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Em estatística, o coeficiente de correlação de postos de Spearman ou rô de Spearman, que recebe este nome em homenagem ao psicólogo e estatístico Charles Spearman, frequentemente denotado pela letra grega ${\displaystyle \rho }$ (rô) ou ${\displaystyle r_{s}}$, é uma medida não paramétrica de correlação de postos (dependência estatística entre a classificação de duas variáveis). O coeficiente avalia com que intensidade a relação entre duas variáveis pode ser descrita pelo uso de uma função monótona.^[1] A correlação de Spearman entre duas variáveis é igual à correlação de Pearson entre os valores de postos daquelas duas variáveis. Enquanto a correlação de Pearson avalia relações lineares, a correlação de Spearman avalia relações monótonas, sejam elas lineares ou não.^[2] Se não houver valores de dados repetidos, uma correlação de Spearman perfeita de +1 ou -1 ocorre quando cada uma das variáveis é uma função monótona perfeita da outra.

Intuitivamente, a correlação de Spearman entre duas variáveis será alta quando observações tiverem uma classificação semelhante (ou idêntica no caso da correlação igual a 1) entre as duas variáveis, isto é, a posição relativa das observações no interior da variável (1º, 2º, 3º, etc.), e baixa quando observações tiverem uma classificação dessemelhante (ou completamente oposta no caso da correlação igual a -1) entre as duas variáveis.

O coeficiente de Spearman é apropriado tanto para variáveis contínuas, como para variáveis discretas, incluindo variáveis ordinais.^[3] Tanto o ${\displaystyle \rho }$ de Spearman, como o ${\displaystyle \tau }$ de Kendall pode ser formulados como casos especiais de um coeficiente de correlação mais geral.

O coeficiente de correlação de Spearman é definido como o coeficiente de correlação de Pearson entre variáveis classificadas em postos.^[4]

Para uma amostra de tamanho ${\displaystyle n}$, os ${\displaystyle n}$ dados brutos ${\displaystyle X_{i},Y_{i}}$ são convertidos em postos ${\displaystyle \operatorname {rg} X_{i},\operatorname {rg} Y_{i}}$ e ${\displaystyle r_{s}}$ é computado a partir de:

${\displaystyle r_{s}=\rho _{\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y}}={\frac {\operatorname {cov} (\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y})}{\sigma _{\operatorname {rg} _{X}}\sigma _{\operatorname {rg} _{Y}}}},}$

em que

• ${\displaystyle \rho }$ denota o usual coeficiente de correlação de Pearson, mas aplicado às variáveis em postos;
• ${\displaystyle \operatorname {cov} (\operatorname {rg} _{X},\operatorname {rg} _{Y})}$ é a covariância das variáveis em postos;
• ${\displaystyle \sigma _{\operatorname {rg} _{X}}}$ e ${\displaystyle \sigma _{\operatorname {rg} _{Y}}}$ são os desvios padrão das variáveis em postos.^[5]

Apenas se todos os postos ${\displaystyle n}$ forem números inteiros distintos, o coeficiente pode ser calculado usando a fórmula popular:

${\displaystyle r_{s}={1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}},}$

em que

• ${\displaystyle d_{i}=\operatorname {rg} (X_{i})-\operatorname {rg} (Y_{i})}$ é a diferença entre os dois postos de cada observação;
• ${\displaystyle n}$ é o número de observações.^[6][7]

Quando há valores idênticos, geralmente se atribui a cada valor um posto fracionário igual à média de suas posições na ordem ascendente dos valores, que é equivalente ao cálculo da média de todas as permutações possíveis.^[8]

Se valores repetidos estiverem presentes nos conjuntos de dados, a equação produz resultados incorretos. Apenas se, em ambas as variáveis, todos os postos forem distintos, então, ${\displaystyle \sigma _{\operatorname {rg} _{X}}\sigma _{\operatorname {rg} _{Y}}=\operatorname {Var} {\operatorname {rg} _{X}}=\operatorname {Var} {\operatorname {rg} _{Y}}=n(n^{2}-1)/6}$ (vide número tetraédrico ${\displaystyle T_{n-1}}$). A primeira equação — normalizando pelo desvio padrão — pode ser usada até mesmo quando os postos forem normalizados a ${\displaystyle [0;1]}$ ("postos relativos"), porque não é sensível tanto à translação, quanto ao escalonamento linear.

Este método também não deve ser usado em casos em que o conjunto de dados estiver truncado, isto é, quando o coeficiente de correlação de Spearman for desejado para os ${\displaystyle X}$ registros do topo (seja pelos postos pré-mudança, pelos postos pós-mudança ou ambos). Neste caso, deve-se usar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson descrita acima.

