Rozkład Panjera

Rozkład Panjera
Parametry	$a,b$
Nośnik	$\mathbb {N} \cup \{0\}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\frac {a+b}{1-a}}$
Wariancja	${\frac {a+b}{(1-a)^{2}}}$
Odkrywca	Harry H. Panjer

Rozkład Panjera (rozkład z klasy rozkładów Panjera) – dyskretny rozkład stosowany w matematyce ubezpieczeniowej do opisu liczby szkód w modelu ryzyka łącznego.

Definicja

Rozkłady Panjera określone są wzorem rekurencyjnym:

p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},\quad k\geqslant 1.

gdzie $p_{k}=P(X=k).$

Wartość $p_{0}$ wynika z zależności.

\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.

Opis klasy rozkładów Panjera

Rozkłady Panjera to rozkłady spełniających założenia wzoru Panjera w jego podstawowej formie (tzn. przy $m=0$ ).

Rozkładami należącymi do klasy rozkładów Panjera są (w nawiasie podano zakresy wartości występujących w założeniu parametrów $a$ i $b$ ):

rozkład Poissona (gdy $a=0,$ $b>0$ ),
rozkład dwumianowy (gdy $a<0,$ $b=-a(l+1),$ $l=1,2,3,\dots$ ),
rozkład ujemny dwumianowy (gdy $a\in (0,1),$ $b>-a$ ),
rozkład zdegenerowany $p_{0}=1$ (gdy $b=-a$ ).

Rozkład	$Pr(N=k)$	$a$	$b$	$p_{0}$	$W_{N}(x)$	$E(N)$	$Var(N)$
dwumianowy	${\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$	${\frac {-p}{1-p}}$	${\frac {p(n+1)}{1-p}}$	$(1-p)^{n}$	$(px+(1-p))^{n}$	$np$	$np(1-p)$
Poissona	$e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$	$0$	$\lambda$	$e^{-\lambda }$	$e^{\lambda (s-1)}$	$\lambda$	$\lambda$
ujemny dwumianowy	${\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}$	$1-p$	$(1-p)(r-1)$	$p^{r}$	$\left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}$	${\frac {r(1-p)}{p}}$	${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$

Można wykazać^[1], że nie istnieją rozkłady spełniające założenia wzoru Panjera dla których:

$b<-a,$
$a\geqslant 1,$ $b>-a,$
$a<0,$ $b>-1.$

Zachodzi ponadto:

{\frac {Var(X)}{E(X)}}={\frac {1}{1-a}}

oraz

Var(X)>E(X)\iff a>0,

Var(X)=E(X)\iff a=0,

Var(X)<E(X)\iff a<0.

Uogólnienia

W 1981 roku Bjørn Sundt i William S. Jewell uogólnili wzór Panjera wprowadzając parametr $m$ określający wyraz ciągu $(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ począwszy od którego wszystkie kolejne wyrazy spełniają założenia wzoru Panjera. Wcześniejsze wyrazy są dowolne^[1]. Powstała tym samym szersza klasa rozkładów nazywaną klasą Sundta-Jewella^[2].

Przypisy

↑ ^a ^b B.B. Sundt B.B., W.S.W.S. Jewell W.S.W.S., Further results on recursive evaluation of compound distributions [PDF], „ASTIN Bulletin”, 1, 12, International Actuarial Association, 1981, s. 27–39 (ang.).
↑ Harry H. Panjer. Sundt and Jewell Class of Distributions. „Encyclopedia of Actuarial Science”, 2006-09-15. John Wiley & Sons, Ltd.. DOI: 10.1002/9780470012505.tas040. (ang.).

Bibliografia

Wojciech Otto: Ubezpieczenia majątkowe. Wyd. 1. Cz. I: Teoria ryzyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004, seria: Matematyka w ubezpieczeniach. ISBN 83-204-2887-4. (pol.).

Rozkłady statystyczne

Rozkłady ciągłe	arcusa sinusa beta Cauchy’ego chi chi kwadrat Dirichleta Erlanga F Snedecora Fishera-Tippetta gamma jednostajny ciągły Laplace’a logarytmicznie normalny logistyczny normalny (wielowymiarowy normalny) Pareta Rayleigha Studenta trójkątny Voigta Weibulla wykładniczy
Rozkłady dyskretne	Benforda dwumianowy Rozkład dwupunktowy dzeta geometryczny hipergeometryczny jednostajny dyskretny Rozkład jednopunktowy Panjera Pascala (ujemny dwumianowy) Poissona zero-jedynkowy

Read other articles:

Back in Time

Back in TimeSingel oleh Pitbulldari album Global Warming dan Men in Black 3 (Original Motion Picture Soundtrack)Dirilis27 Maret 2012Direkam2011GenreDance[1]dubstep[2][3]Durasi3:25LabelPolo GroundsRCAMr. 305PenciptaArmando C. PérezUrales VargasMarc KinchenBig SypheMickey BakerSylvia RobinsonEllas McDanielProduserMarc KinchenBig SypheDJ BuddhaKronologi singel Pitbull I Like (The Remix) (2012) Back in Time (2012) Dance Again (2012) Video musikBack in Time di YouTube...

