suas partes.

Os axiomas não são passíveis de demonstração por serem evidentemente verdadeiros. Os postulados surgem com o desenvolvimento dos axiomas e, se provados verdadeiros, são considerados teoremas^[3]. 

Estes são os seguintes:

• Postulado 1: Dados dois pontos distintos, há um único segmento de reta que os une;
• Postulado 2: Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta;
• Postulado 3: Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se construir uma circunferência de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;
• Postulado 4: Todos os ângulos retos são congruentes (semelhantes);
• Postulado 5: Se duas linhas intersectam uma terceira linha de tal forma que a soma dos ângulos internos em um lado é menor que dois ângulos retos, então as duas linhas devem se intersectar neste lado se forem estendidas indefinidamente. (Postulado de Euclides ou Postulado das Paralelas)

Euclides fez algumas definições para que a geometria tivesse sentido e pudesse provar suas proposições, no total foram 23 definições:

1. Ponto é aquilo de que nada é parte;
2. Linha é comprimento sem largura;
3. Extremidades de uma linha são pontos;
4. Linha reta é a que está posta por igual com os pontos sobre si mesma;
5. Superfície é aquilo que tem somente comprimento e largura;
6. Os lados de uma superfície são linhas;
7. Superfície plana é a que esta posta por igual com retas sobre si mesma;
8. Ângulo plano é a inclinação, entre elas, de duas linhas no plano, que se tocam e não estão postas sobre uma reta;
9. Quando as linhas que contêm o ângulo sejam retas, o ângulo é chamado de retilíneo;
10. Quando uma reta, tendo sido alterada sobre uma reta, faça os ângulos adjacentes iguais, cada um dos ângulos é reto, e a reta que se alteou é chamada uma perpendicular àquela sobre a que se alteou;
11. Ângulo obtuso é o maior do que um reto;
12. Agudo, o menor que um reto;
13. Fronteira é aquilo que é extremidade de alguma coisa.
14. Figura é o que é contido por alguma ou algumas fronteiras;
15. Círculo é uma figura plana contida por uma linha [ que é chamada circunferência ], em relação a qual todas as retas que a encontram [ até a circunferência do círculo ], a partir de um ponto dos postos no interior da figura, são iguais entre si;
16. O ponto é chamado de centro do círculo;
17. Diâmetro do círculo é alguma reta traçada através do centro, e terminando, em cada um dos lados, pela circunferência do círculo, e que corta o círculo em dois;
18. Semicírculo é a figura contida tanto pelo diâmetro quanto pela circunferência cortada por ele. E centro do semicírculo é o mesmo do círculo.
19. Figuras retilíneas são as contidas por retas, por um lado, triláteras, e por três, e, por outro lado, quadriláteras, as por quatro, enquanto multiláteras, as contidas por mais do que quatro retas;
20. Das figuras triláteras, por um lado, triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais, e, por outro lado, isósceles, o que tem dois lados iguais, enquanto escaleno, o que tem três lados desiguais;
21. Ainda das figuras trilateras, por um triângulo retângulo é o que tem um ângulo reto, e, por outro lado, obtusângulo, o que tem um ângulo obtuso, enquanto acutângulo, o que tem três ângulos agudos;
22. Das figuras quadriláteras, por um lado, quadrado é aquela que é tanto equilátera quanto retangular, e, por outro lado, oblongo, a que, por um lado, é retangular, e, por outro lado, não é equilátera, enquanto losango, e que, por um lado, é equilátera, e, por outro lado, não é retangular, e romboide, a que tem tantos os lados opostos quantos os ângulos opostos iguais entre si, a qual não é equilátera nem retangular; e as quadriláteras, além dessas, sejam chamadas trapézios;
23. Paralelas são retas que, estão no mesmo plano, e sendo prolongadas ilimitadamente em cada um dos lados, em nenhum se encontram.

