Isaac Barrow (1630–1677)
James Gregory (1638–1675)
Isaac Newton (1643–1727)
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716)
Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego , podstawowe twierdzenie analizy [1] , twierdzenie Newtona-Leibniza [2] [3] – twierdzenie mówiące o tym, że podstawowe operacje rachunku różniczkowego i całkowego – różniczkowanie i całkowanie – są operacjami odwrotnymi. Dokładniej, jeżeli dana jest funkcja ciągła
f
,
{\displaystyle f,}
to pochodna jej funkcji górnej granicy całkowania jest równa
f
.
{\displaystyle f.}
Bezpośrednią konsekwencją twierdzenia jest możliwość wykorzystania funkcji pierwotnej do obliczania całki oznaczonej danej funkcji.
Prawdopodobnie twierdzenie to znał już nauczyciel Isaaca Newtona , Isaac Barrow (1630 –1677 ). Pierwszy znany dowód przypisywany jest szkockiemu matematykowi Jamesowi Gregory’emu (1638 –1675 ).
Twierdzenie
Niech
f
{\displaystyle f}
będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych, całkowalną w sensie Riemanna w przedziale
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
Wówczas:
(1) Funkcja
f
{\displaystyle f}
jest całkowalna na każdym przedziale
[
a
,
x
]
{\displaystyle [a,x]}
dla
x
∈ ∈ -->
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
i odwzorowanie
F
: : -->
[
a
,
b
]
→ → -->
R
{\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
dane wzorem
F
(
x
)
=
∫ ∫ -->
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt}
jest ciągłe w przedziale
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
Jeżeli ponadto
f
{\displaystyle f}
jest ciągła w pewnym punkcie
x
0
∈ ∈ -->
[
a
,
b
]
,
{\displaystyle x_{0}\in [a,b],}
to funkcja
F
{\displaystyle F}
jest różniczkowalna w
x
0
{\displaystyle x_{0}}
oraz
F
′
(
x
0
)
=
f
(
x
0
)
.
{\displaystyle F'(x_{0})=f(x_{0}).}
(2) Jeżeli
F
: : -->
[
a
,
b
]
→ → -->
R
{\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
jest funkcją ciągłą na
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
i różniczkowalną na
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
oraz
f
(
x
)
=
F
′
(
x
)
{\displaystyle f(x)=F'(x)}
dla każdego
x
∈ ∈ -->
(
a
,
b
)
,
{\displaystyle x\in (a,b),}
to
F
(
x
)
=
∫ ∫ -->
a
x
f
(
t
)
d
t
+
F
(
a
)
;
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt+F(a);}
innymi słowy, zachodzi wzór na całkę Leibnitza-Newtona
∫ ∫ -->
a
x
f
(
t
)
d
t
=
F
(
x
)
− − -->
F
(
a
)
;
{\displaystyle \int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt=F(x)-F(a);}
oprócz tego na
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
f
(
x
)
=
d
d
x
∫ ∫ -->
a
x
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle f(x)={\frac {d}{dx}}\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt.}
Dowód
(1) Wykażemy, że jeśli
f
{\displaystyle f}
jest ciągła na
[
a
,
b
]
,
{\displaystyle [a,b],}
to funkcja
F
: : -->
[
a
,
b
]
→ → -->
R
{\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
dana wzorem
F
(
x
)
=
∫ ∫ -->
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt}
jest różniczkowalna w każdym punkcie odcinka
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
Niech
x
1
{\displaystyle x_{1}}
i
x
1
+
Δ Δ -->
x
{\displaystyle x_{1}+\Delta x}
będą tak dobrane, by leżały w przedziale
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle [a,b].}
Wówczas
F
(
x
1
)
=
∫ ∫ -->
a
x
1
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x_{1})=\int \limits _{a}^{x_{1}}f(t)dt}
i
F
(
x
1
+
Δ Δ -->
x
)
=
∫ ∫ -->
a
x
1
+
Δ Δ -->
x
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)=\int \limits _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt.}
Odejmując stronami, otrzymujemy
F
(
x
1
+
Δ Δ -->
x
)
− − -->
F
(
x
1
)
=
∫ ∫ -->
a
x
1
+
Δ Δ -->
x
f
(
t
)
d
t
− − -->
∫ ∫ -->
a
x
1
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int \limits _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt-\int \limits _{a}^{x_{1}}f(t)dt.}
Z własności całki oznaczonej wynika, że
∫ ∫ -->
x
1
a
f
(
t
)
d
t
+
∫ ∫ -->
a
x
1
+
Δ Δ -->
x
f
(
t
)
d
t
=
∫ ∫ -->
x
1
x
1
+
Δ Δ -->
x
f
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle \int \limits _{x_{1}}^{a}f(t)dt+\int \limits _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt=\int \limits _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt,}
skąd mamy natychmiast
F
(
x
1
+
Δ Δ -->
x
)
− − -->
F
(
x
1
)
=
∫ ∫ -->
x
1
x
1
+
Δ Δ -->
x
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int \limits _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt.}
Na mocy twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego istnieje
c
∈ ∈ -->
[
x
1
,
x
1
+
Δ Δ -->
x
]
{\displaystyle c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x]}
takie, że
∫ ∫ -->
x
1
x
1
+
Δ Δ -->
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
c
)
Δ Δ -->
x
.