O erro padrão ${\displaystyle \sigma }$ do coeficiente foi determinado pelo estatístico britânico Karl Pearson em 1907 e pelo matemático britânico Thorold Gosset em 1920, sendo:

${\displaystyle \sigma _{r_{s}}={\frac {0.6325}{\sqrt {n-1}}}.}$

Correlações de postos de Spearman positiva e negativa

Ver artigo principal: Correlação

Há várias outras medidas numéricas que quantificam a intensidade da dependência estatística entre parers de observações. A mais comum é o coeficiente de correlação produto-momento de Pearson, que é um método de correlação semelhante ao coeficiente de correlação de postos de Spearman, que mede as relações "lineares" entre números brutos, não entre seus postos.

Um nome alternativo para a correlação de postos de Spearman é "correlação de grau".^[9] Nesta denominação, o "posto" de uma observação é substituído pelo "grau". Em distribuições contínuas, o grau de uma observação é, por convenção, sempre uma metade menor que o posto. Assim, as correlações entre graus e postos são iguais neste caso. De forma mais generalizada, o "grau" de uma observação é proporcional ao valor estimado da fração de uma população menor que um dado valor, com o ajuste da meia-observação nos valores observados. Assim, isto corresponde a um tratamento possível de postos empatados. Ainda que incomum, o termo "correlação de grau" ainda está em uso.^[10]

O sinal da correlação de Spearman indica a direção da associação entre ${\displaystyle X}$ (a variável independente) e ${\displaystyle Y}$ (a variável dependente). Se ${\displaystyle Y}$ tende a aumentar quando ${\displaystyle X}$ aumenta, o coeficiente de correlação de Spearman é positivo. Se ${\displaystyle Y}$ tende a diminuir quando ${\displaystyle X}$ aumenta, o coeficiente de correlação de Spearman é negativo. Um coeficiente de Spearman igual a zero indica que não há tendência de que ${\displaystyle Y}$ aumente ou diminua quando ${\displaystyle X}$ aumenta. A correlação de Spearman aumenta em magnitude conforme ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ ficam mais próximas de serem funções monótonas perfeitas uma da outra. Quando ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ são perfeitamente monotonamente relacionadas, o coeficiente de correlação de Spearman se torna 1. Uma relação crescente monótona perfeita implica que, para quaisquer dois pares de valores de dados ${\displaystyle X_{i},Y_{i}}$ e ${\displaystyle X_{j},Y_{j}}$, X_i − X_j e Y_i − Y_j terão sempre o mesmo sinal. Uma relação decrescente monótona perfeita implica que estas diferenças terão sempre sinais opostos.

O coeficiente de correlação de Spearman é frequentemente descrito como sendo "não paramétrico". Isto pode ter dois sentidos. Em primeiro lugar, uma correlação de Spearman perfeita ocorre quando ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ estão relacionados por qualquer função monótona, em contraste com a correlação de Pearson, que só dá um valor perfeito quando ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ estão relacionadas por uma função linear. O outro sentido em que a correlação de Spearman é não paramétrica se refere ao fato de que sua exata distribuição de amostragem pode ser obtida sem conhecimento (isto é, sem informação sobre os parâmetros) quanto à distribuição de probabilidade conjunta de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$.^[11]

Neste exemplo, os dados brutos na tabela abaixo são usados para calcular a correlação entre o QI de uma pessoa e o número de horas em que assiste televisão por semana.

QI, ${\displaystyle X_{i}}$	Horas de TV por semana, ${\displaystyle Y_{i}}$
106	7
86	0
100	27
101	50
99	28
103	29
97	20
113	12
112	6
110	17

Primeiro, é necessário achar o valor do termo ${\displaystyle d_{i}^{2}}$. Para fazer isto, executam-se os seguintes passos, refletidos na tabela abaixo:

1. Ordene os dados de acordo com a primeira coluna (${\displaystyle X_{i}}$). Crie uma nova coluna ${\displaystyle x_{i}}$ e atribua a esta coluna os valores dos postos ${\displaystyle 1,2,3,...,n}$;
2. Em seguida, ordene os dados de acordo com a segunda coluna (${\displaystyle Y_{i}}$). Crie uma quarta coluna ${\displaystyle y_{i}}$ e, analogamente, atribua a esta coluna os valores dos postos ${\displaystyle 1,2,3,...,n}$;
3. Crie uma quinta coluna ${\displaystyle d_{i}}$ para conter as diferenças entre os postos das duas colunas ${\displaystyle x_{i}}$ e ${\displaystyle y_{i}}$;
4. Crie uma última coluna ${\displaystyle d_{i}^{2}}$ para conter os quadrados dos valores da coluna ${\displaystyle d_{i}}$.