العلاقات الساموية الكورية الشمالية

العلاقات الساموية الكورية الشمالية ساموا كوريا الشمالية ساموا كوريا الشمالية تعديل مصدري - تعديل العلاقات الساموية الكورية الشمالية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين ساموا وكوريا الشمالية.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عا...

Cuisine serbe

Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (février 2018). Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références » En pratique : Quelles sources sont attendues ? C...

LGBT rights in Australia

LGBT rights in AustraliaLocation of AustraliaStatusAlways legal for women; legal for men in all states and territories since 1997. Equal age of consent in all states and territories since 2016Gender identityChange of sex recognised in all jurisdictions (NSW requires sexual reassignment surgery since 1996)[1]MilitaryLGBT personnel allowed to serve openlyDiscrimination protectionsFederal protections for sexual orientation, gender identity and intersex status since 2013; LGBT protection...

Tokelau

Dependent territory of New Zealand in the southern Pacific Ocean For other uses, see Tokelau (disambiguation). Dependent territory of New ZealandTokelauDependent territory of New Zealand FlagBadgeMotto: Tokelau mo te Atua (Tokelauan)(Tokelau for the Almighty)Territorial anthem: Te Atua o Tokelau[1] Map of all Tokelau Islands. Swains Island is shown to the south.Sovereign state New ZealandProtectorate createdJune 1889British colony29 February 1916Assigned to New Zealand1...

Shilling (Australian)

Not to be confused with the Austrian Schilling. ShillingAustraliaValuePre-decimal: 1⁄20 Australian poundDecimal: 0.10 Australian dollarMass5.65 gDiameter23.5 mm (0.925 in)EdgeRound (milled)Composition92.5% silver, 7.5% copper (1910–1944). 50% silver, 40% copper, 5% zinc, 5% nickel (1946–1963)Circulation1910–1963ObverseDesignVisage of King Edward VIIDesignerGeorge W. De SaulesDesign used1910Design discontinued1911DesignVisage of King George VDesignerSir Edgar B Macke...

Nazionale olimpica di calcio dell'Italia

Voce principale: Nazionale di calcio dell'Italia. Italia olimpica Uniformi di gara Casa Trasferta Sport Calcio Federazione FIGC ITA Soprannome Azzurrini Selezionatore carica vacante Esordio internazionale Italia 8 - 0 Stati Uniti Tampere, Finlandia; 16 luglio 1952 Migliore vittoria Italia 8 - 0 Stati Uniti Tampere, Finlandia; 16 luglio 1952 Peggiore sconfitta Germania Est 4 - 0 Italia Dresda, Germania Est; 1º maggio 1971 Jugoslavia 5 - 1 Italia Fiume, Jugoslavia; 9 novembre 1983 Zambia 4 - ...

2006 Ibero-American Championships in Athletics – Results

These are the official results of the 2006 Ibero-American Championships in Athletics which took place on May 26–28, 2006 in Ponce, Puerto Rico. Men's results 100 meters Heats – May 26Wind:Heat 1: -1.0 m/s, Heat 2: +0.5 m/s Rank Heat Name Nationality Time Notes 1 2 Vicente de Lima Brazil 10.30 Q 2 2 Kael Becerra Chile 10.39 Q 3 2 Joel Báez Dominican Republic 10.48 Q 4 1 Basílio de Moraes Júnior Brazil 10.60 Q 5 1 Heber Viera Uruguay 10.61 Q 6 1 J...

Post-consumer waste

Trash or garbage discarded by the end-consumers of products This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Post-consumer waste – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2008) (Learn how and when to remove this message) Part of a series onPollutionAir pollution from a factory Air Air quality i...

Sudi Silalahi

Ini adalah nama Batak Toba, marganya adalah Silalahi. Sudi Silalahi Menteri Sekretaris Negara Indonesia ke-15Masa jabatan22 Oktober 2009 – 21 Oktober 2014PresidenSusilo Bambang YudhoyonoPendahuluHatta RajasaPenggantiPratiknoSekretaris Kabinet Indonesia ke-7Masa jabatan21 Oktober 2004 – 20 Oktober 2009PresidenSusilo Bambang YudhoyonoPendahuluMarzuki DarusmanPenggantiDipo Alam Informasi pribadiLahir13 Juli 1949Pematang Siantar, Simalungun, Sumatera UtaraMeninggal25...

Deli Tua, Deli Serdang

Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber: Deli Tua, Deli Serdang – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR Deli TuaKecamatanNegara IndonesiaProvinsiSumatera UtaraKabupatenDeli SerdangPemerintahan • CamatMuhammad Taufan...

Wang Xiaoshuai

Dalam nama Tionghoa ini, nama keluarganya adalah Wang. Wang XiaoshuaiWang Xiaoshuai di Berlinale 2019Lahir22 Mei 1966 (umur 57)Shanghai, TiongkokPekerjaanSutradara, penulis naskah, pemeran, produserTahun aktif1993-kini Wang Xiaoshuai Hanzi tradisional: 王小帥 Hanzi sederhana: 王小帅 Alih aksara Mandarin - Hanyu Pinyin: Wáng Xiăoshuài Wang Xiaoshuai (Hanzi sederhana: 王小帅; Hanzi tradisional: 王小帥; Pinyin: Wáng Xiăoshuài; lahir 22 Mei 1966) adalah seo...