{\displaystyle \int \limits _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt=f(c)\Delta x.}
Stąd
F
(
x
1
+
Δ Δ -->
x
)
− − -->
F
(
x
1
)
=
f
(
c
)
Δ Δ -->
x
,
{\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\Delta x,}
a po podzieleniu obu stron przez
Δ Δ -->
x
:
{\displaystyle \Delta x{:}}
F
(
x
1
+
Δ Δ -->
x
)
− − -->
F
(
x
1
)
Δ Δ -->
x
=
f
(
c
)
.
{\displaystyle {\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).}
Jak widać, wyrażenie to jest ilorazem różnicowym funkcji
F
{\displaystyle F}
w punkcie
x
1
.
{\displaystyle x_{1}.}
Przechodząc po obu stronach do granicy z
Δ Δ -->
x
→ → -->
0
,
{\displaystyle \Delta x\to 0,}
otrzymujemy
lim
Δ Δ -->
x
→ → -->
0
F
(
x
1
+
Δ Δ -->
x
)
− − -->
F
(
x
1
)
Δ Δ -->
x
=
lim
Δ Δ -->
x
→ → -->
0
f
(
c
)
.
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).}
Zauważmy, że wyrażenie po lewej stronie jest definicją pochodnej funkcji
F
{\displaystyle F}
w punkcie
x
1
:
{\displaystyle x_{1}{:}}
F
′
(
x
1
)
=
lim
Δ Δ -->
x
→ → -->
0
f
(
c
)
.
{\displaystyle F'(x_{1})=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).}
Ponieważ
x
1
⩽ ⩽ -->
c
⩽ ⩽ -->
x
1
+
Δ Δ -->
x
{\displaystyle x_{1}\leqslant c\leqslant x_{1}+\Delta x}
jasne jest, że gdy
Δ Δ -->
x
→ → -->
0
,
{\displaystyle \Delta x\to 0,}
to
c
→ → -->
x
1
.
{\displaystyle c\to x_{1}.}
W konsekwencji,
F
′
(
x
1
)
=
lim
c
→ → -->
x
1
f
(
c
)
.
{\displaystyle F'(x_{1})=\lim _{c\to x_{1}}f(c).}
Ponieważ funkcja
f
{\displaystyle f}
jest ciągła w punkcie
x
1
,
{\displaystyle x_{1},}
więc granica po prawej stronie równa jest wartości funkcji w punkcie
x
1
.
{\displaystyle x_{1}.}
Stąd
F
′
(
x
1
)
=
f
(
x
1
)
.
{\displaystyle F'(x_{1})=f(x_{1}).}
i dowód jest zakończony.
Powyższy dowód pokazuje różniczkowalność funkcji
F
{\displaystyle F}
w punkcie
x
1
,
{\displaystyle x_{1},}
o ile funkcja podcałkowa
f
{\displaystyle f}
jest ciągła przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu
x
1
.
{\displaystyle x_{1}.}
Bez tego założenia nie możemy powoływać się na twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego. Dowód w pełnej ogólności może być przeprowadzony przy użyciu definicji całki Riemanna i sum Riemanna.
(2) Zauważmy najpierw, że jeśli wiemy, że funkcja
f
=
F
′
{\displaystyle f=F'}
jest ciągła, to możemy zastosować pierwszą część twierdzenia. Ale w ogólnym przypadku funkcja
F
′
{\displaystyle F'}
może być nieciągła w wielu punktach i nie mamy podstaw aby twierdzić, że funkcja
x
↦ ↦ -->
∫ ∫ -->
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f(t)\;dt}
jest wszędzie różniczkowalna. Przeprowadzimy więc dowód, odwołując się bezpośrednio do definicji całki Riemanna .