QI, ${\displaystyle X_{i}}$	Horas de TV por semana, ${\displaystyle Y_{i}}$	posto ${\displaystyle x_{i}}$	posto ${\displaystyle y_{i}}$	${\displaystyle d_{i}}$	${\displaystyle d_{i}^{2}}$
86	0	1	1	0	0
97	20	2	6	−4	16
99	28	3	8	−5	25
100	27	4	7	−3	9
101	50	5	10	−5	25
103	29	6	9	−3	9
106	7	7	3	4	16
110	17	8	5	3	9
112	6	9	2	7	49
113	12	10	4	6	36

Calculados os valores ${\displaystyle d_{i}^{2}}$, são somados para encontrar ${\displaystyle \sum d_{i}^{2}=194}$. O valor de ${\displaystyle n}$ é 10. Agora, estes valores podem ser substituidos na equação ${\displaystyle \rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}}$:

${\displaystyle \rho =1-{\frac {6\times 194}{10(10^{2}-1)}},}$

o que resulta em ρ = −29/165 = −0,175757575... com um valor-p igual a 0,627188, usando a distribuição t de Student.

Este valor baixo mostra que a correlação entre QI e número de horas na frente da TV é muito baixa, ainda que o valor negativo sugira que, quanto mais tempo se passa assistindo televisão, mais baixo o QI. No caso de empates nos dados originais, esta fórmula não deve ser usada. Em vez disso, o coeficiente de correlação de Pearson deve ser calculado nos postos (quando se atribuem postos aos empates, como descrito acima).

Uma abordagem para testar se um valor observado de ${\displaystyle \rho }$ é significantemente diferente de zero (${\displaystyle r}$ sempre se manterá entre -1 e 1) consiste em calcular a probabilidade de que seria maior ou igual ao ${\displaystyle r}$ observado, dada a hipótese nula, ao usar um teste de permutação. Uma vantagem desta abordagem é que ela automaticamente leva em conta o número de valores empatados de dados na amostra e a forma como são tratados ao computar a correlação de postos.^[12]

Uma abordagem faz paralelo ao uso da transformação de Fisher no caso do coeficiente de correlação produto-momento de Pearson, isto é, intervalos de confiança e testes de hipóteses relativos ao valor da população ${\displaystyle \rho }$ podem ser conduzidos usando a transformação de Fisher:^[13]

${\displaystyle F(r)={1 \over 2}\ln {1+r \over 1-r}=\operatorname {artanh} (r).}$

Se ${\displaystyle F(r)}$ for a transformação de Fisher de ${\displaystyle r}$, o coeficiente de correlação de postos de Spearman amostral, e ${\displaystyle n}$ for o tamanho da amostra, então:

${\displaystyle z={\sqrt {\frac {n-3}{1.06}}}F(r)}$

é um escore padronizado para ${\displaystyle r}$ que segue aproximadamente uma distribuição normal padrão sob a hipótese nula da independência estatística (${\displaystyle \rho =0}$).^[14][15]

Pode-se também testar por significância usando:

${\displaystyle t=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}}}$

que é aproximadamente distribuído como a distribuição t de Student com ${\displaystyle n-2}$ graus de liberdade sob a hipótese nula.^[16] Uma justificação para este resultado se baseia em um argumento de permutação.^[17]

Uma generalização do coeficiente de Spearman é útil na situação em que há três ou mais condições, uma quantidade de sujeitos é toda observada em cada uma delas e se prevê que as observações terão uma ordem particular. Por exemplo, cada sujeito deste grupo será avaliado três vezes fazendo a mesma tarefa e se prevê que a performance melhorará a cada avaliação. Um teste da significância da tendência entre condições nesta situação foi desenvolvido por Ellis Batten Page, sendo usualmente chamado de teste de tendência de Page para alternativas ordenadas.^[18]

A análise de correspondência clássica é um método estatístico que dá um escore para todo valor de duas variáveis nominais. Desta forma, o coeficiente de correlação de Pearson entre eles é maximizado.

Há um equivalente deste método, chamado de análise de correspondência de grau, que maximiza o rô de Spearman e o tau de Kendall.^[19]

• Coeficiente de correlação de Pearson
• Coeficiente de correlação tau de Kendall
• Desigualdade do rearranjo

• Cópulas vs. Correlações por Eric Torkia para Crystal Ball Analytics Services (em inglês)
• Tabela de valores críticos de ρ para significância com amostras pequenas no portal da Universidade de Sussex (em inglês)
• Fórmula usada quando há empates no VassarStats (em inglês)
• Coeficiente de correlação de postos de Spearman no Handbook of Biological Statistics (em inglês)

• Portal de probabilidade e estatística