Rozkład Studenta, rozkład t Studenta, rozkład t – ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie niepewności pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponuje się tylko wynikami n pomiarów, dla których można wyznaczyć takie parametry, jak średnia i odchylenie standardowe lub wariancja („z próby”), nie znane jest natomiast odchylenie standardowe w populacji. Zagadnienie to rozwiązał w 1908 r. William Sealy Gosset (pseudonim Student), podając funkcję zależną od wyników pomiarów a niezależną od
Definicja
Rozkład Studenta z stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej postaci:
Dowód. Niech i będą takie jak wyżej. Zmienna ma rozkład chi o stopniach swobody, a więc gęstość wyraża się wzorem
Rozważmy zmienną
Wówczas
a zatem całkując przez podstawienie obserwujemy, że
Zmienna ma zatem rozkład Jej gęstość jest więc postaci
Niech Wówczas powyższa całka przyjmuje postać
Gęstość rozkładu gamma wyraża się wzorem
Oznacza to, że
a stąd
Ostatecznie
Własności
Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości zmierzają do standardowego rozkładu normalnego Dla małych różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu w szczególności dla rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy’ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).
Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego
Zastosowania
Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:
Niech zmienne losowe mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej i wariancji oraz niech zmienna będzie określona wzorem:
Wówczas zmienna ma rozkład Studenta o stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji ).
Jeżeli dwie próby o liczebnościach oraz wartościach średnich oraz i wariancjach wyznaczonych z próby oraz zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna określona wzorem:
W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody i przyjętego poziomu istotności
Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości że lub Wartości te podają tablice rozkładu Studenta.
Bibliografia
Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.
Linki zewnętrzne
VassarStats. vassarstats.net. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-03-04)]. Wykresy gęstości, wartości krytyczne i in. obliczane dla podanej przez użytkownika liczby stopni swobody.