Wykażemy, że
F
(
b
)
− − -->
F
(
a
)
=
∫ ∫ -->
a
b
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(b)-F(a)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\;dt}
(co wystarczy, bo możemy zastąpić
b
{\displaystyle b}
przez dowolny
x
∈ ∈ -->
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
).
Niech
S
=
∫ ∫ -->
a
b
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(t)\;dt.}
Ustalmy na pewien czas dodatnią liczbę
ε ε -->
>
0.
{\displaystyle \varepsilon >0.}
Z definicji całki Riemanna widzimy, że możemy wybrać podział z punktami pośrednimi
⟨ ⟨ -->
s
0
,
… … -->
,
s
M
,
ζ ζ -->
0
,
… … -->
,
ζ ζ -->
M
− − -->
1
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \langle s_{0},\dots ,s_{M},\zeta _{0},\dots ,\zeta _{M-1}\rangle }
odcinka
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
taki że dla każdego podziału
⟨ ⟨ -->
t
0
,
… … -->
,
t
N
,
ξ ξ -->
0
,
… … -->
,
ξ ξ -->
N
− − -->
1
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \langle t_{0},\dots ,t_{N},\xi _{0},\dots ,\xi _{N-1}\rangle }
rozdrabniającego
⟨ ⟨ -->
s
0
,
… … -->
,
s
M
,
ζ ζ -->
0
,
… … -->
,
ζ ζ -->
M
− − -->
1
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \langle s_{0},\dots ,s_{M},\zeta _{0},\dots ,\zeta _{M-1}\rangle }
mamy
|
S
− − -->
∑ ∑ -->
j
=
0
N
− − -->
1
f
(
ξ ξ -->
j
)
⋅ ⋅ -->
(
t
j
+
1
− − -->
t
j
)
|
<
ε ε -->
/
2.
{\displaystyle {\big |}S-\sum \limits _{j=0}^{N-1}f(\xi _{j})\cdot (t_{j+1}-t_{j}){\big |}<\varepsilon /2.}
Następnie wybierzmy podział
⟨ ⟨ -->
t
0
∗ ∗ -->
,
… … -->
,
t
N
∗ ∗ -->
,
ξ ξ -->
0
∗ ∗ -->
,
… … -->
,
ξ ξ -->
N
− − -->
1
∗ ∗ -->
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \langle t_{0}^{*},\dots ,t_{N}^{*},\xi _{0}^{*},\dots ,\xi _{N-1}^{*}\rangle }
rozdrabniający
⟨ ⟨ -->
s
0
,
… … -->
,
s
M
,
ζ ζ -->
0
,
… … -->
,
ζ ζ -->
M
− − -->
1
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \langle s_{0},\dots ,s_{M},\zeta _{0},\dots ,\zeta _{M-1}\rangle }
i taki, że oznaczając
A
=
{
j
∈ ∈ -->
{
0
,
… … -->
,
N
− − -->
1
}
:
(
∃ ∃ -->
i
<
M
)
(
ζ ζ -->
i
=
ξ ξ -->
j
∗ ∗ -->
)
}
{\displaystyle A={\big \{}j\in \{0,\dots ,N-1\}:(\exists i<M)(\zeta _{i}=\xi _{j}^{*}){\big \}}}
oraz
B
=
{
0
,
… … -->
,
N
− − -->
1
}
∖ ∖ -->
A
,
{\displaystyle B={\big \{}0,\dots ,N-1{\big \}}\setminus A,}
mamy
(a)
|
∑ ∑ -->
j
∈ ∈ -->
A
[
(
F
(
t
j
+
1
∗ ∗ -->
)
− − -->
F
(
t
j
∗ ∗ -->
)
)
− − -->
f
(
ξ ξ -->
j
∗ ∗ -->
)
⋅ ⋅ -->
(
t
j
+
1
∗ ∗ -->
− − -->
t
j
∗ ∗ -->
)
]
|
<
ε ε -->
/
2
{\displaystyle {\big |}\sum \limits _{j\in A}[(F(t_{j+1}^{*})-F(t_{j}^{*}))-f(\xi _{j}^{*})\cdot (t_{j+1}^{*}-t_{j}^{*})]{\big |}<\varepsilon /2\;{}}
oraz
(b) jeśli
j
∈ ∈ -->
B
,
{\displaystyle j\in B,}
to
F
(
t
j
+
1
∗ ∗ -->
)
− − -->
F
(
t
j
∗ ∗ -->
)
=
F
′
(
ξ ξ -->
j
∗ ∗ -->
)
⋅ ⋅ -->
(
t
j
+
1
∗ ∗ -->
− − -->
t
j
∗ ∗ -->
)
=
f
(
ξ ξ -->
j
∗ ∗ -->
)
⋅ ⋅ -->
(
t
j
+
1
∗ ∗ -->
− − -->
t
j
∗ ∗ -->
)
.