2020年夏季奧林匹克運動會波蘭代表團

2020年夏季奥林匹克运动会波兰代表團波兰国旗IOC編碼POLNOC波蘭奧林匹克委員會網站olimpijski.pl（英文）（波兰文）2020年夏季奥林匹克运动会（東京）2021年7月23日至8月8日（受2019冠状病毒病疫情影响推迟，但仍保留原定名称）運動員206參賽項目24个大项旗手开幕式：帕维尔·科热尼奥夫斯基（游泳）和马娅·沃什乔夫斯卡（自行车）[1]闭幕式：卡罗利娜·纳亚（皮划艇）&#...

The Ninth Configuration

1980 film by William Peter Blatty The Ninth ConfigurationTheatrical release posterDirected byWilliam Peter BlattyScreenplay byWilliam Peter BlattyBased onThe Ninth Configurationby William Peter BlattyProduced byWilliam Peter BlattyStarring Stacy Keach Scott Wilson Jason Miller Ed Flanders Neville Brand George DiCenzo Moses Gunn CinematographyGerry FisherEdited by Battle Davis Tony de Zarraga Peter Lee-Thompson Roberto Silvi Music byBarry De VorzonProductioncompanyThe Ninth Configuration Compa...

Isle of Arran

Island off the coast of Scotland This article is about the Scottish island. For other uses, see Arran. Not to be confused with Aran Islands. Isle of ArranScottish Gaelic nameEilean ArainnPronunciation[ˈelan ˈaɾɪɲ] ⓘOld Norse nameHerrey[1]Meaning of namePossibly Brythonic for high placeArran Sunset Taken from Bell Stane, Ardneil Bay, 2007LocationIsle of ArranArran shown within the Firth of ClydeOS grid referenceNR950359Coordinates55°34′39″N 5°14′15″W / ...

Gunther Schuller

American musician (1925–2015) Gunther SchullerSchuller in 2008Background informationBorn(1925-11-22)November 22, 1925Queens, New York, U.S.DiedJune 21, 2015(2015-06-21) (aged 89)Boston, Massachusetts, U.S.GenresJazz, classical, third streamOccupation(s)President of the New England ConservatoryInstrument(s)French horn, fluteMusical artist Gunther Alexander Schuller (November 22, 1925 – June 21, 2015)[1] was an American composer, conductor, horn player, author, his...

Bahasa Filipino

Halaman ini berisi artikel tentang ragam baku dari bahasa Tagalog. Untuk cabang dari Austronesia, lihat Rumpun bahasa Filipina. Lihat Bahasa Filipino di: ISO • Ethnologue • Wikipedia bahasa Inggris Bahasa Filipino Wikang Filipino Pengucapan[wɪ'kɐŋ ˌfiːliˈpiːno]Dituturkan diFilipinaPenutur(lihat Tagalog)L2: 45 juta (2013)[1]Total: 70+ juta Rumpun bahasaAustronesia Melayu-PolinesiaFilipinaFilipina Tengah RayaFilipina TengahTagalogFilipino Ben...

Front Demokratik Sikkim

Front Demokratik Sikkimसिक्किम प्रजातान्त्रिक मोर्चा Ketua umumPawan Kumar ChamlingKetua di Lok SabhanoneKetua di Rajya SabhaHishey LachungpaDibentuk4 Maret 1993Kantor pusatDeeorali Atas, Gangtok, SikkimIdeologiSosialisme demokratikStatus ECIPartai Negara Bagian[1]Kursi di Lok Sabha1 / 545Kursi di Rajya Sabha1 / 245Kursi di Dewan Legislatif21 / 32Lambang pemiluSitus websikkimdemocraticfront.orgPolitik IndiaPart...

Lancasters röda ros

En golvstensmosaik som bland annat visar Lancasters röda ros Lancasters röda ros, Rosa Gallica Officinalis, var symbolen för Huset Lancaster och senare för Lancashire. Under 1400-talets inbördeskrig var den röda rosen en symbol för dem som stödde huset Lancaster gentemot Huset York, vars symbol var en vit ros. Stridigheterna dem emellan gav kriget dess namn Rosornas krig. Konflikten avslutades i och med kung Henrik VII av England, som symboliskt enade den vita och den röda rosen i T...

Good Morning, Judge (1928 film)

1928 film Good Morning, JudgeFilm posterDirected byWilliam A. SeiterWritten byHarry O. HoytJoseph F. PolandTom ReedEarle SnellBeatrice VanStarringReginald DennyMary NolanOtis HarlanCinematographyArthur L. ToddEdited byEdward M. McDermottJohn RawlinsProductioncompanyUniversal PicturesDistributed byUniversal PicturesRelease date April 29, 1928 (1928-04-29) Running time60 minutesCountryUnited StatesLanguageSilent (English intertitles) Good Morning, Judge is a 1928 American silent ...