Em matemática, categorificação é o processo de substituir teoremas da teoria dos conjuntos por análogos da teoria das categorias. A categorificação, quando feita com sucesso, substitui conjuntos por categorias, funções por funtores e equações por isomorfismos naturais de funtores que satisfazem propriedades adicionais. O termo foi cunhado por Louis Crane.^[1][2]

O inverso da categorificação é o processo de descategorificação. A descategorificação é um processo sistemático pelo qual objetos isomorfos em uma categoria são identificados como iguais. Enquanto a descategorificação é um processo direto, a categorificação é geralmente muito menos direta. Na teoria de representação de álgebras de Lie, os módulos sobre álgebras específicas são os principais objetos de estudo, e existem várias estruturas (frameworks) para o que uma categorificação de tal módulo deveria ser, por exemplo, as chamadas categorificações abelianas (fracas).^[3]

Categorificação e descategorificação não são procedimentos matemáticos precisos, mas sim uma classe de possíveis análogos. Elas são usadas de maneira semelhante a palavras como 'generalização', e não como 'feixificação'.^[4]

Uma forma de categorificação pega uma estrutura descrita em termos de conjuntos e interpreta os conjuntos como classes de isomorfismos de objetos em uma categoria. Por exemplo, o conjunto dos números naturais pode ser visto como o conjunto de cardinalidades de conjuntos finitos (e quaisquer dois conjuntos com a mesma cardinalidade são isomorfos). Nesse caso, as operações no conjunto dos números naturais, como a adição e a multiplicação, podem ser vistas como carregando informações sobre os coprodutos e produtos da categoria de conjuntos finitos. De forma menos abstrata, a ideia aqui é que a manipulação de conjuntos de objetos reais e a tomada de coprodutos (combinando dois conjuntos em uma união) ou produtos (construindo matrizes de coisas para acompanhar um grande número delas) vieram primeiro. Mais tarde, a estrutura concreta dos conjuntos foi abstraída – considerada "apenas até o isomorfismo", para produzir a teoria abstrata da aritmética. Esta é uma "descategorificação" – a categorificação inverte esse passo.

Outros exemplos incluem teorias de homologia na topologia. Emmy Noether deu a formulação moderna da homologia como a ordem (rank) de certos grupos abelianos livres por meio da categorificação da noção de um número de Betti.^[5] Veja também a homologia de Khovanov como um invariante de nó na teoria dos nós.

Um exemplo na teoria dos grupos finitos é que o anel de funções simétricas é categorificado pela categoria de representações do grupo simétrico. O mapa de descategorificação envia o módulo de Specht indexado pela partição ${\displaystyle \lambda }$ para a função de Schur indexada pela mesma partição,

${\displaystyle S^{\lambda }\,{\stackrel {\varphi }{\to }}\;s_{\lambda },}$

basicamente seguindo o mapa de caractere de uma base favorita do grupo de Grothendieck associado para uma base favorita da teoria de representação do anel de funções simétricas. Esse mapa reflete como as estruturas são semelhantes; por exemplo

${\displaystyle \left[\operatorname {Ind} _{S_{m}\otimes S_{n}}^{S_{n+m}}(S^{\mu }\otimes S^{\nu })\right]\qquad {\text{e}}\qquad s_{\mu }s_{\nu }}$

têm os mesmos números de decomposição sobre suas respectivas bases, ambos dados pelos coeficientes de Littlewood-Richardson.

Para uma categoria ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, seja ${\displaystyle K({\mathcal {B}})}$ o grupo de Grothendieck de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Seja ${\displaystyle A}$ um anel que é livre como um grupo abeliano, e seja ${\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{i}\}_{i\in I}}$ uma base de ${\displaystyle A}$ de modo que a multiplicação seja positiva em ${\displaystyle \mathbf {a} }$, isto é,

${\displaystyle a_{i}a_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}a_{k},}$ com ${\displaystyle c_{ij}^{k}\in \mathbb {Z} _{\geq 0}.}$

Seja ${\displaystyle B}$ um módulo-${\displaystyle A}$. Então uma categorificação abeliana (fraca) de ${\displaystyle (A,\mathbf {a} ,B)}$ consiste de uma categoria abeliana ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, um isomorfismo ${\displaystyle \phi :K({\mathcal {B}})\to B}$, e endofuntores exatos ${\displaystyle F_{i}:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}}$ tais que

1. o funtor ${\displaystyle F_{i}}$ eleva a ação de ${\displaystyle a_{i}}$ sobre o módulo ${\displaystyle B}$, isto é, ${\displaystyle \phi [F_{i}]=a_{i}\phi }$, e
2. existem isomorfismos ${\displaystyle F_{i}F_{j}\cong \bigoplus _{k}F_{k}^{c_{ij}^{k}},}$, isto é, a composição ${\displaystyle F_{i}F_{j}}$ se decompõe como a soma direta de funtores ${\displaystyle F_{k}}$ da mesma forma que o produto ${\displaystyle a_{i}a_{j}}$ se decompõe como a combinação linear de elementos da base ${\displaystyle a_{k}}$.

• Prova combinatória, o processo de substituir teoremas da teoria dos números por análogos da teoria dos conjuntos.
• Teoria de categorias superior
• Álgebra de dimensão superior
• Anel categórico

• Postagem de blog de um dos autores acima (Baez): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html (em inglês)