{\displaystyle F(t_{j+1}^{*})-F(t_{j}^{*})=F'(\xi _{j}^{*})\cdot (t_{j+1}^{*}-t_{j}^{*})=f(\xi _{j}^{*})\cdot (t_{j+1}^{*}-t_{j}^{*}).}
Wybór podziału
⟨ ⟨ -->
t
0
∗ ∗ -->
,
… … -->
,
t
N
∗ ∗ -->
,
ξ ξ -->
0
∗ ∗ -->
,
… … -->
,
ξ ξ -->
N
− − -->
1
∗ ∗ -->
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \langle t_{0}^{*},\dots ,t_{N}^{*},\xi _{0}^{*},\dots ,\xi _{N-1}^{*}\rangle }
jest możliwy, bo aby zapewnić warunek (a) wystarczy dobrać
t
j
∗ ∗ -->
,
t
j
+
1
∗ ∗ -->
{\displaystyle t_{j}^{*},t_{j+1}^{*}}
(dla
j
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle j\in A}
) dostatecznie blisko siebie (pamiętajmy, że
F
{\displaystyle F}
jest ciągła), a aby zapewnić warunek (b) wystarczy skorzystać z twierdzenia Lagrange’a . Następnie zauważmy, że
F
(
b
)
− − -->
F
(
a
)
=
∑ ∑ -->
j
=
0
N
− − -->
1
(
F
(
t
j
+
1
∗ ∗ -->
)
− − -->
F
(
t
j
∗ ∗ -->
)
)
=
∑ ∑ -->
j
∈ ∈ -->
A
(
F
(
t
j
+
1
∗ ∗ -->
)
− − -->
F
(
t
j
∗ ∗ -->
)
)
+
∑ ∑ -->
j
∈ ∈ -->
B
f
(
ξ ξ -->
j
∗ ∗ -->
)
⋅ ⋅ -->
(
t
j
+
1
∗ ∗ -->
− − -->
t
j
∗ ∗ -->
)
.
{\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{j=0}^{N-1}{\big (}F(t_{j+1}^{*})-F(t_{j}^{*}){\big )}=\sum _{j\in A}{\big (}F(t_{j+1}^{*})-F(t_{j}^{*}){\big )}+\sum _{j\in B}f(\xi _{j}^{*})\cdot (t_{j+1}^{*}-t_{j}^{*}).}
Stąd widzimy, że
|
F
(
b
)
− − -->
F
(
a
)
− − -->
S
|
⩽ ⩽ -->
|
∑ ∑ -->
j
∈ ∈ -->
A
[
(
F
(
t
j
+
1
∗ ∗ -->
)
− − -->
F
(
t
j
∗ ∗ -->
)
)
− − -->
f
(
ξ ξ -->
j
∗ ∗ -->
)
⋅ ⋅ -->
(
t
j
+
1
∗ ∗ -->
− − -->
t
j
∗ ∗ -->
)
]
|
+
|
∑ ∑ -->
j
=
0
N
− − -->
1
f
(
ξ ξ -->
j
∗ ∗ -->
)
⋅ ⋅ -->
(
t
j
+
1
∗ ∗ -->
− − -->
t
j
∗ ∗ -->
)
− − -->
S
|
{\displaystyle |F(b)-F(a)-S|\leqslant {\big |}\sum \limits _{j\in A}[(F(t_{j+1}^{*})-F(t_{j}^{*}))-f(\xi _{j}^{*})\cdot (t_{j+1}^{*}-t_{j}^{*})]{\big |}+{\big |}\sum \limits _{j=0}^{N-1}f(\xi _{j}^{*})\cdot (t_{j+1}^{*}-t_{j}^{*})-S{\big |}}
<
ε ε -->
/
2
+
ε ε -->
/
2
=
ε ε -->
.
{\displaystyle <\varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon .}
Tak więc pokazaliśmy, że dla dowolnej dodatniej liczby
ε ε -->
{\displaystyle \varepsilon }
zachodzi nierówność
|
F
(
b
)
− − -->
F
(
a
)
− − -->
S
|
<
ε ε -->
.
{\displaystyle |F(b)-F(a)-S|<\varepsilon .}
Stąd wnioskujemy, że
F
(
b
)
− − -->
F
(
a
)
=
S
,
{\displaystyle F(b)-F(a)=S,}
co należało udowodnić.