A partir dessas definições, dos axiomas e postulados, Euclides fez várias demonstrações. Vejamos como ele demonstrou as seguintes proposições:

• Construir um triângulo equilátero sobre uma reta limitada dada. (proposição 1)

“Seja a reta limitada dada AB. É preciso, então, sobre a reta AB construir um triângulo equilátero.

Fique descrito, por um lado, com o centro A, e por outro lado, com a distância AB, o circulo BCD, e, de novo, fique descrito, por um lado, com o centro B, e, por outro lado, com a distancia BA, o circulo ACE, e, a partir do ponto C, no qual os círculos se cortam, até os pontos A, B, fiquem ligadas as retas CA, CB.

E, como o ponto A é centro do circulo CDB, a AC é igual à AB; de novo, como o ponto B é centro do circulo CAE, a BC é igual à BA. Mas a CA foi também provada igual à AB; portanto, cada uma das CA, CB é igual à AB. Mais as coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si; portanto, também a CA é igual à CB, portanto, as três CA, AB, BC são iguais entre si.

Portanto, o triângulo ABC é equilátero, e foi construído sobre a reta limitada dada AB.”

Com o auxílio do 1º e 3º postulados, mais as definições 15 e 20 ele provou a proposição acima.

• Pelo ponto dado, traçar uma linha reta paralela à reta dada. (proposição 31)

“Sejam, por um lado, o ponto A, e, por outro lado, a reta dada BC; é preciso, então, pelo ponto A, traçar uma linha reta paralela à reta dada BC.

Fique tomado, sobre a BC, o ponto D, encontrado ao acaso, e fique ligada a Ad; e fique construído, sobre a reta DA e no ponto A sobre ela, o sob DAE igual ao ângulo sob ADC; e fique prolongada a reta AF sobre uma reta com a EA.

E, como a reta AD, caindo sobre as duas retas BC, EF, fez os ângulos sob EAD, ADC, alternos, iguais entre si, portanto, a EAF é paralela à BC.

Portanto, pelo ponto dado A, foi traçada a linha reta EAF paralela à reta dada BC; o que era preciso fazer.”

Com o auxílio dos postulados 1 e 2 e também usando as proposições 23 e 24 ele provou esta proposição.

• Cortar em duas a reta limitada dada. ( proposição 10)

Seja a reta dada AB; é preciso, então, cortar a reta limitada AB em duas.

Fique construído sobre ela o triângulo equilátero ABC, e fique cortado o ângulo sob ACB em dois pela reta CD; digo que a reta AB foi cortada em duas no ponto D.

Pois, como a AC é igual à CB, e a CD é comum, então, as duas AC, CD são iguais às duas BC, CD, cada uma a cada uma; e o ângulo sob ACD é igual ao ângulo sob BCD; portanto, a base AD é igual à base BD.

Portanto, a reta limitada dada AB foi cortada em duas no D; o que era preciso fazer.

Com o auxílio da definição 20 e também usando as proposições 1, 4 e 9 ele provou esta proposição.

• As paralelas à mesma reta são paralelas entre si. ( proposição 30)

Seja cada uma das AB, CD paralelas à EF; digo que também a AB é paralela à CD. Caia, pois, a reta GK sobre elas. E, como a reta GK caiu sobre as retas paralelas AB, EF, portanto, sob AGK é igual ao sob GHF. De novo,como a reta GK caiu sobre as paralelas EF, CD, o sob GHF é igual ao sob GKD. Mais foi provado também o sob AGK igual ao sob GHF. Portanto, também o sob AGK é igual ao sob GKD; e são alternos. Portanto, a AB é paralela à CD.

Portanto, as paralelas à mesma reta são paralelas entre si; o que era preciso provar.

Com o auxílio das proposições 27 e 29 a proposição acima foi provada. Até os dias atuais é utilizado essas ferramentas para resolver problemas de geometria euclidiana.

• Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sobre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sobre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto. (Proposição 47)

Seja um triângulo retângulo ABC, cujo ângulo BÂC é reto. Nos segmentos AB, BC e AC construir os quadrados ABFG, BDEC e ACHI, respectivamente (proposição 46). Do ponto A, trace uma paralela AL ao segmento BD (proposição 31). Trace os segmentos FC e AD. Por serem retos, os ângulos ABF e CBD são congruentes, junte a eles o ângulo ABC, então os ângulos CBF e ABD são congruentes (axioma 2). Pela proposição 4, os triângulos CBF e ABD são congruentes, pelo critério lado, ângulo e lado. Por estar na mesma base BD e entre as mesmas paralelas BD e AL, o paralelogramo BL possui o dobro da área do triângulo ABD (proposição 41). Por estar na mesma base FB e entre as mesmas paralelas FB e GC, o quadrado ABFG possui o dobro da área do triângulo CBF (proposição 41). Logo, pelo axioma 6, o quadrado ABFG possui a mesma área que o paralelogramo BL. Seguindo o mesmo raciocínio, traçando o segmento AE e HB, o quadrado ACHI possui a mesma área do paralelogramo CL.

Portanto, Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sobre o lado oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sobre os outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto.

Com o auxílio das proposições 46, 31, 4 e 41 e dos axiomas 2 e 6 ele provou essa proposição.

O quinto postulado da geometria euclidiana por muitos anos foi alvo de tentativas de prova por vários matemáticos, porém essa demonstração jamais foi alcançada. As tentativas tinham o intuito de demonstrá-lo sem o auxílio de outra proposição que utilizava o mesmo princípio, logo abaixo está a tentativa de Nasiredin^[4], (1201 - 1274), ou Nasir Eddin al-Tusi, astrônomo e matemático persa, que compilou uma versão árabe dos Elementos de Euclides:

”ele parece ter sido o primeiro a dirigir sua atenção para a importância, no estudo do Quinto Postulado, do teorema da soma dos ângulos de um triângulo”.

Inicialmente, Nasiredin considera, sem provar, a seguinte afirmação:

Sejam os pontos A e B, respectivamente, sobre as retas r e s, de modo que AB é perpendicular à r e forma um ângulo agudo α com s. Então as perpendiculares baixadas de s sobre r dos lado do ângulo agudo, são menores que AB, e as perpendiculares baixadas do outro lado são maiores que AB. Além disto os ângulos que essas perpendiculares formam com s na mesma direção de α são também agudos. Esta afirmação significa que EF > AB > CD, e os ângulos β e γ são agudos.

A partir daí, Nasiredin considera um quadrilátero ABCD, onde os lados AD e BC são congruentes e perpendiculares ao lado AB. Se o ângulo BCD é agudo, pela afirmação considerada AD é menor que BC, contrariando a hipótese. Se BCD é obtuso, ent˜ao AD é maior que BC, que também é absurdo. Logo BCD deve ser reto. Analogamente, ADC também deve ser reto.

Assim, traçando a diagonal BD formam-se dois triângulos congruentes cuja soma dos ângulos internos é igual a 180º. O primeiro erro de Nasiredin está nas suposições feitas inicialmente, quando considera que as retas r e s convergem do lado do ângulo agudo. Isto não é necessariamente verdade sem o uso do quinto postulado. Depois, quando assume que o ângulo DCB é agudo, n˜ao pode-se concluir que o ângulo CDA é obtuso. Na verdade, posteriormente, será visto que o matemático Girolamo Saccheri, utiliza este quadrilátero para fazer a sua demonstração do quinto postulado, e mostra que os ângulos ADC e BCD são congruentes.

Sem alcançar êxito na demonstração do quinto postulado de Euclides, foram criadas as geometrias que adotaram os quatro postulados anteriores e fizeram suas adaptações para o quinto postulado, criando as geometrias não euclidianas, essas novas geometrias são chamadas de geometrias hiperbólicas e elíptica.

• Axiomas de Hilbert
• Geometria algébrica
• Geometria descritiva
• Geometria elíptica
• Geometria esférica
• Geometria fractal
• Geometria não euclidiana
• Lugares geométricos
• Plano euclidiano
• Postulado das paralelas

Referências