Przykłady
Jeżeli funkcja
f
{\displaystyle f}
określona jest w przedziale [-1,1] wzorem:
f
(
t
)
=
{
1
dla
t
≠ ≠ -->
0
0
dla
t
=
0
,
{\displaystyle f(t)={\begin{cases}1&{\mbox{dla }}t\neq 0\\[2pt]0&{\mbox{dla }}t=0\end{cases}},}
to mimo iż jest ona nieciągła w punkcie 0, funkcja
F
(
x
)
=
∫ ∫ -->
− − -->
1
x
f
(
t
)
d
t
=
x
+
1
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{-1}^{x}f(t)\,dt=x+1}
ma pochodną w punkcie 0, lecz jest ona równa 1.
F
(
x
)
=
∫ ∫ -->
1
x
t
d
t
.
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{1}^{x}t\,dt.}
Na mocy twierdzenia podstawowego mamy natychmiast
F
′
(
x
)
=
x
,
{\displaystyle F'(x)=x,}
co można również sprawdzić bezpośrednio, wyliczając całkę oznaczoną.
F
(
x
)
=
∫ ∫ -->
1
x
2
t
d
t
.
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{1}^{x^{2}}t\,dt.}
Zauważmy, że
F
(
x
)
=
G
∘ ∘ -->
u
(
x
)
,
{\displaystyle F(x)=G\circ u(x),}
gdzie
G
(
u
)
=
∫ ∫ -->
1
u
t
d
t
,
{\displaystyle G(u)=\int \limits _{1}^{u}t\,dt,}
a
u
(
x
)
=
x
2
,
{\displaystyle u(x)=x^{2},}
a zatem z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy
d
F
d
x
=
d
G
d
u
⋅ ⋅ -->
d
u
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dF}{dx}}={\frac {dG}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}
Ponieważ
d
u
d
x
=
2
x
,
{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=2x,}
na mocy twierdzenia podstawowego otrzymujemy
d
F
d
x
=
u
⋅ ⋅ -->
2
x
=
x
2
⋅ ⋅ -->
2
x
=
2
x
3
,
{\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=u\cdot 2x=x^{2}\cdot 2x=2x^{3},}
co również można sprawdzić, obliczając explicite całkę definiującą
F
.
{\displaystyle F.}
Uogólnienia
Twierdzenie podstawowe prawdziwe jest bez zmian również, gdy założymy całkowalność funkcji w sensie Lebesgue’a .
Lebesgue udowodnił kilka faktów będących wzmocnieniem omawianego twierdzenia. Mianowicie, jeżeli funkcja
f
{\displaystyle f}
jest całkowalna w sensie Lebesgue’a na przedziale
[
a
,
b
]
,
{\displaystyle [a,b],}
to jej pierwotna
∫ ∫ -->
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt}
ma pochodną w tym przedziale prawie wszędzie równą
f
(
x
)
.
{\displaystyle f(x).}
Na odwrót, jeżeli funkcja
F
{\displaystyle F}
jest różniczkowalna w przedziale
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a jej pochodna
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)}
jest ograniczona w przedziale
[
a
,
b
]
,
{\displaystyle [a,b],}
to
f
{\displaystyle f}
jest całkowalna w sensie Lebesgue’a i prawdziwy jest wzór:
F
(
x
)
− − -->
F
(
a
)
=
∫ ∫ -->
a
x
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle F(x)-F(a)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt.}
Istnieje też wersja twierdzenia dla funkcji zmiennej zespolonej : jeżeli
U
{\displaystyle U}
jest otwartym podzbiorem zbioru liczb zespolonych, a
f
: : -->
U
→ → -->
C
{\displaystyle f\colon U\to C}
jest funkcją, która ma holomorficzną funkcję pierwotną
F
{\displaystyle F}
na
U
,
{\displaystyle U,}
to dla dowolnej krzywej
γ γ -->
: : -->
[
a
,
b
]
→ → -->
U
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to U}
całka krzywoliniowa
∫ ∫ -->
γ γ -->
f
(
z
)
d
z
=
F
(
γ γ -->
(
b
)
)
− − -->
F
(
γ γ -->
(
a
)
)
.
{\displaystyle \int \limits _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).}
W końcu, podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego można uogólnić także na całki krzywoliniowe i powierzchniowe na rozmaitościach . Najdalej idącym twierdzeniem w tym kierunku jest twierdzenie Stokesa .
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
typy całek
metody całkowania nieoznaczonego
metody całkowania oznaczonego
twierdzenia